En esta sección introduciremos los conceptos de categorías nilpotentes y solubles. Recor- daremos también ciertas condiciones que aseguran la nilpotencia y solubilidad de categorías, entre ellas, ciertas relaciones con la dimensión de Frobenius-Perron. Para una lectura más detallada referimos a [GN, ENO1].
SeaGun grupo. Recordemos queGse dicenilpotente si existe una sucesión de subgrupos de la forma
{e}=GnEGn−1E· · ·EG1EG0 =G,
tal queGi+1= [Gi, G]para todoi= 0,· · · , n−1.
Equivalentemente, si consideramos los subgrupos de Gdefinidos recursivamente como Z0 ={e}, Zi+1={x∈G / [x, y]∈Zi ∀y∈G},
Gse dice nilpotente si existen∈Ntal queZn=G.
Llamamos clase de nilpotencia de un grupo nilpotente G al mínimo entero para el cual Zn=G(respectivamente, Gn={e}).
A continuación daremos una categorificación del concepto de nilpotencia para grupos. Definición 2.6.1. [GN, ENO1] Una categoría de fusión C se dice nilpotente si existe una sucesión de categorías de fusión
C0 =Vec, C1,· · · ,Cn=C,
y una sucesión de grupos finitosG1, . . . , Gn tales queCi es unaGi-extensión de Ci−1.
Diremos que C escíclicamente nilpotente si los gruposGi pueden elegirse cíclicos.
Observación 2.6.2. Si C es una categoría de fusión tal que toda subcategoría de fusión no trivial admite una graduación no trivial por un grupo finito, entonces C es nilpotente. Definición 2.6.3. La serie central ascendente de una categoría de fusión C se define recur- sivamente, en términos de la subcategoría adjunta, de la siguiente forma:
C(0) =C, C(1)=C
ad,· · ·, C(n)= (C(n−1))ad,
para todo enteron≥1.
Una definición equivalente es la siguiente. Una categoría de fusiónC es nilpotente si su se- rie central ascendente converge a la categoría Vec de espacios vectoriales de dimensión finita. Es decir, si existe un enteronpara el cualC(n)=Vec. El menornpara el cual esto se cumple
se llama laclase de nilpotencia de C.
A continuación daremos algunos ejemplos de categorías de fusión nilpotentes.
Ejemplo 2.6.4. DadoGun grupo finito yω:G×G×G→k×un 3-cociclo deG, la categoría
C = VecωG es siempre nilpotente. En efecto, vimos en Ejemplo 2.1.6 que Cad =Vec. Es decir,
la clase de nilpotencia deVecωG es 1.
Ejemplo 2.6.5. DadoGun grupo finito, RepG es nilpotente si y sólo siGes nilpotente. Ejemplo 2.6.6. Las categorías de Tambara-Yamagami (ver Ejemplo 2.1.15) son nilpotentes. Más aún, vimos que para estas categorías la subcategoría adjunta es punteada, por lo que su clase de nilpotencia es 2.
Se puede ver que, dado un número primop, todos losp-grupos finitos (es decir, los grupos de orden una potencia de p) son nilpotentes. Tenemos el siguiente resultado análogo para categorías de fusión.
Teorema 2.6.7. [ENO1, Theorem 8.28] Sea p un número primo. Si C es una categoría de fusión tal queFPdim(C) =pn, entoncesC es nilpotente.
Otro resultado útil es el siguiente.
Teorema 2.6.8. [GN, Theorem 6.10]Sea C una categoría de fusión trenzada. Entonces C es nilpotente si y sólo su centro de DrinfeldZ(C) es nilpotente.
Recordemos que una categoría de fusión se dice de tipo grupo si su centro es equivalente como categoría tensorial al centro de VecωG, para algún grupo finito G y un 3-cocliclo ω. El Teorema que enunciaremos a continuación relaciona categorías nilpotentes y de tipo grupo. Teorema 2.6.9. [DGNO2, Theorem 1.5] SiC es una categoría de fusión íntegra y nilpotente entonces es de tipo grupo.
Definición 2.6.10. [ENO1] Una categoría de fusión C se dicedébilmente de tipo grupo si es Morita equivalente a una categoría de fusión nilpotente.
