n ⋅ − grados tg 2 2 l a= α
El ejemplo más sencillo es, quizá, el hexágono, ya que α = 120º. Así: 3
2
a= ⋅l
En esta tabla se recogen el ángulo entre lados contiguos y el valor del apotema, suponiendo que el lado l = 1.
Nombre del polígono n Ángulo, α Apotema, a
Tetrágono regular 4 90º
0,50
Pentágono regular 5 108º0,69
Hexágono regular 6 120º0,87
Heptágono regular 7 128,57º1,04
Octágono regular 8 135º1,21
Eneágono regular 9 140º1,37
Decágono regular 10 144º1,54
Endecágono regular 11 147,27º1,70
Dodecágono regular 12 150º1,87
¿Cómo se calcula el perímetro y el área de un polígono
regular?
El perímetro de un polígono es la suma de las longitudes de sus lados y el área de un polígono es la medida de su extensión. El perímetro de un polígono regular es igual al producto de la longitud de cada lado por el número de lados. Para el cálculo del área sólo es preciso conocer el número de lados y su longitud.
El perímetro, P, es muy fácil de calcular, ya que todos los lados son iguales. Si n es
el número de lados y l es la medida de cada uno de ellos, evidentemente, el perímetro
de un polígono es:
P = n · l
El área tampoco es difícil de calcular: se divide el polígono regular en n triángulos
isósceles, uniendo el centro del triángulo con cada uno de los vértices, tal como se ve en la ilustración del octágono regular.
Evidentemente, para calcular el área del polígono, sólo debe multiplicarse por el número de lados el área de uno de los triángulos. Ahora bien, la base de un triángulo es el lado, l, del polígono regular; la altura del triángulo es el apotema, a, del
polígono. Por lo tanto, el área del triángulo es 2 tg 2 2 tg 2 2 4 l l l a l α 2 α ⋅ ⋅ = =
Así pues, el área de un polígono regular de n lados, de lado l y ángulo α = 180·(n 2) entre lados, es igual a
n − 2 tg 2 4 l a n l A n 2 α ⋅ ⋅ = ⋅ =
¿Cuáles son las características básicas de un cuadrilátero?
Los cuadriláteros están entre los polígonos más importantes y estudiados, y por ello es necesario estudiarlos con mayor detenimiento. Hay dos tipos esenciales de cuadriláteros: los trapecios y los paralelogramos. Entre los primeros, se encuentran los trapecios propiamente dichos y lostrapezoides. Entre los segundos, los más importantes son los cuadrados, rectángulos y rombos. Las fórmulas del perímetro y del área de un cuadrilátero son más sencillas cuanto más regular es.
Junto con los triángulos, los cuadriláteros son uno de los polígonos más estudiados e importantes de la geometría plana. Por ello se estudian con más detenimiento. Dos elementos cualesquiera de un cuadrilátero (lados, ángulos o vértices) se denominan:
• contiguos, si se encuentran uno al lado del otro. Por ejemplo, en la figura, el lado AC es contiguo al lado CD porque comparten el vértice C; los vértices B y D son contiguos porque comparten el lado BD.
• opuestos, en cualquier otro caso. Por ejemplo, en la figura, los lados BD y AC. El ángulo
ABD
es opuesto al vértice C.A B
C D
Las diagonales de un cuadrilátero son segmentos que unen vértices opuestos. Normalmente, la diagonal más corta se indica con la letra d, y la mayor con la D.
d
Los cuadriláteros se clasifican de la siguiente manera:
Los trapecios y los trapezoides Un trapecio es un cuadrilátero que sólo tiene dos lados paralelos, denominados bases
b (la base menor) y B (la
base mayor). La distancia entre estos dos lados paralelos se denomina altura (h).
Pueden distinguirse tres tipos de trapecios:
• Trapecio rectángulo, que tiene dos ángulos rectos. • Trapecio isósceles, que tiene dos ángulos iguales,
que no son rectos.
• Trapecio escaleno, que no tiene ningún par de ángulos iguales.
Un trapezoide es un cuadrilátero que no tiene ningún par de lados paralelos.
Los paralelogramos Un paralelogramo es un cuadrilátero que tiene los lados paralelos dos a dos. Suele identificarse la base como el lado mayor. La distancia entre los otros dos lados no paralelos a la base se denomina altura del paralelogramo. • El rombo es un paralelogramo que tiene las
diagonales perpendiculares.
• El rectángulo es el paralelogramo que tiene todos los ángulos iguales, es decir, de 90º.
• El cuadrado es el paralelogramo que tiene todos los ángulos y todos los lados iguales.
trapecio
rombo rectángulo cuadrado
• El perímetro de un cuadrilátero se calcula sumando todos sus lados. Por ejemplo, si a, b, c y d, son los lados de un trapecio, y llamamos P a su perímetro,
entonces
P = a + b + c + d
a
b d c
En el caso de un paralelogramo, como los lados son iguales dos a dos, su perímetro es P = 2a + 2b siendo a y b la medida de dos lados desiguales. Finalmente, en el caso
concreto de un cuadrado, cuyos lados son todos iguales, y que podemos denominar l,
su perímetro es:
P = 4l
• El área de un cuadrilátero puede obtenerse aplicando una fórmula diferente según el tipo de cuadrilátero:
h
b
• El área de un cuadrado
Si l es el lado, el área del cuadrado es A = l2 • El área de un rectángulo
Si b es la base del rectángulo y h es su altura, el área del rectángulo es A = b · h
• El área de un rombo
Si d y D son las diagonales del rombo, su área es 2
D d A= ⋅
• El área de cualquier otro paralelogramo
Si b es la base del paralelogramo, y h es su altura, el área del
paralelogramo es A = b · h b
h B
Si b es la base menor de un trapecio, B la base mayor, y h la altura,
entones su área es 2 ) (b B h A= + ⋅
8 cm 6 cm
4 cm 3 cm
Su área es igual al área del rectángulo de 8 cm de base y 6 cm de altura, más el área de los dos triángulos laterales. El área del rectángulo es 8 · 6 = 48 cm2; el área del
triángulo de la izquierda es 4 · 6/2 = 12 cm2; el área del triángulo de la derecha es 6 ·
3/2 = 9 cm2. Por lo tanto, el área total es 48 + 12 + 9 = 69 cm2. Es el mismo resultado
que se obtiene con la fórmula:
( ) (8 15) 6
69
2 2
b B h
A= + ⋅ = + ⋅ = cm2