C´alculo de un sistema de generadores para la intersecci´on del cono y del

secci´on del cono y del grupo asociado a un semigrupo

af´ın

Recordemos que un semigrupo af´ın, S, tiene una teor´ıa de divisores si y s´olo si verifica que S = L_Q+(S) ∩ G(S). Una de las inclusiones siempre se da, a saber, S ⊆ L

Q+(S) ∩

G(S). Para ver si se da la otra inclusi´on, lo que vamos a hacer es calcular un sistema de generadores de L_Q+(S) ∩ G(S) y ver si est´a contenido en S. La idea que usamos para

calcular dicho sistema de generadores se basa en que todo elemento de un sistema minimal de generadores de L_Q+(S) ∩ G(S) tiene que ser primitivo (esto es, no puede ponerse como

suma de otros dos elementos de L_Q+(S) ∩ G(S)). Encontramos una cota para los elementos

que son primitivos, y al igual que hicimos en la secci´on anterior, basta con barrer la regi´on determinada por dicha cota.

Proposici´on 9.2.1 Sea S ⊆ Nk un semigrupo generado por{s1, . . . , st}. Si x es un gene-

rador minimal de L_Q+(S) ∩ G(S), entonces x = ∑t

i=1λisi, con λi∈ [0, 1] ∩ Q para todo

i∈ {1, . . . ,t}.

Demostraci´on: Claramente λi≥ 0 por estar x ∈ L_Q+(S). Supongamos que λ_i> 1, entonces

x= si+ y, donde y = (λi− 1)si+ ∑tj=1, j6=iλjsj. Por tanto, x no es primitivo ya que si∈

L_Q+(S) ∩ G(S) e y ∈ L

Q+(S) ∩ G(S), por lo que no puede ser un generador minimal. 

Este resultado nos proporciona la mencionada cota:

Corolario 9.2.2 Bajo las hip´otesis anteriores, si x es primitivo, entonces x ≤ ∑ti=1si.

Ahora bien, un sistema minimal de generadores de L_Q+(S) ∩ G(S) tiene que estar con-

tenido en el conjunto de elementos primitivos de L_Q+(S) ∩ G(S), y ´este a su vez est´a con-

tenido en la caja B = {x ∈ Nk: x ≤ ∑ti=1si}. Podemos calcular las ecuaciones de G(S), y

en consecuencia podemos siempre decidir si un elemento pertenece o no a G(S). Para de- cidir si un elemento est´a en L_Q+(S), podemos usar los resultados obtenidos en la secci´on

anterior, de la siguiente manera: si queremos saber si existen λ1, . . . , λr ∈ Q tales que r

∑

i=1

9.2. C ´ALCULO DE UN SISTEMA DE GENERADORES PARA LA INTERSECCI ´ON DEL CONO Y DEL GRUPO ASOCIADO A UN SEMIGRUPO AF´IN (132)

con ci∈ Nk, eliminando denominadores, es equivalente a encontrar una soluci´on positiva

con xr+16= 0 del sistema:

(c1. . . cr− cr+1)      x1 .. . xr x_r+1      = 0

Y este sistema tiene soluci´on si y s´olo si existe un generador minimal del semigrupo de soluciones positivas del sistema cuya ´ultima coordenada sea no nula. Esto lo podemos hacer usando la secci´on anterior.

Con todo esto, tenemos una forma concreta de comprobar si S tiene o no una teor´ıa de divisores.

Ejemplo 9.2.3 Sea

S= h(2, 0, 0), (0, 3, 0), (0, 0, 5), (1, 1, 1), (0, 2, 3)i.

Tenemos que _{G(S) = Z}3, y como es simplicial, L_Q+(S) ∩ G(S) = N3∩ Z3= N36= S,

por lo que S no tiene teor´ıa de divisores. Ejemplo 9.2.4 Sea

S= h(2, 0, 0), (0, 2, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 1)i.

En este caso,_{G(S) = Z}3. Para ver si L_Q+(S) ∩ G(S) = S, tenemos que ver que todos los

elementos menores que(2 + 1 + 1, 2 + 1 + 1, 1 + 1 + 1) = (4, 4, 3) que est´en en L_Q+(S) ∩

G(S) est´an en S. Pero (1, 0, 0) = 1/2(2, 0, 0) ∈ L_Q+(S) ∩ G(S) \ S, por lo que son distintos

y S no tiene teor´ıa de divisores.

Ejemplo 9.2.5 Un ejemplo de semigrupo con teor´ıa de divisores podr´ıa ser S= h(0, 1, 0, 1), (5, 0, 2, 3)i,

ya que S es el semigrupo de soluciones positivas del sistema de ecuaciones x+ y − z − t = 0

2x − 5z = 0 

CAP´ITULO 9. SEMIGRUPOS AFINES CON TEOR´IA DE DIVISORES (133)

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