El centro de la 2-categoría equivariante - Acción de un grupo sobre una 2-categoría

4. Acción de un grupo sobre una 2-categoría

4.5. El centro de la 2-categoría equivariante

construir la siguiente categoríaG-graduada:

C[G] =⊕_g∈GCg,

donde Cg = C, para todo g ∈ G. Si X ∈ C es un objeto, el objeto en Cg se denota [X, g]. El

producto tensorial está dado por:

[X, g]⊗[Y, h] = [X⊗g∗(Y), gh], X, Y ∈ C, g, h∈G.

Para una descripción detallada deC[G]ver [38]. Corolario 4.4.3. Existen las 2-equivalencias

(CModop)G'CGMod, (CModope )G'CGMod_e. Demostración. Por [38, Thm. 4.1], existen las 2-equivalencias

C[G]Mod 'CGMod, _C_[_G_]Mod_e'_CGMod_e. Ahora, aplicando el teorema 4.4.1 se obtiene que

(CModop)G'C[G]Mod, (CModope )G'C[G]Mode.

Luego, el resultado es inmediato. `

4.5. El centro de la 2-categoría equivariante

En esta sección se probará el siguiente resultado. SeaGun grupo nito que actúa sobre una 2-categoríaB. Recordar el 2-funtor de olvidoΦ :BG_{→ B} _{descripto en el Lema 4.3.3.}

Teorema 4.5.1. El grupo Gactúa sobreZ(Φ)por autoequivalencias monoidales, y existe una equivalencia monoidal

Z(BG)' Z(Φ)G. Como consecuencia, se tiene el siguiente resultado.

Corolario 4.5.2. [15, Thm. 3.5] Sea D= ⊕_g∈GCg una categoría tensorial elmente graduada,

con C = C1. Existe una acción del grupo G sobre el centro relativo ZC(D) y una equivalencia

monoidal

Z(D)' ZC(D)G.

Demostración. SeaH:DMod →CMod el pseudofuntor de olvido. Entonces

Z(D)' Z(DMod)' Z( CModop

)' Z(H)G' ZC(D)G

La primera equivalencia sigue del Corolario 3.3.5, la segunda del Teorema 4.4.1, y la última de

la Proposición 3.3.4. `

Para el resto de la sección usaremos la notación introducida en la Sección 4.3. Se asumirá que la acción es unitaria y estricta, ver Deniciones 4.1.8, 4.1.9. Por Proposición 3.1.17, se puede asumir que toda 1-celda invertible es un isomorsmo. En particular, si(A, U,Π) es una 0-celda equivariante, para cadag∈G, la 1-celda Ug es invertible. Luego, se puede elegir una 1-celda Ug∗

tal que

Ug◦Ug∗ =IFg(A), U

∗

g ◦Ug =IA.

La acción de un grupo sobre Z(Φ)

Para cada g ∈ G, se denen las autoequivalencias tensoriales Lg : Z(Φ)→ Z(Φ) tales que

éstas denen una acción de G sobre Z(Φ). Primero, describamos explícitamente los objetos de Z(Φ). Un objeto (X, σ)∈ Z(Φ)consiste en

X={X₍_A,U,_Π) ∈ B(A, A) una 1-celda,(A, U,Π)∈Obj(BG)}, σ ={σ₍_θ,θ_g₎:X₍

A,U ,eΠ)e ◦θ⇒θ◦X(A,U,Π) 2-celdas que son isomorsmos enB

G_},

donde (θ, θg) ∈ BG((A, U,Π),(A,e U ,e Π))e es una 1-celda equivariante. Los isomorsmos σ₍_θ,θ

satisfacen (3.3). Si (X, σ),(Y, τ) ∈ Z(Φ), un morsmo f : (X, σ) → (Y, τ) es una colección de 2-celdas enB(A, A)

f₍_A,U,_Π) :X₍_A,U,_Π) ⇒Y₍_A,U,_Π),

tal que para toda 1-celda equivariante(θ, θg)∈ BG((A, U,Π),(A,e U ,e Π))e idθ◦f(A,U,Π) σ₍_θ,θ_g₎=τ₍_θ,θ_g₎ f₍ e A,U ,eΠ)e ◦idθ .

