Caracterización del algoritmo DE

Como se comentó en la introducción del capítulo, partimos de que las dos primeras etapas del procedimiento de caracterización ya han sido llevadas a cabo y se ha seleccionado el conjunto de funciones prueba caracterizado en la sección 4.1.2 cuyas propiedades se resumen en las tablas 4.3, 4.4 y 4.5. En cuanto a las medidas de error y rendimiento, se utilizarán el CPEM, el SR y el 𝐺𝑁𝐸. Describimos a continuación la tercera etapa del procedimiento

propuesto, centrada en la ejecución y el análisis de resultados.

Ejecución de las pruebas

El primer paso consiste en ejecutar el algoritmo sobre este conjunto de prueba siguiendo las indicaciones explicadas en 4.3.1. Los parámetros propios del algoritmo DE utilizados en este trabajo se muestran en la tabla 5.12. Como parte de este tercer paso se llevó a cabo un análisis poblacional con el objetivo de determinar el tamaño poblacional óptimo para cada función del conjunto de prueba. En el siguiente apartado se analizan los resultados obtenidos en este sentido.

Análisis poblacional En la tercera columna de la tabla 5.13 se muestran los tamaños de población óptimos obtenidos por el DE. Como ya se comentó anteriormente, no se presentan en este trabajo todos los datos existentes por cuestiones de espacio, sino únicamente los que obtienen el mejor resultado final.

Analizando los tamaños de población obtenidos comenzando por las funciones de baja dimensionalidad, vemos que la mayor parte de ellas no requieren más de 20 individuos para resolver el problema. Los casos excepcionales son las funcionesEasom, Shekel 5, Shekel 7, Shekel 10yShekel's Foxholesen los cuales es necesaria una población de 40 o 50 individuos según los casos. La topología de estas funciones, tanto laEasomque es unimodal como en

138 5.3. DE

Algoritmo 5Esquema básico del algoritmo Evolución Diferencial.

Entrada:

𝑁𝑃, número de individuos de la población.

𝐷, número de genes de cada cromosoma.

𝑡_𝑚𝑎𝑥, número máximo de generaciones.

𝐶𝑅, influencia del padre en el hijo generado.

𝐹, peso de la suma ponderada, influencia de las soluciones en la nueva solución.

1: 𝑡 ← 0

2: Generar la población inicial de forma aleatoria:𝐱𝑖_𝑡, ∀𝑖, 𝑖 = 1, … , 𝑁𝑃

3: Evaluar𝑓(𝐱_𝑡𝑖), ∀𝑖, 𝑖 = 1, … , 𝑁𝑃 4: for𝑡 = 1hasta𝑡_𝑚𝑎𝑥do

5: for𝑖 = 1hasta𝑁𝑃 do

6: Seleccionar de forma aleatoria:𝑟₁ ≠ 𝑟₂ ≠ 𝑟_𝑏 7: 𝑗_{𝑟𝑎𝑛𝑑} = 𝑟𝑎𝑛𝑑(1, 𝐷) 8: for𝑗 = 1hasta𝐷do 9: if 𝑟𝑎𝑛𝑑_𝑗(0, 1] < 𝐶𝑅or𝑗 = 𝑗_{𝑟𝑎𝑛𝑑} then 10: 𝑢𝑖_𝑗,𝑡+1= 𝑥𝑟𝑏 𝑗,𝑡+ 𝐹(𝑥 𝑟1 𝑗,𝑡 − 𝑥 𝑟2 𝑗,𝑡) 11: else 12: 𝑢𝑖_𝑗,𝑡+1= 𝑥𝑖_𝑗,𝑡 13: end if 14: end for 15: if 𝑓(𝐮𝑖_𝑡+1) ≤ 𝐱𝑖_𝑡then 16: 𝐱_𝑡+1𝑖 = 𝐮𝑖_𝑡+1 17: else 18: 𝐱_𝑡+1𝑖 = 𝐱_𝑡𝑖 19: end if 20: end for 21: 𝑡 ← 𝑡 + 1 22: end for

