PIEZAS Y SELECCIÓN DEL SERVO MOTOR
4.3 Cálculo de centroides.
Una vez analizadas y encontradas las dependencias de cada pieza según sus componentes se realizó el cálculo de las dimensiones y pesos de cada pieza en función del tipo de servo- motor propuesto. Posteriormente se verificó que la potencia entregada por dichos motores fuera suficiente para equilibrar la estructura. Es decir que se requiere de una torca máxima
capaz de mantener una postura específica del robot. Los Centroides se calcularon en función de las dimensiones de la estructura mecánica y de los servo-motors obtenidos de la tabla 7 y son los siguientes según la postura revisada:
Con una postura “Erguida” desde una vista frontal, la estructura cuenta con diversas formas geométricas para el cálculo de sus centroides y pesos como se puede ver en la figura anterior.
Se realizó el cálculo del centroide denominado “Y” para cada pieza que forma una de las piernas en el eje vertical. El eje de referencia se ubicó en la parte inferior izquierda para cada pieza, donde se obtuvieron los siguientes resultados. Por el momento solamente se considera el centroide en el eje vertical ya que el del eje horizontal se encuentra en el centro de la pierna si se considera el cálculo para solamente una de ellas o en el centro de la cintura si es que se considera dicho cálculo para ambas piernas. Esto se debe a la simetría que presenta toda la estructura.
Hasta este momento, queda claro que las dimensiones del robot están en función de las dimensiones del servo-motor. En este momento, se hizo una elección de un servomotor y se calcularon tanto las dimensiones como los pesos. Posteriormente se revisará si dicha elección permite mover adecuadamente la estructura del robot para alcanzar ciertas posturas deseadas.
Como mencionamos al inicio del capítulo, las dimensiones de las piezas del robot están en función de las dimensiones del servomotor, pero también la elección del servo-motor esta en función del peso y dimensiones del robot. Para encontrar el mejor servo-motor se procedió de la siguiente mantera:
i) Se elige deliberadamente un servomotor y se calculan las dimensiones del robot ii) Con las dimensiones, se calculas los centros de masas y los pesos
iii) Con esta información se hace una estimación de las torcas producidas en ciertas articulaciones críticas y se verifica que el servo-motor tenga la potencia necesario.
iv) En caso de requerirse un servo-motor más potente, se debe recalcular todo.
Después de realizar iterativamente una serie cálculos con diferentes tipos de servo-motores se encontraron los siguientes dos [14] que generan la torca necesaria para diferentes posturas. Los datos técnicos se encuentran en la tabla 7 y detalles mayores pueden encontrarse en las referencias marcadas.
• Diez y seis servo-motores [36] Futaba 3003.
• Cuatro servo-motores [37] Hobbico CS-70.
A continuación se muestran los cálculos realizados utilizando estos dos servo-motores. Para comenzar se realizó el cálculo de los centroides de todas y cada una de las piezas que forman al robot.
• En el pie el centroide, Y1 = 0.1cm
• En U1 el centroide, Y2 = 3.5cm
• En la cruceta 1 el centroide, Y3 = 3cm
• En U2 el centroide, Y4 = 4.97cm
• En el tubo 1 y los dos servo-motores el centroide, Y5 = 6.24cm
• En U3 el centroide, Y6 = 4.97cm • En el tubo 2 el centroide, Y7 = 2.5cm • En U4 el centroide, Y8 = 2.02cm • En la cruceta 2 el centroide, Y9 = 3cm • En U5 el centroide, Y10 = 2.5cm • En la cintura el centroide, Y11 = 0.1cm
• En las baterías el centroide, Y12 = 0.9cm
El centro de masa se obtiene en la parte central tal y como se muestra en las siguientes vistas (lateral del lado izquierdo y frontal del lado derecho).
Figura 64. Vista lateral y frontal del centro de masa y los ejes de una pierna.
