4 ESTUDIO COMPARATIVO PARA U ELEMETO FIITO LOGITUDIAL
6.4 Cálculo de la Tensión de Von Mises en el Elemento Longitudinal Bidimensional
Longitudinal Bidimensional Reticulado
Este tipo de elemento finito va a estar sometido a un estado tensional complejo (esfuerzos axiles, esfuerzos cortantes y momentos flectores), por lo que es muy conveniente poder establecer algún criterio que permita encontrar un estado de
COMPARATIVA ENTRE LOS RESULTADOS OBTENIDOS CON MATLAB Y NASTRAN MEDIANTE EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS
esta manera hacer posible la comparación de esta tensión con el limite elástico del material que se le ha adjudicado al elemento finito.
Son varios los criterios que se han propuesto para fijar esta tensión equivalente [12] (Criterio de Ranking, Criterio de Tresca,…, etc), pero el criterio que se va a considerar en este proyecto (es además el criterio usado generalmente) es el criterio de Von Mises.
En el criterio de Von Mises, el estado tensional plano, que se tiene para este tipo de elemento finito, se puede escribir como se muestra a continuación:
2 ' ' 2 ' 3· xy x VM
σ
τ
σ
= + (6. 24)La tensión normal de elemento σx, se obtiene a partir del esfuerzo axil y del
momento flector como se detalla a continuación:
y I M A x' = + · σ (6.25) Donde:
• y = Distancia de la fibra neutra a la máxima tensión normal generada por el momento flector.
• M = Momento flector.
La expresión de la tensión cortante del elemento τx’y’ se obtiene a partir del
esfuerzo cortante en el elemento finito según la siguiente expresión
.
I b m T xy · · = τ
(6.26) Donde:
• m = Momento estático de la sección transversal. • b = Longitud horizontal de la sección transversal.
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6.5
Descripción de la Elaboración del Modelo Usado para el
Estudio
Comparativo
del
Elemento
Longitudinal
Bidimensional Reticulado
El problema que se ha seleccionado para la elaboración del estudio comparativo de el elemento longitudinal bidimensional reticulado consiste en un pórtico reticulado en el cual se han aplicado una carga vertical en el sentido negativo del eje Y, y una carga horizontal en el sentido positivo del eje X en una de las uniones reticuladas, mientras que sobre la otra unión reticulada se ha aplicado un momento positivo (se usará el convenio de signos para todo el proyecto, según el cual los momentos positivos son aquellos que giran a derechas y negativos los que giran a izquierdas). Para una completa comprensión de esta estructura, esta aparece reflejada en la Figura 25. Fx Fy M Fx Fy M
Figura 25: Pórtico Longitudinal Bidimensional Reticulado
Los datos que es necesario conocer de este pórtico para poder meterlos en los programas y desarrollar el modelo son: la longitud de los pilares del pórtico (que en esta caso son iguales), la longitud de la viga del pórtico, la sección de las partes que forman el pórtico (siendo en este caso igual para todas) y el momento de inercia respecto al eje neutro (eje z que pasa por el centroide). De las propiedades del material, solo es necesario tener como dato el módulo de elasticidad, también, como es lógico, es necesario conocer el valor de las fuerzas externas que van a ser aplicadas sobre la estructura.
COMPARATIVA ENTRE LOS RESULTADOS OBTENIDOS CON MATLAB Y NASTRAN MEDIANTE EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS
• Longitud de los pilares : 1.8 m • Longitud de la viga : 1.2 m
• Material : 200·109 N/m2
• Sección (cuadrada) de cada uno de los elementos : 0.0017 m2 • Momento de inercia : 2.40833·10-7 m4 • Fuerza Vertical (Fy) : -90000 N • Fuerza Horizontal (Fx)
: 80000 N • Momento positivo : 7500 N·m
A la hora de modelar este pórtico con elementos finitos longitudinales bidimensionales reticulados se ha realizado la numeración de elementos y de nodos que se muestran en la Figura 26 y en la Tabla 26.