los otros cuatro casos que son multimodales, provoca la necesidad de un mayor nivel de exploración por parte del algoritmo. Esto se consigue aumentando el tamaño de la población. En las funciones de alta dimensionalidad, igual que se hizo en el caso del CMA-ES, se distingue entre funciones unimodales y multimodales. En el primer caso, las funciones unimodales, no es necesario un tamaño de población elevado para resolverlas excepto en el caso de la funciónPerm, que debido a su dificultad requiere un mayor número de individuos aunque en ninguno de los casos analizados (tamaños de población de 10 a 100 individuos) se resuelve.

En el caso de las funciones multimodales, el tamaño poblacional óptimo es de 20 indivi- duos excepto en las funcionesRastrigin,Schwefel,Griewankde dimensión 10 yRosenbrock. Las tres primeras funciones comparten la característica de presentar un elevado número de óptimos, en concreto 11𝑛, 8𝑛 y 4𝑛 respectivamente. Además son las funciones con mayor distancia entre centros de atracción 4.86𝑒−1, 9.20𝑒−1 y 4.55𝑒−1. Por este motivo son las funciones que mayor nivel de exploración requieren. Una de las estrategias para aumentar el nivel de exploración es utilizar un tamaño de población alto. En el caso de la funciónRo- senbrock, a pesar de tener solamente dos óptimos locales como se indica en la tabla 4.4 de la sección 4.1.3, su topología provoca que el algoritmo tenga tendencia a caer en el óptimo

Capítulo 5. Aplicación del procedimiento de caracterización 139

Operador Parámetro Valor

Mutación

Estrategiabase rand Núm. de vectores 1

F 0.9

Cruce Tipo bin

CR 0.1o0.9, dependiendo del tipo de función. Tabla 5.12: Parámetros de configuración utilizados para la caracterización del DE local y que requiera, al igual que las funciones anteriores, un mayor tamaño de población para aumentar el nivel de exploración y resolver la función.

Resumiendo, generalmente el número de individuos requeridos por el DE para resolver una función del conjunto no es mayor de 30. Si la topología de la función requiere un mayor nivel de exploración, como es el caso de las funciones multimodales con un número elevado de centros de atracción o con amplia distancia entre ellos, entonces es necesario aumentar el tamaño de la población para resolverla.

Análisis de resultados

Como en las secciones anteriores, la caracterización del DE se ha realizado ejecutando el algoritmo sobre las funciones del conjunto de prueba utilizando el procedimiento que se explica en la sección 4.3.1. Los resultados obtenidos se muestran en la tabla 5.13.

Tabla 5.13: Resultados obtenidos por el algoritmo DE en el conjunto de funciones utilizadas en este trabajo.