Lema 4.5.3. Sean g, h ∈ G y (A, U,Π) una 0-celda equivariante. Existen 2-celdas que son isomorsmos _g,h,₍_A,U,_Π) :U_g∗◦Fg(Uh∗)⇒U ∗ gh tales que g,h,(A,U,Π)◦Πg,h =idIA, Πg,h◦g,h,(A,U,Π)=idI_Fgh(A), (4.5.4) gh,f,(A,U,Π) g,h,(A,U,Π)◦idFgh(Uf∗) =g,hf,(A,U,Π) idU∗ g ◦Fg(h,f,(A,U,Π)) , (4.5.5) para cadag, h, f ∈G.

Demostración. Sea _g,h,₍_A,U,_Π) =id_U∗

g◦Fg(U_h∗)◦Π

−1

g,h◦idUgh∗ .La ecuación (4.5.5) sigue de (4.3.4).

Para cada g ∈ G, se denen los funtores Lg : Z(Φ)→ Z(Φ), Lg(X, σ) = (Xg, σg). Donde,

para toda 0-celda equivariante (A, U,Π)

X₍g_A,U,_Π) =U_g∗◦Fg(X(A,U,Π))◦Ug.

Observación 4.5.6. Si(A, U,Π),(A,e U ,e Π)e son 0-celdas equivariantes, se denotaX =X₍_A,U,_Π), e

X = X₍_A,_e_{U ,}_e_Π)_e . También, se usará la notación g,h = g,h,(A,U,Π) yeg,h = _g,h,₍A,eU ,eΠ)e cuando no

genere confusión.

Si(θ, θg)∈ BG((A, U,Π),(A,e U ,e Π))e es una 1-celda equivariante, entonces σ₍g_θ,θ g)= 1Ue_g∗◦θg◦1U ∗ gFg(X)Ug 1 e U∗ g ◦Fg(σ(θ,θg))◦1Ug 1 e UgFg(Xe)◦θ −1 g . Sif : (X, σ)→(Y, τ) es un morsmo enZ(Φ), entonces Lg(f)(A,U,Π) =idU∗ g ◦Fg(f(A,U,Π))◦idUg.

La prueba del siguiente resultado sigue inmediatamente.

4.5. EL CENTRO DE LA 2-CATEGORÍA EQUIVARIANTE 81 Ahora, para cadag, h∈G, se denen los isomorsmos naturales monoidales νg,h :Lg◦Lh →

Lgh de la siguiente manera. Sea(X, σ)∈ Z(H), debemos denir una echa

(νg,h)(X,σ):Lg◦Lh(X, σ)→Lgh(X, σ).

Para cada 0-celda equivariante(A, U,Π)se dene el mapa (νg,h)(X,σ) (A,U,Π) :U ∗ gFg(Uh∗)Fgh(X(A,U,µ))Fg(Uh)Ug →UghFgh(X(A,U,µ))Ugh∗ , (νg,h)(X,σ) (A,U,µ)=g,h◦idFgh(X(A,U,µ))◦Πg,h.

Proposición 4.5.8. Para cadag, h, f ∈G, se cumplen las siguientes armaciones. (i) νg,h:Lg◦Lh →Lgh son isomorsmos naturales bien denidos enZ(Φ).

(ii) νg,h:Lg◦Lh →Lgh son transformaciones naturales monoidales.