El siguiente cálculo se realizó para determinar el peso de cada una de las piezas que forman a una pierna. Esto fue posible gracias a que se conocen las dimensiones de la estructura mecánica de aluminio y el peso específico de dicho material (2.7 g/cm3). Los pesos calculados (P) para cada pieza que forma a una de las piernas son:
• El pie se forma de una placa de aluminio cuyo peso se calculó con el área, por el grosor de la lámina, por el peso específico del aluminio. Es decir. P1 = 91.26g, 0.091kg.
• La pieza en forma de “U” (U1) se forma de una lámina delgada que se encuentra doblada. Su peso se calcula de la misma manera que el anterior y cuyo resultado es:
P2 = 26.67g, 0.026kg.
• La cruceta (cruceta 1) utilizada en el tobillo se forma de 4 servo-motores, un tubo de aluminio y 16 tornillos. El peso calculado es P3 = 210.22g, 0.210kg.
• Para la siguiente pieza en forma de “U” (U2) el peso calculado es: P4 = 26.67g, 0.026kg.
• Para la rodilla se utiliza un tubo (Tubo 1) con 2 servo-motores y cuyo peso calculado es: P5 = 133.84g, 0.133kg.
• Para el tubo 2 el peso calculado es: P7 = 20.52g, 0.020kg.
• Para U4 el peso calculado es: P8 = 26.67g, 0.026kg.
• Para la cruceta 2 (de la cadera) el peso calculado es: P9 = 245.82g, 0.245kg.
• Para la cintura el peso calculado es: P10 = 50.54g, 0.050kg.
• Para U5 el peso calculado es: P11 = 26.67g, 0.026kg.
• Para la Batería el peso calculado es: P12 = 300g, 0.300kg.
El peso total para una pierna = 1.179Kg y peso total del robot = 2.358Kg.
Desde una vista frontal se realizaron diversos cálculos de centroides partiendo de ciertos ejes para una pierna con el fin de determinar las distancias existentes para todos los centros de masa y posteriormente revisar la torca requerida y tener la capacidad de mover a la estructura con servo-motores. El primer cálculo realizado es para una sola pierna, donde se encontraron los centroides desde el eje del tobillo hasta la cintura como se muestra en la siguiente figura obteniendo los siguientes resultados.
Los resultados obtenidos son: (Donde Yi es la distancia desde el eje hasta el centroide de la pieza en cuestión).
• Para la pieza “U2” el centroide calculado es: Y1 = 3.97cm
• Para el tubo 1 con los dos servo-motores el centroide calculado es: Y2 = 12.24cm
• Para la pieza “U3” el centroide calculado es: Y3 = 17.97cm
• Para el tubo 2 el centroide calculado es: Y4 = 22.5cm
• Para la pieza ”U4” el centroide calculado es: Y5 = 27.02cm
• Para la cruceta 2 el centroide calculado es: Y6 = 30cm
• Para la pieza “U5” el centroide calculado es: Y7 = 35.5cm
• Para la cintura el centroide calculado es: Y8 = 39.1cm
• Para la batería el cenotride calculado es: Y9 = 40.1cm
Cabe recordar que toda postura estática y erguida se puede reducir a un péndulo invertido en donde el centro de masa del robot queda separado del punto de apoyo por una distancia
d. Si se desea mantener una postura erguida aun y a pesar de que el centro de masa no está perfectamente alineado con el punto de apoyo entonces se requerirá de una torca en el servomotor en el tobillo para contrarrestarla. Resulta evidente que entre mayor sea el ángulo θ, mayor será la torca necesaria para contrarrestarla. A continuación se revisa el cálculo de las torcas ejercidas en el eje del tobillo a diferentes grados de inclinación como se muestra en la siguiente figura.
Figura 66. Torcas máximas necesarias para mover las articulaciones del robot.
La torca producida por el peso se calcula de la siguiente forma:
( )
sin
T =wd θ
La torca generada por los servo-motores debe ser mayor a la torca producida por la componente radial del peso sobre el brazo de palanca. Con esto se logra que el robot se mantenga en diversas posturas inclinadas sin caerse. Los resultados se muestran en la siguiente tabla.