Función D N SR CPEM GNE

Axis Parallel 10 20 1.00 7.34𝑒−8 ± 2.55𝑒−9 1.78𝑒−6 ± 3.34𝑒−7 30 20 1.00 8.98𝑒−8 ± 1.58𝑒−9 5.83𝑒−7 ± 1.11𝑒−7 50 20 1.00 9.88𝑒−8 ± 1.61𝑒−9 2.90𝑒−7 ± 1.05𝑒−7 Schwefel 2.22 10 20 1.00 9.19𝑒−8 ± 2.38𝑒−9 1.41𝑒−8 ± 2.42𝑒−9 30 20 1.00 1.01𝑒−7 ± 1.44𝑒−9 4.49𝑒−9 ± 3.92𝑒−10 50 20 1.00 1.08𝑒−7 ± 1.50𝑒−9 2.75𝑒−9 ± 1.57𝑒−10 Sphere Model 10 20 1.00 6.90𝑒−8 ± 1.73𝑒−9 3.24𝑒−6 ± 2.00𝑒−7 30 20 1.00 8.08𝑒−8 ± 1.60𝑒−9 1.83𝑒−6 ± 4.38𝑒−8 50 20 1.00 8.92𝑒−8 ± 1.42𝑒−9 1.41𝑒−6 ± 3.23𝑒−8 Step 10 10 1.00 1.47𝑒−8 ± 1.28𝑒−9 3.18𝑒−3 ± 5.73𝑒−4 30 20 1.00 3.51𝑒−8 ± 1.40𝑒−9 2.76𝑒−3 ± 2.59𝑒−4 50 20 1.00 3.88𝑒−8 ± 9.96𝑒−10 2.75𝑒−3 ± 2.34𝑒−4 SumOf 10 10 1.00 1.69𝑒−8 ± 2.33𝑒−9 6.57𝑒−2 ± 1.63𝑒−2 30 20 1.00 2.13𝑒−8 ± 1.34𝑒−9 2.19𝑒−1 ± 2.61𝑒−2 50 20 1.00 1.97𝑒−8 ± 1.92𝑒−9 2.69𝑒−1 ± 2.36𝑒−2 Easom 2 40 1.00 2.72𝑒−7 ± 7.50𝑒−8 7.67𝑒−4 ± 3.80𝑒−3 Schwefel 2.21 10 10 1.00 3.14𝑒−7 ± 8.01𝑒−9 7.07𝑒−8 ± 3.23𝑒−7 30 20 1.00 5.82𝑒−7 ± 1.19𝑒−8 5.91𝑒−9 ± 4.89𝑒−10 50 20 1.00 7.57𝑒−7 ± 1.28𝑒−8 5.59𝑒−9 ± 3.35𝑒−10 Colville 4 20 1.00 1.13𝑒−7 ± 2.88𝑒−8 3.63𝑒−3 ± 1.21𝑒−2 Matyas 2 20 1.00 3.86𝑒−8 ± 5.16𝑒−9 5.37𝑒−4 ± 8.61𝑒−4 Perm 10 60 0.72 1.56𝑒−6 ± 2.94𝑒−6 1.12𝑒−2 ± 3.25𝑒−3 30 70 0.00 3.74𝑒+0 ± 8.87𝑒+0 4.65𝑒−3 ± 2.60𝑒−3 50 100 0.00 5.29𝑒+99 ± 2.59+100 6.23𝑒−2 ± 1.75𝑒−2