(iii) Para cadag, h, f ∈G y cada(X, σ)∈ Z(Φ), se satisface la siguiente ecuación

(νgh,f)(X,σ)(νg,h)Lf(X,σ)= (νg,hf)(X,σ)Lg((νh,f)(X,σ)). (4.5.9) Demostración. (i). Se debe vericar que(νg,h)(X,σ) son morsmos en la categoría Z(Φ), esto es,

la ecuación idθ◦ (νg,h)(X,σ) (A,U,µ) ((σh)g)(θ,θg)=σ gh (θ,θg) (νg,h)(X,σ) (A,eU ,eΠ)e ◦idθ (4.5.10) se satisface para toda 1-celda equivariante(θ, θg) ∈ BG((A, U,Π),(A,e U ,e Π))e . El lado izquierdo de (4.5.10) es igual a = idθ◦g,h◦idFgh(X)◦Πg,h id_U_e∗ g ◦θg◦idU ∗ gFg(Uh∗)Fgh(X)Fg(Uh)Ug idUe_g∗◦Fg(σ h (θ,θg))◦idUg idUe_g∗◦θg◦idU ∗ gFg(U_h∗)Fgh(X)Fg(Uh)Ug = idθ◦g,h◦idFgh(X)◦Πg,h id ◦θg◦id idUe_g∗Fg(Ue∗ h) ◦Fg(θh)◦id idUe_g∗Fg(Ue_h∗)◦Fgh(σ(θ,θg))◦idFg(Uh)Ug idUe_g∗Fg(Ue_h∗)◦Fg(θ −1 h )◦idUg idUe_g∗◦θg◦idU ∗ gFg(Uh∗)Fgh(X)Fg(Uh)Ug = id ◦g,h◦id idUe_g∗Fg(Ue∗ h) ◦(id_F g(Ue_h)◦θg)(Fg(θh)◦idUg)◦idU ∗ gFg(Uh∗)Fgh(X)Ugh idUe_g∗Fg(Ue∗ h) ◦Fgh(σ(θ,θg))◦idUgh idUe_g∗Fg(Ue_h∗)Fgh(Xe)◦(idFgh(θ)◦Πg,h)(Fg(θ −1 h )◦idUg)(id_F_gh₍Ueh)◦θ −1 g ) = id ◦g,h◦id idUe_g∗Fg(Ue_h∗)◦(idFg(Ueh)◦θg)(Fg(θh)◦idUg)◦id idUe_g∗Fg(Ue∗ h) ◦Fgh(σ(θ,θg))◦idUgh id ◦θ_gh−1(Πe_g,h◦id_θ)

La segunda ecuación sigue de la denición de σ₍h_θ,θ

g), la cuarta igualdad sigue de (4.3.5). El lado derecho de (4.5.10) es igual a

= id_U_e∗ gh ◦θgh◦idU_gh∗ Fgh(X)Ugh idUe∗ gh ◦Fgh(σ(θ,θg))◦idUgh idUe∗ ghFgh(Xe)◦θ −1 gh eg,h◦id_F_gh₍Xe)◦Πeg,h◦idθ = _eg,h◦θgh◦idU∗ ghFgh(X)Ugh idU∗ gFg(U_h∗)◦Fgh(σ(θ,θg))◦idUgh id_U∗ gFg(Uh∗)Fgh(Xe)◦θ −1 gh(Πe_g,h◦id_θ) .

(ii). Sean(X, σ),(Y, τ) objetos enZ(Φ). Como los funtoresLg son estrictos, quiere decir que

Lg((X, σ)⊗(Y, τ)) =Lg(X, σ)⊗Lg(Y, τ), se debe probar que

(νg,h)(X,σ)⊗(Y,τ) = (νg,h)(X,σ)⊗(νg,h)(X,σ). (4.5.11)

Sea (A, U,Π) una 0-celda equivariante. El lado izquierdo de (4.5.11) evaluado en (A, U,Π) es igual a

g,h◦idFgh(X(A,U,Π))◦Πg,h◦g,h◦idFgh(Y(A,U,Π))◦Πg,h. El lado derecho de (4.5.11) evaluado en (A, U,Π)es igual a

g,h◦idFgh(X(A,U,Π)◦Y(A,U,Π))◦Πg,h. Se sigue de (4.5.4) que ambos lados son iguales.