Proposición 2.6.11. [ENO1, Proposition 4.1]La clase de categorías de fusión débilmente de tipo grupo es cerrada por extensiones y equivariantizaciones, equivalencia Morita, productos tensoriales, centros de Drinfeld, subcategorías y cocientes de categorías.
Daremos ahora una noción categórica del concepto de solubilidad para grupos. Recordemos que un grupoG se dice soluble si existe una sucesión de la forma
G=G(0)EG(1)E· · ·EG(n−1)EGn={e},
donde G(i)= [G(i−1), G(i−1)]para todoi≥1.
Todo grupo abeliano es soluble. Más aún, si un grupo G es nilpotente entonces también es soluble.
Definición 2.6.12. [ENO1] Una categoría de fusiónCse dicesolublesi es Morita equivalente a una categoría de fusión cíclicamente nilpotente.
Esto es,C es soluble si su centro de DrinfeldZ(C)es equivalente como categoría trenzada al centro de una categoría cíclicamente nilpotente.
Equivalentemeatente, por [ENO1, Proposition 4.4], la categoría de fusión C es soluble si existe una sucesión de categorías de fusiónC0=Vec,C1,· · · ,Cn=C, donde cadaCi se obtiene
como una Gi-equivariantización o una Gi-extensión de Ci−1, con G1,· · ·, Gn grupos cíclicos
de orden primo.
A continuación daremos algunas propiedades de las categorías de fusión nilpotentes y solubles.
Proposición 2.6.13. [ENO1, Proposition 4.5]
1. La clase de categorías de fusión solubles es cerrada por extensiones y equivariantizacio- nes por grupos solubles, equivalencia Morita, productos tensoriales, centros de Drinfeld, subcategorías y cocientes de categorías.
2. DadoGun grupo finito yω un 3-cociclo de G, las categoríasRepGyVecωG son solubles si y sólo si G es un grupo soluble.
3. Toda categoría de fusión trenzada nilpotente es soluble.
4. Toda categoría de fusión trenzada soluble C ̸= Vec contiene un objeto invertible no trivial.
A diferencia del caso de grupos finitos, que una categoría de fusión C sea nilpotente no implica que sea soluble. Por ejemplo, la categoría VecωG es nilpotente para todo grupo G y 3-cocicloω :G×G×G→k×, mientras que es soluble si y sólo siG es un grupo soluble.
Por otro lado, si tenemosC una categoría de fusión trenzada, entonces por la proposición anteriorC nilpotente implica queC es soluble.
Etingof, Nikshych y Ostrik probaron una versión del clásico Teorema de Burnside en el contexto de las categorías de fusión:
Teorema 2.6.14. [ENO1, Theorem 1.6] Sea C una categoría de fusión. Si la dimensión de Frobenius-Perron de C es FPdim(C) = prqs, con p y q números primos, y r, s enteros no negativos, entonces C es soluble.
En este capítulo introduciremos una clase particular de categorías de fusión, las catego- rías modulares, las cuales son el principal objeto de estudio de este trabajo. Recordaremos invariantes importantes de las categorías modulares, como laS-matriz, T-matriz, Indicadores de Frobenius-Schur y Sumas de Gauss, y estudiaremos sus propiedades.
A lo largo de este capítulo asumiremos que kes un cuerpo algebraicamente cerrado y de característica cero.
3.1 | Dimensión Cuántica. Categorías esféricas
SeaC una categoría de fusión. Vimos que en una categoría de fusión todo objeto simple X es isomorfo a su doble dual X∗∗. Tenemos entonces la siguiente definición.
Definición 3.1.1. DadoXun objeto enCy un isomorfismof :X →X∗∗, definimos sutraza cuántica (a izquierda) como la composición
Tr(f) : 1 coevX X⊗X∗ f⊗idX∗ X∗∗⊗X∗ evX∗ 1. (3.1)
Observación 3.1.2. Por definición Tr(f) ∈ EndC(1). Como C es una categoría de fusión,
EndC(1)≃k, por lo cual podemos identificar a la traza de f con un elemento del cuerpo. A continuación enunciaremos algunas propiedades de la traza cuántica.
Proposición 3.1.3. Dados f :X →X∗∗ yg:Y →Y∗∗ ismorfismos en C, se cumple que: 1. Tr(f⊕g) = Tr(f) +T r(g);
2. Tr(f⊗g) = Tr(f) Tr(g).
Definición 3.1.4. Una estructura pivotal en C es un isomorfismo de funtores tensoriales ψ: Id→(−)∗∗.