140 5.3. DE Tabla 5.13 -- continua desde la página anterior

Función D N SR CPEM GNE

Schwefel 1.2 10 20 1.00 1.44𝑒−7 ± 1.78𝑒−8 4.75𝑒−6 ± 6.72𝑒−7 30 20 1.00 4.73𝑒−7 ± 2.85𝑒−8 3.09𝑒−6 ± 1.09𝑒−7 50 20 0.96 2.26𝑒−6 ± 7.02𝑒−6 3.00𝑒−6 ± 2.68𝑒−6 Zakharov 10 20 1.00 1.12𝑒−7 ± 1.52𝑒−8 4.13𝑒−5 ± 3.40𝑒−6 30 30 1.00 5.47𝑒−7 ± 4.02𝑒−8 2.39𝑒−5 ± 4.98𝑒−7 50 30 0.00 1.06𝑒+0 ± 5.19𝑒+0 3.97𝑒−3 ± 1.94𝑒−2 Aluffi-Pentini's 2 20 1.00 3.94𝑒−8 ± 4.44𝑒−9 1.16𝑒−4 ± 5.85𝑒−5 Becker and Lago 2 20 1.00 5.06𝑒−8 ± 7.27𝑒−9 7.39𝑒−1 ± 3.12𝑒−1 Bohachevsky 1 2 20 1.00 5.66𝑒−8 ± 5.63𝑒−9 6.26𝑒−6 ± 7.61𝑒−6 Cosine Mixture 10 20 1.00 4.98𝑒−8 ± 1.91𝑒−9 8.55𝑒−5 ± 1.11𝑒−5 30 20 1.00 5.90𝑒−8 ± 1.24𝑒−9 5.11𝑒−5 ± 1.83𝑒−6 50 20 1.00 6.47𝑒−8 ± 1.07𝑒−9 3.87𝑒−5 ± 1.00𝑒−6 Rastrigin 10 30 1.00 1.18𝑒−7 ± 3.49𝑒−9 4.61𝑒−6 ± 5.83𝑒−7 30 30 1.00 1.59𝑒−7 ± 2.79𝑒−9 2.56𝑒−6 ± 5.81𝑒−8 50 50 1.00 3.78𝑒−7 ± 4.44𝑒−9 1.98𝑒−6 ± 6.42𝑒−8 Schwefel 10 40 1.00 1.66𝑒−7 ± 5.19𝑒−9 2.38𝑒−6 ± 3.38𝑒−7 30 60 1.00 3.27𝑒−7 ± 5.99𝑒−9 1.82𝑒−6 ± 7.96𝑒−8 50 80 1.00 5.70𝑒−7 ± 7.53𝑒−9 1.72𝑒−6 ± 2.99𝑒−8 Ackleys 10 20 1.00 1.10𝑒−7 ± 3.43𝑒−9 7.78𝑒−9 ± 7.81𝑒−10 30 20 1.00 1.01𝑒−7 ± 6.26𝑒−8 7.93𝑒−9 ± 5.09𝑒−10 50 20 1.00 1.49𝑒−7 ± 8.97𝑒−8 7.76𝑒−9 ± 1.20𝑒−10 Griewank 30 20 1.00 6.18𝑒−8 ± 1.36𝑒−9 1.67𝑒−6 ± 1.31𝑒−7 50 20 1.00 9.29𝑒−8 ± 3.40𝑒−9 1.70𝑒−6 ± 7.03𝑒−8 Levy 10 20 1.00 5.03𝑒−8 ± 2.38𝑒−9 1.30𝑒−4 ± 2.01𝑒−5 30 20 1.00 6.18𝑒−8 ± 1.36𝑒−9 7.08𝑒−5 ± 2.85𝑒−6 50 20 1.00 6.95𝑒−8 ± 1.16𝑒−9 5.65𝑒−5 ± 1.96𝑒−6 Penalized 1 10 20 1.00 6.00𝑒−8 ± 2.73𝑒−9 4.42𝑒−5 ± 3.56𝑒−6 30 20 1.00 6.98𝑒−8 ± 1.56𝑒−9 4.45𝑒−5 ± 1.37𝑒−6 50 20 1.00 7.76𝑒−8 ± 1.68𝑒−9 4.46𝑒−5 ± 1.46𝑒−6 Penalized 2 10 20 1.00 6.27𝑒−8 ± 2.80𝑒−9 1.89𝑒−5 ± 2.81𝑒−6 30 30 1.00 1.21𝑒−7 ± 2.51𝑒−9 1.14𝑒−5 ± 6.83𝑒−7 50 20 1.00 8.51𝑒−8 ± 1.73𝑒−9 8.83𝑒−6 ± 3.17𝑒−7 Beale 2 20 1.00 4.70𝑒−8 ± 5.48𝑒−9 3.85𝑒−4 ± 3.553−4 Bohachevsky 2 2 20 1.00 6.26𝑒−8 ± 6.35𝑒−9 5.83𝑒−6 ± 7.94𝑒−6 Dekkers and Aarts 2 10 1.00 1.85𝑒−8 ± 5.29𝑒−9 5.77𝑒−1 ± 5.20𝑒−1 Goldstein Price 2 20 1.00 5.25𝑒−8 ± 2.15𝑒−4 6.25𝑒−5 ± 1.05𝑒−4 Griewank 10 50 1.00 3.93𝑒−7 ± 3.26𝑒−8 1.40𝑒−6 ± 2.38𝑒−7 Hartman 3 3 20 1.00 2.94𝑒−8 ± 4.17𝑒−9 5.47𝑒−3 ± 2.62𝑒−3 Hartman 6 6 20 0.28 1.06𝑒−1 ± 1.99𝑒−1 7.58𝑒−1 ± 3.34𝑒−1 Rosenbrock 10 50 1.00 6.47𝑒−7 ± 3.32𝑒−8 5.37𝑒−6 ± 3.60𝑒−6 30 40 0.24 8.48𝑒−1 ± 1.44𝑒+0 3.78𝑒−3 ± 4.94𝑒−3 50 30 0.00 3.67𝑒+1 ± 3.35𝑒+1 4.29𝑒−2 ± 2.79𝑒−2 Kowalik's 4 60 0.68 3.14𝑒−4 ± 4.61𝑒−4 2.50𝑒−1 ± 3.61𝑒−1 Shekel Family 5 4 50 1.00 2.07𝑒−7 ± 1.78𝑒−8 3.02𝑒−5 ± 8.62𝑒−6 Shekel Family 7 4 40 1.00 1.35𝑒−7 ± 1.28𝑒−8 1.44𝑒−4 ± 4.30𝑒−5 Shekel Family 10 4 50 1.00 1.72𝑒−7 ± 1.22𝑒−8 1.49𝑒−5 ± 4.92𝑒−5 Shekel's Foxholes 2 40 1.00 1.17𝑒−7 ± 2.36𝑒−8 1.01𝑒−2 ± 3.89𝑒−2 SixHump Camel Back 2 20 1.00 5.02𝑒−8 ± 1.74𝑒−9 1.00𝑒−1 ± 9.82𝑒 − 2

