Sean C una categoría monoidal estricta y (A, m, u) un álgebra en C. La categoría ACA posee una estructura monoidal con el producto tensorial ⊗A, que es el coecualizador de los morfismos
ρM ⊗idN,(idM⊗λN) : (M ⊗A)⊗N → M ⊗N, denotado por πM,N : M ⊗N → M ⊗AN. Si
f :M →N,g :M0 →N0 son dos morfismos deA-bimódulos enC entoncesf ⊗Ag:M⊗AM0 →
N ⊗AN0 es el morfismo definido como sigue. El morfismo πM,M0(f ⊗g) : M ⊗M0 → N ⊗AN0
satisface
πM,M0(f⊗g)(ρM ⊗idM0) =πM,M0(f⊗g)(idM⊗λM0)aA,M,A0.
Por lo tanto existe un morfismo tal que (f⊗Ag)πM,M0 =πN,N0(f⊗g). La estructura deA-bimódulo
de M⊗AN está dada como sigue. Seaφ:M⊗N⊗A→M⊗AN,φ=πM,N(idM⊗ρN). Entonces
φ(ρM⊗idN⊗idA) =φ(idM⊗λN⊗idA). Luego existe un morfismoρM⊗AN :M⊗AN⊗A→M⊗AN
tal queπM,N(idM⊗ρN) =ρM⊗AN(πM,NidA). Análogamente, se define una acción a izquierda.
2.4.
Categoría monoidal trenzada y la construcción del centro
Sean (C,⊗, a, l, r,1) una categoría monoidal y τ :C × C → C × C el funtor τ(X, Y) = (Y, X). Definición 2.4.1. Unatrenza paraC es un isomorfismo natural c:⊗ → ⊗ ◦τ que satisface
aY,Z,XcX,Y⊗ZaX,Y,Z = idY ⊗cX,ZaY,X,Z(cX,Y ⊗idZ)
a−Z,X,Y1 cX⊗Y,Za−X,Y,Z1 = (cX,Z⊗idY)a−X,Z,Y1 (idX⊗cY,Z)
para todoX, Y, Z ∈ C. Unacategoría monoidal trenzada es un par (C, c) dondeC es una categoría monoidal yc es una trenza paraC.
Definición 2.4.2. Sean (C, c), (D, d) dos categorías monoidales trenzadas. Un funtor monoidal (F, η, u) :C → D se dice trenzadosi para todo X, Y ∈ C el siguiente diagrama es conmutativo
F(X)⊗F(Y)ηX,Y // dF(X),F(Y) F(X⊗Y) F(cX,Y) F(Y)⊗F(X)ηY,X //F(Y ⊗X).
Dos categorías monoidales trenzadas se dicen trenzadamente equivalentes si existe un funtor mo- noidal trenzado que es una equivalencia de categorías monoidales.
DadaC una categoría monoidal, asignamos una categoría monoidal trenzadaZ(C), llamada el centro de C. Un objeto de Z(C) es un par (V, c−,V), donde V ∈ C y cX,V :X⊗V → V ⊗X son isomorfismos naturales en X que satisfacen (cX,V ⊗idY)aX,V,Y(idX⊗cY,V) = aV,X,YcX⊗Y,VaX,Y,V yc1,Y =rY−1idY lY, para todo X, Y, Z ∈ C. Un morfismof : (V, c−,V)→(W, c−,W) es un morfismo
f : V → W en C tal que (f ⊗idX)cX,Y = cX,W(idX⊗f). El producto tensorial es (V, c,V)⊗
(W, c,W) = (V ⊗W, c−,V⊗W), donde para todoX, Y ∈ C
cX,V⊗W :X⊗(V ⊗W)→(V ⊗W)⊗X
cX,V⊗W =aV,W,X(idV ⊗cX,W)a−V,X,W1 (cX,V ⊗idW)aX,V,W,
2. Categorías tensoriales 16
Observación 2.4.3. SeaC una categoría monoidal trenzada. Si A y B son álgebras en C, entonces
A⊗B es un álgebra en C con multiplicación
mA⊗B= (mA⊗mB)(idA⊗cA,B⊗idB).