(iii). Sea(A, U,Π)una 0-celda equivariante. Los lados izquierdo y derecho de (4.5.9) evaluados en (A, U,Π)son iguales a = gh,f ◦idFghf(X)◦Πgh,f g,h◦idFgh(Uf∗XUf)◦Πg,h =gh,f(g,h◦idFgh(Uf∗))◦idFghf(X)◦Πgh,f(idFgh(Uf)◦Πg,h). El lado derecho de (4.5.9) evaluado en (A, U,Π)es igual a

= g,hf ◦idFgh(X)◦Πg,hf idU∗ g ◦Fg(h,f)◦idFghf(X)◦Fg(Πh,f)◦idUg =g,hf(idU∗ g ◦Fg(h,f))◦idFghf(X)◦Πg,hf(Fg(Πh,f)◦idUg).

Ahora, que las dos expresiones son iguales sigue de (4.5.5) y (4.3.4). `

Prueba del Teorema 4.5.1

Primero describamos un objeto en la equivariantización de la categoría Z(Φ). Un objeto en Z(Φ)G es una colección ((X, σ), s) donde (X, σ) ∈ Z(Φ), y sg : Lg(X, σ) → (X, σ) es un

morsmo en la categoría, para cada g ∈ G. Esto quiere decir que X(A,U,Π) ∈ B(A, A) es una

1-celda, para toda 0-celda equivariante (A, U,Π); y para toda 1-celda equivariante (τ, τg) ∈

BG₍₍_{A, U,}_Π)_,₍

A,U ,e Π))e existe un isomorsmo σ₍_τ,τ_g₎ : X₍

A,U ,eΠ)e ◦τ → τ ◦X(A,U,Π) tal que la

ecuación (3.3) se satisface. También, para cada g ∈ G y toda 0-celda equivariante (A, U,Π) existen morsmos

(sg)(A,U,Π) :Ug∗Fg(X(A,U,Π))Ug→X(A,U,Π),

tales que idτ◦(sg)(A,U,Π) σg₍_τ,τ1₎=σ(τ,τ1₎ (s_g)₍ e A,U ,eΠ)e ◦idτ , (4.5.12)

(sgh)(A,U,Π)(νg,h)(A,U,Π) = (sg)(A,U,Π)Lg((sh)(A,U,Π)), (4.5.13)

para toda 0-celda equivariante (A, U,Π),(A,e U ,e Π)e , toda 1-celda equivariante (τ, τg)∈ BG((A, U,Π),(A,e U ,e Π))e ,

y todo g, h∈G. La ecuación (4.5.12) sigue de que sg :Lg(V, σ) →(V, σ) es un morsmo en la

4.5. EL CENTRO DE LA 2-CATEGORÍA EQUIVARIANTE 83 Se dene el funtor Ψ : Z(Φ)G → Z(BG₎ _{como sigue. Sea} ₍₍_{X, σ}₎_{, s}₎ _{∈ Z}_(Φ)G_{, entonces}

Ψ((X, σ), s) = (V,σ_e). Para cada 0-celda equivariante (A, U,Π), V(A,U,Π) debe ser una 1-celda

equivariante en la categoría BG₍₍_{A, U,}_Π)_,₍_{A, U,}_Π))_{. Se dene} _V

(A,U,Π) = (X(A,U,Π), θ (A,U,Π)

g ),

donde

θ_g(A,U,Π):Fg(X(A,U,Π))◦Ug ⇒Ug◦X(A,U,Π),

θ(_gA,U,Π) =idUg ◦(sg)(A,U,Π).

(4.5.14) Si(τ, τg)∈ BG((A, U,Π),(A,e U ,e Π))e es una 1-celda equivariante, entonces

e σ₍_τ,τ_g₎: (X₍ e A,U ,eΠ)e , θ (A,eU ,eΠ)e g )◦(τ, τg)⇒(τ, τg)◦(X(A,U,Π), θg(A,U,Π)), e σ(τ,τg)=σ(τ,τg). Armación 4.5.15. Las siguientes armaciones se cumplen.