Configuración básica En primer lugar se analizarán los resultados obtenidos por el algo- ritmo DE utilizando la configuración propuesta por los autores en [Storn and Price, 1997]. Observando los resultados obtenidos tras la ejecución del algoritmo, se concluye que el DE

Capítulo 5. Aplicación del procedimiento de caracterización 141 tiene problemas con las funciones no separables de alta dimensionalidad (dimensiones 30 y 50). El algoritmo falla en cuatro funciones en las cuales aparecen de manera conjunta estas dos características: las funcionesPerm, ZakharovyRosenbrock. El algoritmo también pre- senta problemas con la función Hartman 6 (no separable de dimensión 6). Este resultado llama la atención porque la función no es de alta dimensionalidad y el DE resuelve todas las funciones no separables de baja dimensionalidad excepto esta. Este comportamiento será discutido y explicado más adelante.

El DE resuelve todas las funcionesL-SeparablesyNL-Separables. Este comportamiento es consecuencia de su operador de cruce, el cual está controlado por el parámetro CRque determina cuántos genes mutados pasan de una generación a la siguiente controlando la di- rección de búsqueda del algoritmo. La probabilidad de que un gen cambie puede calcularse a partir del tipo de cruce utilizado, la dimensión del problema y el valor de CR (ver [Zaharie, 2009] para una explicación detallada). Una probabilidad de cambio baja puede conseguirse utilizando un valor bajo de CR. En este caso se utilizó un valor de0.1 como se recomienda en [Rönkkönen et al., 2005], permitiendo que el proceso de optimización busque en direc- ciones ortogonales y, como consecuencia, se optimice de forma independiente cada uno de los parámetros del genotipo. Por lo tanto, el DE es una buena opción para resolver funciones separables con esta configuración de sus operadores.

En las funcionesNo-Separables, el comportamiento del DE es exitoso en funciones de baja dimensionalidad (excepto en la funciónHartman 6) y su rendimiento empeora en todas las funciones de alta dimensionalidad con más de 10 dimensiones. Normalmente, los pro- blemas aparecen con dimensiones 30 y 50, aunque hay algunos fallos en la funciónPermde 10 dimensiones (con una SR del 72%). Esta función tiene un camino hasta el óptimo muy largo como ya se ha comentado al analizar otros algoritmos. De entre las restantes funciones no separables de alta dimensionalidad, la funciónSchwefel 1.2 no representa un problema para el DEy simplemente tiene algunos fallos en dimensión 50 (SR 96%). El algoritmo no es capaz de resolver la funciónZakharovde dimensión 50 (SR 0%). En la funciónRosenbrock, que es multimodal en vez de unimodal como los tres casos anteriores, el DE falla tanto en dimensión 30 (SR 24%) como en dimensión 50 (SR 0%). Como ya ha sido comentado, la mejor estrategia para resolver funciones no separables es aprender las dependencias entre los parámetros. En el caso del algoritmo DE, el parámetro CR, que controla el número de nuevos genes que pasan a la siguiente generación, debe ser incrementado para obtener el comporta- miento contrario al que se mostró para funciones separables [Zaharie, 2009]. De hecho, en los resultados mostrados en la tabla 5.13, el valor de CR se incrementó a 0.9 para las ejecu- ciones correspondientes a funciones no separables, lo cual mejoró los resultados obtenidos inicialmente. Sin embargo, esto no es suficiente para resolver los casos mencionados.

