CAPÍTULO 6 MODELACIÓN MATEMÁTICA Y NUMÉRICA
6.6. Modelos geométricos de microestructura
6.6.3. Campo de fase
En un modelo de campo de fase, se utilizan una o más variables de campo artificiales. Diferentes valores de las variables de campo distinguen fases y dominios diferentes. Por ejemplo, si se considera un sistema con N granos 1, 2,…,N, el campo
de fase podría valer 1 dentro del grano , 0 dentro de los otros granos, y 0<<1 en
las fronteras de grano [81].
A través de las interfases, las variables de campo varían continuamente a partir de un valor uniforme correspondiente a un tipo de la fase a otro valor uniforme correspondiente a otra fase. Por lo tanto, las interfases en un modelo de campo de fase son difusas y poseen cierto espesor.
La variación de una variable de campo a través de una interfase se muestra esquemáticamente en la Figura 35:
Una forma efectiva de formular la evolución microestructural (cinética del cambio microestructural) es definiendo una energía total del sistema y derivar la cinética en una ruta descendente de la energía total. La energía puede representarse mediante la ecuación (6.70):
,
F F r t
donde r es un vector de posición y t el tiempo. Dado que es en sí una función, por lo tanto, F sería un funcional de energía libre cuyas derivadas se obtienen con la ayuda del cálculo variacional [40].
En el método de campo de fase, la termodinámica de una microestructura heterogénea se describe mediante la teoría de interfase difusa (diffuse-interface) de Cahn y Hilliard [40]. De acuerdo a esta teoría, para un sistema descrito mediante un campo de composición, la energía libre local f, de un sistema heterogéneo depende no solamente de la composición local c, sino también de los gradientes de composición. Truncando en segundo orden en la expansión de la energía libre en términos de los gradientes de composición con respecto a una composición uniforme, la energía libre química total de un sistema con volumen V está dada por:
2 2F f c c dV
donde es el coeficiente energético de gradiente de composición. caracteriza el costo energético debido a la heterogeneidad del campo en las interfases, es decir, la contribución de la energía interfacial a la energía libre total. El término de gradiente de energía es cero dentro de una fase o dominio donde la composición es uniforme, y diferente de cero a través de las interfases donde varían los campos de composición. Por lo tanto, la ecuación anterior representa la energía libre química total de una microestructura incluyendo la energía libre volumétrica así como la energía libre en exceso asociada con todas las interfases de la microestructura.
(6.70)
Para un sistema heterogéneo general si se tiene una variable de campo descrita por un conjunto de campos conservativos, ci (por ejemplo: la concentración, la densidad,
volumen molar en sistemas multicomponentes), y un conjunto de campos no conservativos, i (por ejemplo: ordenamiento atómico, deformación plástica para las
dislocaciones, magnetización), la energía libre total se puede escribir como [82]:
3 3 2 1 2 1 2 3 1 1 1 1 , ,..., , , ,..., ' ' p n n i i ij i k j k i i j k F f c c c c dV G r r dVdV
donde f es la densidad de energía libre local en función de todas las variables de campo, i y i son los coeficientes de los gradientes de energía. La segunda integral
doble representa las contribuciones de interacciones por pares, no locales, de largo rango [G(r-r’)] tales como las interacciones elásticas, electrostáticas y magnéticas entre los elementos volumétricos dV y dV’.
En todos los modelos de campo de fase, la evolución espacial y temporal de las variables de campo sigue el mismo conjunto de ecuaciones cinéticas. Todos los campos conservativos, evolucionan con el tiempo de acuerdo a la ecuación de Cahn-Hilliard, o simplemente la ecuación de difusión en el caso de que no se introduzca un gradiente de energía para la variable conservativa, mientras que para los campos no conservativos, están gobernados por la ecuación de Allen-Cahn [82]:
, , i ij j c r t F M t c r t , , p p q q r t F L t r t (6.72) (6.73) (6.74)donde Mij y Lpq están relacionados a la movilidad atómica o interfacial. F es la
energía libre total de un sistema, el cual es un funcional de todos los campos relevantes conservativos y no conservativos.
Resolviendo numéricamente los sistemas de ecuaciones de Cahn-Hilliard y de Allen-Cahn sujetas a condiciones iniciales y de frontera apropiadas, se puede obtener la evolución de la microestructura. La malla puede estar compuesta de elementos cuadrados o elementos triangulares [41], aunque la mayoría de las simulaciones de campo de fase emplean discretización de diferencias finitas de segundo orden en el espacio utilizando rejillas uniformes y el método de Euler hacia delante para el avance en tiempo (método explícito). Se puede obtener un ahorro dramático en tiempo de computación y mejora en la precisión numérica utilizando métodos más avanzados como el método espectral de Fourier semi-implícito y MEF con malla adaptativa [82].
El método de campo de fase ofrece un número de ventajas. Con éste método se puede modelar la evolución de morfologías arbitrarias y microestructuras complejas sin rastrear explícitamente las posiciones de la interfase. Puede ser aplicado a todos los tipos de problemas de microestructura si se eligen apropiadamente las variables de campo físicas o artificiales. Puede describir diferentes procesos tales como las transformaciones de fase (debido a la reducción de energía libre volumétrica) y engrosamiento de partículas (debido a la reducción de la energía interfacial) dentro de la misma formulación. Es sencillo incorporar el efecto de la coherencia y esfuerzos aplicados así como campos eléctricos y magnéticos. Es posible ligar los modelos de campo de fase a bases de datos termodinámicas y cinéticas para obtener los parámetros de los materiales.