Es decir, una estructura pivotal es una colección {ψX}X∈O(C) de isomorfismos naturales
ψX :X→X∗∗ que satisface ψX⊗Y =ψX ⊗ψY, para todoX, Y ∈ C.
Una categoría de fusión munida de una estructura pivotal se dice unacategoría de fusión pivotal.
Definición 3.1.5. Unacategoría pivotal estricta es una categoría pivotal en la cual los iso- morfismos de asociatividad son identidades, la estructura pivotalψ: Id→∗∗ es la identidad, y los isomorfismos naturales asociadosX∗⊗Y∗ →(Y ⊗X)∗ también son identidades. Ejemplo 3.1.6. Dado G un grupo finito, las categorías Vec, VecG y RepG tienen una es-
tructura pivotal canónica dada por los isomorfismos naturales V → V∗∗, para cada espacio vectorialV.
Consideremos ahora una categoría de fusión pivotal C, y fijamos una estructura pivotal dada por ψX :X→X∗∗.
Definición 3.1.7. Definimos la dimensión cuántica de un objeto X ∈ C con respecto a ψ como
dX := Tr(ψX)∈End(1)≃k.
Luego las dimensiones cuánticas de los objetos deCpueden identificarse con elementos en k.
Definimos ladimensión cuántica de la categoríaC como
dimC= ∑
X∈O(C)
dXdX∗.
Proposición 3.1.8. [EGNO, Proposition 4.7.12] La función Gr(C) → k que asigna [X] 7→ dimX es un caracter del grupo de Grothendick Gr(C).
Una clase especial de categoría de fusión pivotal es la de categoríasesféricas. Una categoría de fusión pivotalC se diceesféricasidX = dX∗ para todo objeto simple X∈ C. Notemos que
en este caso resulta quedimC= ∑ X∈O(C)
(dX)2.
En toda categoría esférica tenemos la noción de traza de un endomorfismo f ∈End(X)
dada por la siguiente composición de funciones,
Tr(f) :1 coevX X⊗X∗ ψX◦f⊗idX∗ X∗∗⊗X∗ evX∗ 1.
(3.2) La dimensión deX está dada por dX = Tr(idX).
Ejemplo 3.1.9. SeaC=Vec la categoría de espacios vectoriales sobrek de dimensión finita. Calculemos la dimensión deV ∈ C. Dada{vi}i=1,...,n una base deV, tenemos
k V ⊗V∗ V∗∗⊗V∗ k, 1 ∑n i=1 vi⊗v∗i n ∑ i=1 v∗∗i ⊗v∗i ∑n i=1 vi∗∗(v∗i) = dimkV. coevV ψV◦idv⊗idV∗ evV∗ (3.3)
Es decir, la dimensión cuántica deV es exactamente dimkV.
Esto nos dice también que, dado Gun grupo finito y C = RepG la categoría de representa- ciones deGsobre k, la dimensión cuántica de una representación es su dimensión.
Observación 3.1.10. En una categoría pivotal C las dimensiones cuánticas de los objetos simples no son necesariamente números reales, por lo que no se cumple en general que
dX = FPdimX paraX simple.
3.2 | La S-matriz de una categoría pre-modular
En esta sección definiremos la S-matriz de una categoría pre-modular. La S-matriz es un invariante destacado en el estudio de categorías modulares, por lo cual dedicaremos esta sección y la siguiente a enunciar y demostrar algunas de sus propiedades.
Definición 3.2.1. SeaC una categoría de fusión trenzada con trenzaσ. Un twist en C es un isomorfismo naturalθ: IdC→IdC tal que
θX⊗Y = (θX ⊗θY)◦σY,X◦σX,Y, (3.4)
para todoX, Y ∈ C. Un twist se dice unaestructura ribbon si además(θX)∗ =θX∗ para todo
X, Y ∈ C.
Definición 3.2.2. Una categoría pre-modular es una categoría de fusión munida de una estructura ribbon compatible.
Equivalentemente, una categoría pre-modular es una categoría de fusión trenzada equipada con una estructura esférica [Br]. Esto es,dX = dX∗, para todoX simple en C.