Existen dos funciones de tipoNo-Separablesde baja dimensionalidad que se deben co- mentar: las fuciones KowaliksyHartman 6. El DE falla algunas ejecuciones de la función Kowaliksobteniendo un SR del 60%, esta función tiene 4 dimensiones. Es una función que presenta muchas dificultades debido a su topología, el centro de atracción óptimos no es el de mayor tamaño (esta no es la única función donde esta característica representa un problema para el DE). Como se muestra en la tabla 4.4, esta función tiene 65 centros de atracción y el tamaño de los mismos crece a medida que los individuos se alejan del óptimo global. Por lo tanto, la función es deceptiva y el DE tenderá a converger hacia los centros de atracción de mayor tamaño. Finalmente, en la funciónHartman 6de 6 dimensiones el DE obtiene un SR del 28%. En el conjunto de funciones de prueba hay tres funcionesNo-Separablesmultimo- dales de 6 o más dimensiones: la funciónGriewank(10D), la funciónRosenbrock(10D, 30D and 50D) y la funciónHartman 6(6D). El DE no tiene problemas con la funciónGriewank, el

142 5.3. DE rendimiento del algoritmo en la funciónRosenbrockcomienza a empeorar a partir de dimen- sión 30 y la funciónHartman 6raramente se resuelve. La clave es el tipo de multimodalidad: la función Hartaman 6 presenta dos centros de atracción aislados y la función Rosenbrock presenta nueve, dos de ellos ocupan casi la totalidad del espacio de calidad considerándose los centros de atracción principales de dicha función. Por otro lado, la funciónGriewanktiene varios centros de atracción repartidos por el espacio de calidad, esta distribución facilita el proceso de exploración del DE. La funciónHartman 6es más difícil que la funciónRosen- brock debido a que en la primera el centro de atracción del óptimo es más pequeño que el otro.

Para terminar con el análisis del algoritmo DE, a partir de los resultados obtenidos se pueden concluir las siguientes características:

• Su rendimiento es satisfactorio en funciones separables debido a su capacidad de buscar en direcciones ortogonales utilizando un valor bajo de CR.

• Presenta problemas con funcionesNo-Separablesde alta dimensionalidad, básicamente porque no tiene en cuenta las dependencias entre parámetros, aunque su rendimiento mejora con valores altos de CR. Este comportamiento es independiente de la modalidad del espacio de calidad.

• En funciones unimodales, un camino muy largo hacia el óptimo empeora el rendimiento del DE, pero en menor medida que otros algoritmos ya que solamente ocurre en la fun- ciónPermque también esNo-Separablede alta dimensionalidad. Por tanto, el camino largo es un problema añadido (el DE tiene menos dificultades con las otras funciones de alta dimensionalidad,No-Separablesy unimodales) pero, probablemente, no sea el problema principal de la funciónPerm. El comportamiento del DE en las funciones unimodales es satisfactorio debido a que su estrategia de búsqueda permite un ajuste automático del paso de mutación basado en la distribución de la población sobre el es- pacio de calidad durante el proceso. En las generaciones iniciales del DE, la población está repartida sobre el espacio de búsqueda y, como el paso de mutación depende de la distancia entre individuos, su valor es alto. A medida que la población converge, la distancia decrece y, en consecuencia, también lo hace el paso de mutación.