(i) V(A,U,Π) = (X(A,U,Π), θ (A,U,Π)

g )∈ BG, para cada 0-celda equivariante (A, U,Π).

(ii) El objeto (V,σ_e) pertenece a la categoría Z(BG₎_. _{En particular, el funtor} _Ψ _{está bien}

denido.

(iii) El funtor Ψ : Z(Φ)G → Z(BG₎ _{es una equivalencia de categorías, y tiene una estructura}

monoidal.

Prueba de la Armación. (i). Se debe vericar que el mapa θg(A,U,Π) satisface (4.3.5). En este

caso, se tiene que probar que para todog, h∈G Πg,h◦idX(A,U,Π) idFg(Uh)◦θ (A,U,Π) g Fg(θ_h(A,U,Π))◦idUg es igual a θ(_ghA,U,Π) id_F_gh₍_X₍_A,U,_Π))◦Πg,h .

Usando la denición deθ(gA,U,Π), se obtiene que la primer expresión es igual a

Πg,h◦idX(A,U,Π) idFg(Uh)Ug ◦(sg)(A,U,Π) idFg(Uh)◦Fg((sh)(A,U,Π))◦idUg = Πg,h◦idX(A,U,Π) idFg(Uh)Ug ◦(sg)(A,U,Π)(idUg∗◦Fg((sh)(A,U,Π)))◦idUg = Πg,h◦idX(A,U,Π) idFg(Uh)Ug ◦(sgh)(A,U,Π)(νg,h)(A,U,Π) = idUgh◦(sgh)(A,U,Π) Πg,h◦(νg,h)(A,U,Π) =θ(_ghA,U,Π) idFgh(X(A,U,Π))◦Πg,h . La segunda igualdad sigue de (4.5.13), y la última de (4.5.4).

(ii). Como eσ(τ,τg) =σ(τ,τg) para toda 1-celda equivariante (τ, τg), entonces eσ satisface (3.3). Se debe vericar sólo que eσ(τ,τg) es una 2-celda equivariante, esto es, se satisface (4.3.6). Para simplicar la notación, escribimosθg(A,U,Π)=θg, θ(A,eU ,eΠ)e =θe_g.En este caso particular, usando la composición de 1-celdas equivariantes dada en (4.3.7), tenemos que probar que

1 e Ug ◦σ(τ,τg) e θg◦1τ 1_F g(Xe)◦τg = τg◦1X 1Fg(τ)◦θg Fg(σ(τ,τg))◦1Ug . (4.5.16) El lado izquierdo de la ecuación (4.5.16) es igual a

= 1 e Ug ◦σ(τ,τg) 1 e Ug ◦(sg)(A,U,Π) 1_F g(Xe)◦τg = 1 e Ug ◦(1τ◦(sg)(A,U,Π))σ g (τ,τg) 1_F g(Xe)◦τg = 1 e Ug ◦(sg)(A,U,Π) τg◦1U∗ gFg(X)Ug Fg(σ(τ,τg))◦1Ug = τg◦1X 1Fg(τ)◦θg Fg(σ(τ,τg))◦1Ug .

La primera igualdad sigue de la denición deθg(A,U,Π)dada en (4.5.14), la segunda igualdad sigue

de (4.5.12), y la tercera de la denición deσ₍g_τ,τ

g).

(iii). El hecho de que Ψes una equivalencia sigue fácil. Un cálculo directo muestra que Ψ ((X, σ), s)⊗((Y, τ), t)= Ψ((X, σ), s)⊗Ψ((Y, τ), t),

Capítulo 5

Apéndice

El objetivo de este apéndice es hacer a la Tesis lo más autocontenida posible. Se dan deniciones de algunas estructuras matemáticas que se mencionan en los diferentes capítulos y que se consideran importantes.

5.1. Álgebras de Hopf

A continuación se introducen las álgebras de Hopf. Sea kun cuerpo.