Figura Centroide
(cm) Peso (kg) 5° (kg-cm)Torque a Torque a 10° (kg- cm) Torque a 15° (kg-cm Torque a 20° (kg- cm) Torque a 90° (kg- cm) U2 3.97 0.026 0.008 0.017 0.026 0.035 0.10 Tubo 1 con 2 servo-motores 12.24 0.133 0.14 0.28 0.42 0.55 1.62 U3 17.97 0.026 0.04 0.081 0.12 0.15 0.46 Tubo 2 22.5 0.020 0.039 0.078 0.11 0.15 0.45 U4 27.02 0.026 0.061 0.12 0.18 0.24 0.70 Cruceta 2 30 0.245 0.64 1.27 1.90 2.51 7.35 U5 35.5 0.026 0.080 0.16 0.23 0.31 0.92 Cintura 39.1 0.050 0.17 0.33 0.50 0.66 1.95 Batería 40.1 0.300 1.04 2.08 3.11 4.11 12.03 TOTAL: 0.852 2.11 4.23 6.32 8.35 24.53 Tabla 8. Cálculo de las torcas requeridas en el tobillo para mover una pierna.
En la tabla anterior se pueden observar las torcas máximas requeridas en el eje del tobillo a diferentes ángulos de inclinación. Gracias a estas tablas se puede observar y seleccionar el tipo de servo-motores a utilizar ya que éstos deben vencer la torca requerida en un eje específico a determinados ángulos de inclinación. Por ejemplo, en este caso a 15° de inclinación se requiere de 6.32kg-cm.
Otra postura muy importante a analizar los esfuerzos en los servomotores es la postura “En equilibrio con la cadera levantada” tal y como se esquematiza en la siguiente figura. Para analizar dicha postura se revisaron los puntos “A” y “B” mostrados en la figura los cuales están sujetos a diferentes esfuerzos mecánicos.
Figura 67. Postura en vista frontal para observar esfuerzos en la cadera.
La torca requerida en el punto “B” se calcula obteniendo los centroides de todas las piezas que forman la pierna izquierda desde la cruceta 2 ubicada en la parte de la cadera del robot hasta el pie. En la siguiente tabla se muestran los resultados de las torcas requeridas a diferentes ángulos de inclinación. A 15° grados la torca requerida es ligeramente más pequeña que la anterior (ver tabla 8) y esto se debe a que ya no se considera el peso de la batería y la cadera.
Figura Centroide (cm) Peso (kg) Torque a 5° (kg-cm) Torque a 10° (kg- cm) Torque a 15° (kg-cm Torque a 20° (kg- cm) Torque a 90° (kg- cm) Cruceta 2 1.5 0.245 0.032 0.063 0.095 0.12 0.36 U4 4.97 0.026 0.011 0.022 0.033 0.044 0.12 Tubo 2 8.5 0.020 0.014 0.029 0.043 0.058 0.17 U3 13.02 0.026 0.029 0.058 0.087 0.11 0.33 Tubo 1 con dos servo- motores 20.75 0.133 0.24 0.47 0.71 0.94 2.75 U2 29.02 0.026 0.06 0.13 0.19 0.25 0.75 Cruceta 1 36 0.210 0.65 1.31 1.95 2.58 7.56 U1 42.5 0.026 0.09 0.19 0.28 0.37 1.10 Pie 46.1 0.091 0.36 0.72 1.08 1.43 4.19 TOTAL: 0.803 1.48 2.99 4.46 5.90 17.33 Tabla 9. Cálculo de torcas requeridas para levantar la cadera en el punto “B” de la figura92.