SiC yD son coálgebras enC, entoncesC⊗Des una coálgebra en C con comultiplicación ∆C⊗D = (idC⊗cC,D⊗idD)(∆C ⊗∆D).
Definición 2.4.4. UnabiálgebraenCes una colección (H, m, u,∆, ε) tal que (H, m, u) es un álgebra en C, (H,∆, ε) es una coálgebra en C y ∆, εson morfismos de álgebras, con la estructura anterior en H⊗H. Además si existe un morfismo S :H →H tal que m(S ⊗id)∆ = m(id⊗S)∆ =uε, H
se dice unálgebra de Hopf en C yS su antípoda.
2.4.1. Módulos de Yetter-Drinfeld
Definición 2.4.5. SeanV un espacio vectorial yc:V⊗V →V⊗V un isomorfismo lineal. Entonces (V, c) es llamdo unespacio vectorial trenzado si csatisface la ecuación de trenzas
(c⊗id)(id⊗c)(c⊗id) = (id⊗c)(c⊗id)(id⊗c).
(V, c) es detipo diagonal si existe una basex1,· · · , xndeV y escalaresqij ∈k×tales quec(xi⊗xj) =
qijxj⊗xi.
Ejemplos de espacios vectoriales trenzados vienen de categorías trenzadas, como la categoría de los módulos de Yetter-Drinfeld.
Definición 2.4.6. Sea H un álgebra de Hopf. Un módulo de Yetter-Drinfeld a izquierda sobre
H es un espacio vectorial M con una estructura de H-módulo a izquierda · :H⊗M → M y de
H-comódulo a izquierda ρ:M →H⊗M tal que vale la condición de compatibilidad:
(h·m)(−1)⊗(h·m)(0)=h1m(−1)S(h3)⊗h2·m(0),∀m∈M, h∈H. (2.1)
Denotamos por HHYD a la categoría de módulos de Yetter-Drinfeld sobre H; los morfismos de módulos de Yetter-Drinfeld son los homomorfismos deH-módulos y deH-comódulos.
H
HYD es una categoría monoidal con el producto tensorial usual sobre k, donde 1 = k y los iso- morfismos naturales de la asociatividad y unidad son los usuales para espacios vectoriales y, para
M, N ∈H
HYD,M ⊗N tiene la estructura diagonal de módulo y comódulo dadas por
h·(m⊗n) =h1·m⊗h2·n, (m⊗n)(−1)⊗(m⊗n)(0)=m(−1)n(−1)⊗m(0)⊗n(0).
Es también una categoría trenzada con trenza dada por
cM,N :M ⊗N →N ⊗M, c(m⊗n) =m(−1)·n⊗m(0).
Sea H un álgebra de Hopf con antípoda biyectiva. La categoría HHYD es trenzadamente equi- valente a la categoría Z(H−Mod). Un módulo de Yetter-DrinfeldV es un objeto enZ(H−Mod) con
17 2.4. Categoría monoidal trenzada y la construcción del centro
donde{hi}i es la base deH y{hi}i es la base dual.
Consideramos las acciones*,( de H en H∗ dadas por
(h * f)(x) =f(xh), (f ( h)(x) =f(hx), ∀x, h∈H, f ∈H∗.
Proposición 2.4.7. Sea H un álgebra de Hopf de dimensión finita. El doble de Drinfeld D(H) =
H∗cop ⊗H es un álgebra de Hopf con estructura de coálgebra dada por el producto tensorial y estructura de álgebra y antípoda dadas por (aquí α#h=α⊗h)
(α#h)(β#g) =α(h1 * β (S−1(h3))#h2g,
1 =ε#1,
S(α#h) = [S(h3)*S(α)( h1]#S(h2).
