7. Modelo dinámico
7.2. Cálculo de variables dinámicas
Reproducir y cuantificar este efecto transitorio no es tan banal y se requiere conocer los valores de los coeficientes de velocidad inducida axial y tangencial (a y a’). Con estos se obtiene el ángulo φ a partir de la expresión (7.17) que permite obtener finalmente la velocidad relativa como suma vectorial de la velocidad inducida W, la velocidad del viento y la velocidad provocada por el giro de la turbina.
Con la velocidad relativa y el ángulo de incidencia sobre la pala se puede calcular la fuerza de sustentación y arrastre sobre la sección según los datos del fabricante. Al integrar estas fuerzas a lo largo de todos los elementos en los que se haya dividido la pala se puede obtener el par generado por el viento sobre el rotor eólico y por último, la potencia generada.
Parece obvio que la cantidad de información mínima necesaria para poder llevar a cabo estos cálculos es abultada. Se necesitan mucha información sobre la geometría de la pala, concretamente y para cada sección en la que se haya dividido (suelen dividirse
en más de 10 secciones) se requiere: la longitud de la cuerda, el giro inicial θp, y gráficas
que relacionen el coeficiente de sustentación y de arrastre para cada valor de ángulo de incidencia como se mostraba en la Figura 4.5.
Comparación de los modelos de potencia capturada por los aerogeneradores para la mejora del sistema de control de paso de pala
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Además de estos inconvenientes sobre la materialización de este modelo dinámico, para controlar la potencia entregada por la turbina se ha consolidado en campo de la energía eólica el uso del coeficiente de potencia Cp. Por ello, en (Aparicio
Marín, 2011) se propone realizar un modelo dinámico similar al propuesto por (Øye, 1986) pero basado en la utilización de variables aerodinámicas más básicas y fácilmente obtenibles como v∞, ωt y β a partir de expresiones del coeficiente de potencia
modificadas. En este modelo sigue los siguientes pasos de cálculo:
1. Cálculo del valor del coeficiente de potencia en el punto de funcionamiento inicial el cual sólo tendrá validez en régimen estacionario y dependerá del ángulo de paso y de la velocidad inducida como se observa en la ecuación (3.9). Para el cálculo de este coeficiente se puede escoger el valor de cualquiera de las expresiones disponibles en la bibliografía existente.
2. Este valor de Cp se iguala a la ecuación (7.18) pero con la inclusión de la
velocidad inducida tangencial de la siguiente forma:
a partir de esta ecuación se obtiene un valor de velocidad inducida axial y tangencial único para toda la turbina. El problema reside en que se tienen dos incógnitas para una única ecuación. La solución propuesta es iterar:
2.1 Se inicializan las dos incógnitas con valor 0:
i=0 ; j=0 ai=0 ; at,j’=0
2.2 Se calculan los valores de a hasta que converja:
𝑎𝑖+1= 𝐶𝑃(𝜆, 𝛽)(1 + 𝑎𝑡,𝑗
′ )
4(1 − 𝑎𝑖) (7.19)
𝑖 = 𝑖 + 1
2.3 Se repite esta operación hasta que a converja:
|𝑎𝑖− 𝑎𝑖−1| < 𝜀1
2.4 Con la convergencia de la velocidad inducida axial, se persigue recalcular la velocidad inducida tangencial aumentando el valor de j.
𝑗 = 𝑗 + 1 𝐶𝑝 = 4𝑎(1 − 𝑎)
2
7. Modelo dinámico
49 Sabiendo que la velocidad inducida es perpendicular a la velocidad relativa para pequeños ángulos de ataque se cumple la siguiente ecuación:
tan 𝛷 = 𝑣∞(1 − 𝑎) 𝜔𝑡𝑅(1 + 𝑎𝑡′) =
𝜔𝑡𝑅𝑎𝑡′
𝑣∞𝑎 (7.20)
Que se puede reescribir como:
𝑎(1 − 𝑎) 𝑎𝑡′(1 + 𝑎
𝑡′)
= 𝜆2
(7.21)
Finalmente se puede despejar 𝑎𝑡,𝑗′ :
𝑎𝑡,𝑗′ = − 1 2⁄ +√𝜆
2+ 4𝑎
𝑖(1 − 𝑎𝑖)
2𝜆 (7.22)
2.5 Se repiten los pasos 2.2, 2.3 y 2.4 hasta que converja el coeficiente de velocidad inducida tangencial:
|𝑎𝑡,𝑗′ − 𝑎𝑡,𝑗−1′ | < 𝜀2
3. Conocidos los valores de at’ y a se puede calcular la velocidad inducida
axial y tangencial:
𝑊𝑎𝑖𝑛𝑡 = 𝑣∞𝑎 (7.23)
𝑊𝑡𝑖𝑛𝑡 = 𝜔
𝑡𝑅𝑎𝑡′ (7.24)
Una vez son conocidas las velocidades inducidas axiales y tangenciales se debe buscar la forma de integrarlas en el ángulo de ataque y en la velocidad relativa. Al incluir dinámica en estos dos parámetros se obtendrá en consecuencia un ángulo de paso dinámico y una velocidad del viento dinámica que se utilizará para calcular el coeficiente de potencia y el par mecánico aplicado al rotor.