El punto más importante se encuentra ubicado en “A” (ver figura anterior) ya que deberá soportar el peso de la cadera y la pierna izquierda. El cálculo de la torca requerida se realiza con: 2 c p c c d T =w d +w Donde:
T es la torca requerida para cargar la pierna desde el punto “A”
wp es el peso total de una pierna (1.179Kg)
dc es la distancia total de la cadera medida desde el punto “A” hacia “B” (16cm)
wc es el peso de la cadera solamente (0.050Kg)
Esto es: T = 19.2Kg-cm, que es un valor muy alto de torca si se compara con los valores obtenidos en las tablas anteriores. Por tal motivo en este punto se necesitan servo-motores más potentes. Se debe señalar que la decisión de utilizar motores más potentes en las caderas conlleva una revisión de los cálculos anteriores tanto en dimensiones como en pesos y torcas máximas requeridas para mantener las posturas “Erguidas” puesto que los pesos y dimensiones cambiarán.
A continuación se revisa el caso de la rodilla desde una vista lateral para calcular la torca necesaria en el eje de rotación (tipo bisagra). La siguiente figura muestra los componentes de los que se forma.
Figura 68. Vista lateral de las partes inferiores a la rodilla.
Para este cálculo se divide a la pierna en dos partes, superior e inferior. Las torcas requeridas en la rodilla al mover la parte inferior (el pie y tobillo) se muestra la siguiente figura.
Figura 69. Representación lateral de la rodilla para el cálculo de sus torcas.
En la figura anterior se observa que la torca requerida para mover la rodilla se calcula con el peso total (del pie y tobillos) representado como “w” junto con la distancia “d” al centro de masa total (de pie y tobillos) por un ángulo de inclinación. La manera de realizar el cálculo es con: w*d*sin(θ) de donde se obtiene la siguiente información:
• Para el tubo 1 con los dos servo-motores el centroide es: Y1 = 3.75cm
• Para la pieza “U2” el centroide calculado es: Y2 = 10.02cm
• Para la cruceta 1 el centroide es: Y3 = 15cm
• Para la pieza “U1” el centroide es: Y4 = 17cm
Los resultados de las torcas requeridas a diferentes ángulos de inclinación se pueden observar en la siguiente tabla.
Figura Centroide
(cm) Peso (kg) 5° (kg-cm)Torque a Torque a 10° (kg- cm) Torque a 15° (kg-cm Torque a 20° (kg- cm) Torque a 90° (kg- cm) Tubo 1 con dos servo- motores 3.75 2.75 0.89 1.79 2.66 3.52 10.31 U2 10.02 0.026 0.022 0.045 0.067 0.089 0.26 Cruceta 1 15 0.210 0.27 0.54 0.81 1.07 3.15 U1 17 0.026 0.038 0.076 0.11 0.15 0.44 Pie 20.1 0.091 0.15 0.31 0.47 0.62 1.82 TOTAL 3.10 1.37 2.76 4.11 5.44 15.98 Tabla 10. Cálculo de torques requeridas para la rodilla.
Después de revisar las torcas requeridas en los ejes de los tobillos, la cadera y la rodilla se determina el servo-motor a utilizar. Gracias a que se utilizan dos de ellos en cada eje de las articulaciones tal y como se describió en capítulos anteriores se pueden generar las torcas que soportan diversas posturas que permiten al robot caminar.
El robot se puede dividir en: pie, tobillo, rodilla, cadera y cintura. Para revisar que las torcas generadas por los servo-motores en cada eje de rotación sean suficientes como para lograr mover a las articulaciones del robot, se realiza la siguiente tabla comparativa:
Articulación Torque requerida
(kg-cm)
Torque generada por los servo- motores (kg-cm) Número de servo- motores Marca Ángulo máximo Suficiente Tobillos, vista frontal 6.32 8.2 2 Futaba 3003 15° Si Tobillos, vista lateral 6.32 8.2 2 Futaba 3003 15° Si Rodilla 4.11 8.2 2 Futaba 3003 15° Si Cadera, vista frontal 19.2 19.2 2 Hobbico CS-70 90° Si Cadera, vista lateral 6.32 8.2 2 Futaba 3003 15° Si
Tabla 11. Cuadro comparativo entre los diferentes servo-motores.
Con los servo-motores anteriores se logra el control de las posturas de la estructura mecánica. El diagrama esquemático de todo el robot se puede observar con mayor detalle en el apéndice B.