• En funciones No-Separables multimodales, un número bajo de centros de atracción parece suficiente para que el número de dimensiones necesarias para observar un mal comportamiento en funcionesNo-Separablessea menor. En este caso concreto el ren- dimiento del algoritmo empeora en funciones con seis o más dimensiones.

Variaciones sobre la configuración básica Los resultados y las conclusiones que han sido explicados en la sección anterior fueron obtenidos utilizando la configuración recomendada en [Rönkkönen et al., 2005]. Esta configuración básica ha resultado ser muy adecuada para resolver funciones que generan espacios de calidad con diferentes características topológicas. Sin embargo, dentro del conjunto de funciones de prueba utilizado en este trabajo, existen varias funciones que no se resuelven utilizando esta configuración. Debemos pues analizar por qué motivo no se resuelven y modificar la configuración del algoritmo para tratar de arreglarlo.

En este caso las funciones no resueltas son las siguientes:

• Dos funciones de tipo unimodal yNo-Separables: las funcionesPermyZakharov. La funciónPermes la que presenta el camino hasta el óptimo más largo dentro de todas las

Capítulo 5. Aplicación del procedimiento de caracterización 143 funciones analizadas en este trabajo. En el caso de la funciónZakharovel camino al óp- timo no es excesivamente largo, situandose en la media de longitudes de las funciones consideradas en este trabajo.

• Tres funciones de tipo multimodal y, también,No-Separables: la funciónKowaliks, la funciónHartman 6y la funciónRosenbrock. En las dos primeras, el centro de atracción óptimo no es el de mayor tamaño. No ocurre lo mismo en la funciónRosenbrock. Analizando las características de estas cinco funciones, todas ellas comparten el hecho de ser no separables. Como ya ha sido mencionado en esta sección, la estrategia que se debe uti- lizar con el DE en el caso de tratar de resolver una función no separable es establecer un valor deCRelevado (generalmente,0.9) para que la búsqueda se realice en direcciones diagonales. Sin embargo, como se ha visto, esto no es suficiente para tratar con este tipo de funciones. En las funciones no separables existen dependencias entre parámetros e, idealmente, para resolver este tipo de funciones, un algoritmo debería tratar de aprender dichas dependencias durante el proceso de optimización. En el caso del DE, su estrategia de búsqueda adapta las variables del problema teniendo en cuenta dichas dependencias. Por lo tanto, para mejorar los resultados obtenidos en las cuatro funciones mencionadas, es necesario seguir otro tipo de estrategia que no involucre el operador de cruce, ya que la configuración utilizada para este operador es la óptima.