• Ángulo de ataque. El ángulo de ataque de la pala no aparece en ninguna expresión del coeficiente de potencia, pero sí aparece el ángulo de paso (β) y por ello se desea obtener un ángulo de paso dinámico (βdin) que
contemple los efectos aerodinámicos mencionados con anterioridad. El comportamiento dinámico del ángulo de ataque (αdin) viene
Comparación de los modelos de potencia capturada por los aerogeneradores para la mejora del sistema de control de paso de pala
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determinado por el que tiene el ángulo φ y que se representa a continuación como φdin:
𝛼𝑑𝑖𝑛(𝑡) = 𝜙𝑑𝑖𝑛(𝑡) − 𝜃𝑝𝑎𝑙𝑎− 𝛽(𝑡) (7.25)
Con los valores anteriormente obtenidos de velocidades inducidas se puede obtener fácilmente el valor del término dinámico de φ.
𝜙𝑑𝑖𝑛 = 𝑎𝑡𝑎𝑛 (
𝑣∞− 𝑊𝑎
𝜔𝑡𝑅 + 𝑊𝑡) (7.26)
De no ser considerada la dinámica del sistema, este valor sería diferente:
𝜙 = 𝑎𝑡𝑎𝑛 (𝑣∞− 𝑊𝑎
𝑖𝑛𝑡
𝜔𝑡𝑅 + 𝑊𝑡𝑖𝑛𝑡) (7.27)
Con estos dos valores de ángulo φ (con y sin dinámica) se puede definir un incremento de este valor como:
𝜙𝑑𝑖𝑛(𝑡) = 𝜙(𝑡) − ∆𝜙 (7.28)
Al incluir este término en la expresión (7.21) se obtiene un valor del ángulo de ataque dinámico como:
𝛼𝑑𝑖𝑛(𝑡) = 𝜙(𝑡) − 𝜃𝑝𝑎𝑙𝑎− 𝛽(𝑡) − ∆𝜙 (7.29)
Finalmente se incorpora este incremento de φ como:
7. Modelo dinámico
51 Las condiciones en las que son válidas las ecuaciones expuestas anteriormente se citan en el apartado de pliego de condiciones.
• Velocidad relativa. La velocidad relativa, que es la suma de todas las componentes vectoriales del viento que inciden en un instante dado en la pala, tampoco aparece en la expresión del coeficiente de potencia. Como sí lo hace la velocidad del viento, se pretende introducir una variable denominada velocidad del viento dinámica que contemple los efectos dinámicos descritos asociados al cambio de paso de pala. Mientras que la sustentación varía con el cuadrado de la velocidad relativa, la potencia capturada lo hace con el cubo de la velocidad del viento, que es la que fija la dirección axial del vector. Esto obliga a que solo se pueda introducir la dinámica propuesta por Øye en la componente axial de la velocidad inducida. Cuando se introduce esta dinámica, la velocidad axial queda como:
𝑣𝑑𝑖𝑛 = 𝑣∞− 𝑊𝑎 (7.31)
Para que esta velocidad relativa sea la misma en estado estacionario que la velocidad relativa sin tener en cuenta la dinámica del sistema se debe completar la expresión de la siguiente forma:
𝑣𝑑𝑖𝑛 = 𝑣∞− 𝑊𝑎+ 𝑊𝑎𝑖𝑛𝑡 (7.32)
Así pues, la velocidad utilizada para el cálculo de la potencia tiene implícita también una parte dinámica a partir de las velocidades inducidas axiales.