Además, hay una equivalencia de categorías monoidales trenzadas entre RepD(H) y HHYD. Demostración. Ver [M1, Theorem 7.1.1] y [Ka, Theorem XIII 5.1].
2.4.2. Pecios
La teoría básica sobre pecios puede ser encontrada en [AG]. Acá recordamos brevemente las deficiones y ejemplos básicos y vemos una forma de construir módulos de Yetter-Drinfeld sobre un álgebra de grupo.
Definición 2.4.8. Un pecio es un conjunto no vacíoX con una operación.:X×X→X tal que
φi :X →X, dada por φi(j) =i . j, es una función biyectiva y φi(j . k) =φi(j). φi(k), para todo
i, j, k ∈X. Una función q:X×X →k×, (i, j)7→qij, es un2-cociclo en X siqi,j.kqj,k =qi.j,i.kqi,k, para todoi, j, k ∈X.
Ejemplo 2.4.9. Sea A un grupo abeliano y T ∈ AutA. El pecio afín Af in(A, T) es el conjunto
A con operación a . b=T(b) + (id−T)(a), ∀a, b∈ A. Otra notación es QA,T; oQq,b cuando A es isomorfo a un cuerpo finito Fq, donde q es una potencia de un primo, y T ∈AutFq, T(x) = bx,
x∈F,b∈F×'Cq−1. TambiénT =Q4,b,b∈F4 irreducible, es llamado el pecio tetraedral .
Ejemplo 2.4.10. Sea G un grupo, g ∈ G y Og la clase de conjugación de g. Si x . y = xyx−1, entonces (Og, .) es un pecio. SeaG=Sn,τ unj-ciclo,Onj denota el pecio inducido por su clase de conjugación.
Definición 2.4.11 ([AG2, MS]). Sea X un pecio y q un 2-cociclo en X. Una YD-realización principal de (X, q) sobre un grupo finito G es una colección (·, g,{χi}i∈X) donde
·es una acción de Gen X;
g :X → G, i7→ gi, es una función tal que gh·i =hgih−1 ygi·j = i . j, para todoi, j ∈X,
h∈G;
{χi}i∈X es un 1-cociclo – esto es, una familia de funciones χi : X → k× tales que χi(ht) =
2. Categorías tensoriales 18
Este dato define un objeto V(X, q) ∈kG
kGYD [AG2]. Decimos que (X, q) puede ser realizado en
G. Como espacio vectorialV(X, q) =k{xi}i∈X, con acción y coacción dados por
t·xi=χi(t)xt·i, ρ(xi) =gi⊗xi, t∈G, i∈X.
Ahora veamos cómo se define una familia de YD-realizaciones principales del pecio Af in(A, T) con un 2-cociclo constante. Sean A un grupo abeliano, Cn =hti, T ∈ AutA tal que |T| divide n. Sea AoT Cn el producto semidirecto de A y Cn con respecto a T donde t·a =T(a), para todo
a∈A. Seaξ una raíz primitiva de la unidad y l= [|T|,|ξ|].
Proposición 2.4.12 ([GIV]). Sean k, m ∈ N con 0 6 k < m. Consideramos el pecio afín X =
Af in(A, T) con 2-cociclo constante ξ. Sean
g:A→AoT Cml la función a7→(a, tkl+1);
·:AoT Cml×A→A dada por h·a=b, si hgah−1 =gb;
χa:AoT Cml →k× definida por χa(b, ts) =ξs, s∈N.
Entonces (g,·,{χa}a∈A) es una YD-realización fiel (i. e. g es inyectiva) de (X, ξ) sobre AoT Cml. Ejemplo 2.4.13. Consideramos el pecioQ5,2 con cociclo -1. Tenemos quel= [|2|,|−1|] = [4,2] = 4
y entonces (Q5,2,−1) puede ser realizado en Gm =C5o2C4m,m∈N.
Análogamente, (Q3,2,−1) puede ser realizado enGm=C3o2C2m,m∈N; (Q7,3,−1) puede ser
realizado en Gm=C7o3C6m,m∈N.