SeaC una categoría pre-modular con estructura esféricaψ. Denotemos por O(C) al con- junto de (clases de isomorfismo de) objetos simples enC, y seaNXYZ la multiplicidad deZ en X⊗Y para todoX, Y, Z ∈ O(C).
Sea θ el twist dado por la estructura ribbon compatible con C. Recordemos que θX ∈ End(X) ≃ k×, para todo X simple en C. Luego, identificaremos a θ con una colección de escalaresθX ∈k×. Denotamos porTrydima la traza y dimensión asociadas aψ respectiva-
mente, definidas por la ecuación (3.2).
Definición 3.2.3. La S-matriz de C está definida porS := (sXY)X,Y∈O(C), donde
sXY = Tr(σY,XσX,Y).
Observación 3.2.4. LaS-matriz deC tiene las siguientes propiedades: 1. Es una matriz simétrica de tamaño n×n, donden=|O(C)|.
2. Las entradas de la matriz cumplen sX∗Y∗ =sXY, para todoX, Y ∈ O(C).
3. La fila 1 y, por lo tanto, también la columna 1 de la matriz coinciden con la dimensión cuántica: sX1 =s1X = dX.
La siguiente ecuación relaciona las entradas de la S-matriz deC con el twist, las reglas de fusión y la dimensión de los objetos simples deC. Esta ecuación recibe el nombre deecuación de balance, y es de gran utilidad para verificar propiedades en categorías pre-modulares y modulares.
Proposición 3.2.5(Ecuación de balance). Se cumple que
sXY =θX−1θ− 1 Y ∑ Z∈O(C) NXYZ θZdZ, (3.5) para todoX, Y ∈ O(C).
Demostración. Comoθes un twist, se cumpleθX⊗Y = (θX⊗θY)◦σY,X◦σX,Y para todo par
de objetos simples X, Y en C. Aplicando Tr a ambos lados de esta ecuación e identificando θX, θY ∈k×,obtenemos lo siguiente.
El lado derecho resulta
Veamos ahora el lado izquierdo. Tenemos queX⊗Y = ∑ Z∈O(C) NXYZ Z. Luego, Tr(θX⊗Y) = Tr ∑ Z∈O(C) NXYZ θZ = ∑ Z∈O(C) NXYZ Tr(θZ) = ∑ Z∈O(C) NXYZ θZTr(idZ) = ∑ Z∈O(C) NXYZ θZdZ, usando la aditividad deTr. Por lo tanto, θXθYsXY = ∑ Z∈O(C)
NXYZ θZdZ, y luego se sigue el resultado.
Otro resultado útil es el siguiente.
Proposición 3.2.6. [EGNO, Proposition 8.13.10] Los elementos de la S-matriz satisfacen
sXYsXZ = dX ∑ W∈O(C)
NY ZW sXW, X, Y, Z ∈ O(C). (3.6)
Proposición 3.2.7. Dado X∈ O(C),el mapa dado por
Y 7→ sXY
dX
, Y ∈ O(C), (3.7)
define un morfismohX : Gr(C)→k. Más aún, sdXYX son enteros algebraicos, para todoX, Y ∈ O(C).
Demostración. Dados Y, Z ∈ O(C), veamos que hX(Y ⊗Z) = hX(Y)hX(Z). De hecho, por
la Proposición 3.2.6, tenemos las igualdades hX(Y)hX(Z) = sXYsXZ d2X = 1 dX ∑ W∈O(C) NY ZW sXW, y hX(Y ⊗Z) = Tr(σY⊗Z,XσX,Y⊗Z) dX = 1 dX ∑ W∈O(C) NY ZW sXW.
Por otro lado, consideremos la matriz enteraNY ={NY ZX }Z,X y el vectorVX = (sX,Z)Z∈O(C).
Entonces sXY dX sXZ = ∑ W∈O(C) NY ZW sXW = (NYSX)Z, para todoZ ∈ O(C),
donde la segunda igualdad vale por la Proposicion 3.2.6. Es decir, sXY
dX es un autovalor de la
matriz enteraNY, y por lo tanto es un entero algebraico.
La Proposición anterior nos dice que los elementos simples de C dan lugar a caracteres del anillo de GroethendickGr(C). En particular, considerando el casoX=1, tenemos que la asignaciónY 7→dY es un caracter deGr(C), y sus valores son enteros algebraicos.