Denición 5.1.1. Unak-álgebra (con unidad) es unk-espacio vectorial A junto con un par de

funciones k-lineales, la multiplicación m : A⊗A → A y la unidad u : k → A, tales que los

siguientes diagramas conmutan: Asociatividad: A⊗A⊗A id⊗m m⊗id _// A⊗A m A⊗A _m //A, Unidad: A⊗A m k⊗A u⊗id :: ' $$ A⊗_k id⊗u dd ' zz A.

Denición 5.1.2. Unak-coálgebra (con counidad) es unk-espacio vectorialC junto con un par

de funcionesk-lineales, la comultiplicación ∆ :C → C⊗C y la counidad :C → k, tales que

los siguientes diagramas conmutan: Coasociatividad: C ∆ ∆ _// C⊗C ∆⊗id C⊗C id⊗∆ //C⊗C⊗C, 85

Counidad: C ∆ ' zz ' $$ k⊗C C⊗k C⊗C. ⊗id dd id⊗ ::

Notación 5.1.3 (Notación sigma de Sweedler). Si ces un elemento de una coálgebra(C,∆, ), se denota a∆(c) =P

iai⊗bi∈C⊗C por

∆(c) =c(1)⊗c(2).

Denición 5.1.4. Sean(C,∆C, C)y(D,∆D, D)dos coálgebras. Una función linealf :C→D

es un morsmo de coálgebras si ∆D ◦f = (f⊗f)∆C yC =D ◦f.

Denición 5.1.5. Una biálgebra es un k-espacio vectorial B tal que (B, m, u) es un álgebra,

(B,∆, ) es una coálgebra y se satisfacen las siguientes condiciones: • ∆yson morsmos de álgebras.

• m yu son morsmos de coálgebras.

Denición 5.1.6. SeanAyB biálgebras. Un morsmo de biálgebrasf :A→B es una función lineal tal quef es morsmo de álgebras y de coálgebras.

Denición 5.1.7. Un álgebra de Hopf sobrekes una biálgebraH junto con una función lineal,

la antípoda S :H→H, tal que

m(S⊗id)∆ =u=m(id⊗S)∆.

Denición 5.1.8. SeanH yK álgebras de Hopf. Un morsmo de álgebras de Hopf f :H→K es un morsmo de biálgebras.

Denición 5.1.9. Sean H un álgebra de Hopf y x ∈ H distinto de cero. Se dice que x es un elemento tipo grupo deH si

∆(x) =x⊗x.

Observación 5.1.10. SiH es un álgebra de Hopf de dimensión nita, entonces la antípoda es biyectiva.

Ejemplos de álgebras de Hopf

• Sea Gun grupo, el álgebra de grupokGes un álgebra de Hopf con:

∆(g) =g⊗g, (g) = 1, S(g) =g−1, parag∈G.

• Sea g un álgebra de Lie, el álgebra envolvente universal H =U(g) es un álgebra de Hopf con:

(x) = 0, ∆(x) = 1⊗x+x⊗1,

S(x) =−x, parax∈g.

5.2. DOBLE DE DRINFELD TORCIDODωG 87

5.2. Doble de Drinfeld torcido

D

G

En este sección del apéndice se dene el doble de Drinfeld torcido de un grupo.

Sea G un grupo nito y sea ω ∈ Z3(G,C×) un 3-cociclo normalizado, esto es, para todo

a, b, c, d∈G,ω(a,1, b) = 1 y

ω(a, b, c)ω(a, bc, d)ω(b, c, d) =ω(ab, c, d)ω(a, b, cd), donde1 es la identidad del grupo G.

Denición 5.2.1. El doble de Drinfeld torcidoDωGse dene como el álgebra sobreCcon base

{<←−g x >:g, x∈G}, y con producto dado por

<←−h y >·<←−g x >:=δy,gxg−1

ω(h, g, x)ω(hgx(hg)−1_{, h, g}₎

ω(h, gxg−1_{, g}₎ <

←−x > . DωGes un álgebra asociativa con elemento unidad:

1Dω_G= X

x∈G

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