Nodo con todos sus grados
de libertad restringidos Nodo con todos sus grados de libertad restringidos 1 2 3 1 2 3 4 Y
X Nodo con todos sus grados de libertad restringidos Nodo con todos sus grados de libertad restringidos 1 2 3 1 2 3 4 Nodo con todos sus grados
de libertad restringidos Nodo con todos sus grados de libertad restringidos 1 2 3 1 2 3 4 Y X
Figura 26: Modelo con Elementos Longitudinales Bidimensionales Reticulados
Elementos odos
1 1 2
2 2 3
3 3 4
COMPARATIVA ENTRE LOS RESULTADOS OBTENIDOS CON MATLAB Y NASTRAN MEDIANTE EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS
Para modelar este problema, tanto en MATLAB como en FEMAP se han dando las siguientes propiedades a los elementos finitos que se han usado en la elaboración del modelo: Elemento 1, Elemento 3: • Longitud : 1.8 m • Sección Transversal : 0.0017 m • Momento de Inercia :4.0833·10-7 m4 • Módulo de elasticidad : 2.1011 N/m2 Elemento 2 • Longitud :1.2 m • Sección Transversal :0.0017 m • Momento de Inercia :2.40833·10-7 m4 • Módulo de elasticidad : 2.1011 N/m2
6.5.1
Modelado con MATLAB
El programa elaborado en MATLAB con el que se modela este pórtico con elementos finitos longitudinales bidimensionales reticulados consiste de los siguientes módulos.
Módulo de entrada de Datos.
En este módulo se le pide al usuario que introduzca los valores de longitud de los pilares y de la viga del pórtico, la sección, el momento de inercia y el módulo de elasticidad.
Módulo de representación de la estructura.
Aquí se realizan las operaciones necesarias para poder mostrar al usuario una representación gráfica del pórtico que se va a estudiar.
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En este Módulo mediante llamadas a funciones externas se calculan las matrizas de rigidez de cada elemento y posteriormente se muestran los resultados al usuario.
Módulo de ensamblaje de la matriz global de rigidez.
En este modulo se procede a realizar la operación de ensamblaje de la matriz de rigidez global del sistema mediante una función externa y una vez ensamblada, se le muestra al usuario esta matriz.
Módulo de cálculo de desplazamientos nodales.
Aquí se aplican todas las condiciones de contorno, se le pide al usuario que introduzca el valor de las Fuerzas en el nodo 2 y el momento en el nodo 3, se plantea la ecuación que relaciona Matriz de rigidez global con cargas y desplazamientos nodales, se obtienen estos últimos y se le muestran los resultados al usuario.
Módulo de representación de la estructura sin deformar y deformada.
Aquí se realizan las operaciones necesarias para poder mostrar al usuario una representación gráfica de la estructura primero sin deformar (como ya se mostró en un módulo anterior) y, luego superpuestas, se muestran las gráficas de la estructura sin deformar y deformada bajo las cargas y el momento que ha seleccionado el usuario.
Módulo de cálculo de reacciones.
En este módulo se calcula las reacciones que se producen en los apoyos que se producen en los (Nodos 1 y 4).
Módulo de cálculo de fuerzas en el elemento finito.
En esta parte se calculan las fuerzas que se originan en cada elemento finito bajo las cargas aplicadas (esfuerzos axiles, esfuerzo cortante y momento flector), mediante funciones externas y posteriormente se muestran al usuario.
Módulo de representación de los esfuerzos axiles.
En este módulo se muestran las gráficas de los esfuerzos axiles que se han calculado para cada elemento en el módulo de cálculo de fuerzas y se muestran al usuario uno por uno los diagramas de esfuerzos axiles de todos los elementos finitos que forman el modelo.
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En este módulo se muestran las gráficas de los esfuerzos cortantes que se han calculado para cada elemento en el módulo de cálculo de fuerzas y se muestran al usuario, uno por uno, los diagramas de esfuerzos cortantes de todos los elementos finitos que forman el modelo.
Módulo de representación de los momentos flectores.
En este módulo se muestran las graficas de los momentos flectores que se han calculado para cada elemento en el módulo de cálculo de fuerzas y se muestran al usuario,uno por uno, los diagramas de momentos flectores de todos los elementos finitos que forman el modelo.
Módulo de cálculo de la tensión de Von Mises.
Con este módulo se cierra el programa, aquí se calculan las tensiones de Von Mises de todos los elementos finitos que forman el pórtico modelado en este programa.
6.5.2
Modelado con FEMAP para el Solver NASTRAN
Para realizar el modelado con FEMAP se han usado elementos BEAM, los cuales son elementos finitos muy utilizados a la hora de hacer modelos de estructuras reales.