En cuanto a la modalidad de las funciones, dos de ellas son unimodales (la funciónPerm y la funciónZakharov). En el caso de la funciónPermde dimensión 10, el valor de CPEM que se obtiene (1.56𝑒 − 6) indica que las ejecuciones no resueltas casi alcanzan el valor con- siderado como óptimo (en este trabajo 10−6). En las ejecuciones con 30 y 50 parámetros, los resultados que obtiene el algoritmo están alejados del valor óptimo (un valor medio de CPEM de3.74𝑒+0para dimensión 30 y5.29𝑒+99para dimensión 50). El algoritmo, en estos dos casos, presenta una velocidad de convergencia lenta. El único caso problemático de la funciónZakharoves en dimensión 50. De las 25 ejecuciones realizadas, 24 obtienen un valor casi óptimo con valores de CPEM entre10−4y10−6y en una de ellas la población del algo- ritmo converge hacia un valor de CPEM de26.48. Con estos resultados podemos concluir que el problema del DE en este tipo de funciones es que la velocidad de convergencia es lenta y que aumentando esta velocidad podríamos obtener mejores resultados. Para aumentar la velocidad de convergencia, es necesario aumentar la presión selectiva. De hecho, la presión selectiva del DE es muy baja. Utilizando la estrategia de mutación rand la probabilidad de escoger el mejor de los individuos de la población cada vez que se genera una nueva solución es muy baja, concretamente,1/(𝑁 ⋅ (𝑁 − 1) ⋅ (𝑁 − 2))siendo𝑁 el número de individuos de la población. Por lo tanto, existen pocas probabilidades de que la información del mejor indi- viduo pase a la siguiente generación disminuyendo notablemente la presión selectiva. Cabe destacar que, a pesar de esta baja presión selectiva, el alto nivel de ''voracidad'' que presenta el algoritmo compensa en parte este problema. Para aumentar esta probabilidad y, en con- secuencia, aumentar la presión selectiva se debe utilizar otra estrategia de mutación. En la bibliografía encontramos diferentes opciones. Entre las más conocidas están las estrategias best[Pahner and Hameyer, 2002] ycurrent-to-best[Mezura-Montes et al., 2006]. Estas es- trategias provocan que el comportamiento del DE sea más voraz, aumentando la velocidad de convergencia, pero pueden provocar convergencia prematura. Otra estrategia interesante es lacurrent-to-pbest[Zhang and Sanderson, 2009], que permite controlar el nivel de presión selectiva deseado ajustando el parámetro p. Utilizando esta estrategia los descendientes se generan utilizando la siguiente ecuación:

144 5.3. DE 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 best 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 rand Pr ob. de seleccionar el mejor individuo

Estrategia de mutación utilizada

Figura 5.13: Evolución de la probabilidad de seleccionar el mejor individuo según la estra- tegia de mutación utilizada utilizando una población de 50 individuos. Los valores extremos se corresponden con la estrategiabestyrand. Los valores intermedios se corresponden con diferentes valores del parámetropde la estrategiacurrent-to-pbest

.

donde𝐱𝑝_{𝑏𝑒𝑠𝑡,𝑔}es un individuo seleccionado aleatoriamente entre los100 ⋅ 𝑝%mejores indivi- duos de la población (ppuede tomar valores en el intervalo(0, 1]). Utilizando valores cercanos a 0 se obtiene una estrategia más voraz con un comportamiento similar a la estrategiabest. Por el contrario, valores cercanos a 1 provocan que el comportamiento de la búsqueda sea más ex- plorador, parecido a la estrategiarand. En la figura 5.13 se representa la probabilidad de que se utilice al mejor individuo de la población para generar la descendencia. En los extremos se encuentran la estrategiabest, con probabilidad 1, ya que el mejor individuo siempre se utiliza para generar la nueva descendencia, y la estrategiarand, donde todos los individuos tienen la misma probabilidad de ser seleccionados y, por lo tanto, la probabilidad de seleccionar el mejor es baja. Los valores intermedios se corresponden con la probabilidad de seleccionar al mejor individuo utilizando la estrategiacurrent-to-pbest con diferentes valores del paráme- trop, la probabilidad disminuye a medida que crece el valor dep. Para tratar de mejorar los resultados obtenidos por la estrategia rand en las funcionesPerm y Zakharovse tratará de aumentar la presión selectiva del algoritmo utilizando la estrategiacurrent-to-pbest.

En la tabla 5.14 se muestran los resultados obtenidos por la funciónPermen dimensio- nes 30 y 50 utilizando la estrategiarand de la configuración original y las estrategiasbesty current-to-pbest con el objetivo de tratar de aumentar la presión selectiva y, de esta forma, acelerar la velocidad de convergencia. Como se puede observar en la tabla, los mejores re- sultados se obtienen utilizando la estrategiacurrent-to-pbest. En ninguno de los dos casos se consigue aumentar la SR, sin embargo, tanto el CPEM como el𝐺_𝑁𝐸 mejoran sus resultados. Los resultados que se obtienen utilizando la estrategia de mutaciónbestdemuestran que esta es una estrategia demasiado voraz y que utilizándola el DE pierde casi por completo su ca- pacidad de exploración. Esta gran capacidad de exploración es una de las claves de su éxito.