En un circuito cualquiera con más de tres ramales, por ejemplo:
Se cumple que no existen soluciones directas a la determinación de la solución para el caudal, aunque la caída de presión es constante. Para el ejemplo, existen b ramales (3) en la red (branches), entonces hay b corrientes de aire por determinar (3) y, por lo tanto, tenemos que b (3) ecuaciones independientes.
Ahora bien, si la red contiene j uniones (2), entonces podemos escribir la primera ley de Kirchhoff para cada uno de ellos a su vez. Sin embargo, como cada ramal se supone como continua sin uniones que intervienen, el flujo de aire en un ramal se denota como Qi al entrar en una ramificación, implica automáticamente que Qi sale de la unión en el otro extremo de esa misma rama. De ello se deduce que cuando alcanzamos la salida de la última ramificación, todas las corrientes de aire han sido marcadas o simbolizadas. El número de ecuaciones independientes derivadas de la primera ley de Kirchhoff es (j-1) ó (2-1).
QA QB QC HA HB HC Q2 Q1
Circuitos y redes de Ventilación – Hardy Cross
Lo anterior deja b - (j - 1) o (b - j + 1) ecuaciones más que son establecidas a partir de la segunda ley de Kirchhoff. Tenemos que elegir (b - j + 1) mallas cerradas independientes en torno a las cuales se completan las caídas de presión por fricción, es decir (3 – 2 + 1 = 2) ecuaciones.
Para el ejemplo, son conocidos:
Q1 = Q2 = QA + QB + QC
PL1-2 = HL1-2 = HA = HB = HC
En este caso se requiere de una tercera ecuación independiente para resolver en forma explícita las tres velocidades/caudales. Para ello se aplica un sistema iterativo directo desarrollado por el profesor Hardy Cross, que converge a una solución de las velocidades (caudales) rápidamente. Esto requiere utilizar la ecuación:
P = H = R Qn
Esta técnica requiere estimar valores iniciales para la velocidad o el caudal en cada ramal del sistema. Además, se debe recordar que por continuidad y primera ley de Kirchhoff, todo lo que entra en un nodo debe salir. Por otro lado, el flujo tiende a seguir el camino de menor resistencia, por lo que los ramales que tienen menor resistencia tenderán a transportar mayor caudal que aquellas de resistencia mayor.
Circuitos y redes de Ventilación – Hardy Cross
La segunda ley de Kirchhoff establece que la caída de presión alrededor de cualquier circuito cerrado debe ser igual a cero. A esto se le debe agregar que si el flujo tiende a ser positivo al seguir el sentido de las manecillas del reloj, por lo que si un tramo sigue el sentido contrario este será negativo. A continuación, se presente un procedimiento para la aplicación de la técnica de Hardy Cross:
1. Expresar la pérdida de carga de cada tramo de la forma Hi=Ri*Qi2
2. Suponer valores iniciales para cada caudal 3. Dividir la red en series de circuitos cerrados
4. Para cada tramo determinar Hi con los valores de Qi supuestos inicialmente
5. Proceder en cada circuito cerrado la suma algebraica de todos lo valores de H, de manera que si el flujo va en el sentido de las manecillas del reloj Hi y Qi son positivos, de lo contrario son negativos. La suma resultante se denota ∑Hi
6. Para cada tramo determinar 2RiQi
7. Sumar todos los valores de 2RiQi para cada circuito, con la suposición de que
todos son positivos, lo que se denota como ∑(2RiQi) 8. Para cada circuito calcular el valor de ΔQi con
ΔQi = ∑Hi / ∑(2RiQi)
9. Para cada tramo estimar un valor nuevo de Q, mediante Q’i = Qi - ΔQi
Circuitos y redes de Ventilación – Hardy Cross
La aplicación directa de las leyes de Kirchhoff a los circuitos completos de ventilación en minas puede dar lugar a varios cientos de ecuaciones a resolver simultáneamente. Esto requiere de ayuda computacional. Las soluciones manuales se limitan a redes muy pequeñas o secciones de las redes. Sin embargo, un ejemplo de resolución manual es útil tanto para ilustrar la técnica y ayudar en la comprensión de los procedimientos numéricos posteriores.
Ejemplo: en la figura se muestra una red de ventilación simplificada alimentada por piques con aire descendente y ascendente, cada uno con 100 m3/s. Se muestra además la resistencia de cada ramal del sistema. Un ventilador impulsa el flujo de aire en la rama central a 40 m3/s. Determinar la distribución del flujo de aire del sistema y la presión total, pb desarrollado por el ventilador de refuerzo.
Solución
Al inspeccionar red muestra que no se puede resolver en una configuración serie/paralelo y, por tanto, el método de resistencia equivalente no es aplicable. Debemos, por tanto, tratar de encontrar una solución mediante la aplicación directa de las leyes de Kirchhoff. Las corrientes de aire dada también se muestran en la figura con el flujo de A a B denota como Q1. Mediante la aplicación de la primera ley de Kirchhoff a cada salida de cada ramal, los caudales de aire en otras ramas se pueden expresar en términos de la Q1 (ver la figura).
El sistema tiene 5 ramales y 4 ramificaciones, lo que nos entrega 2 mallas independientes.
Elegimos las trayectorias a través de ABCA y de BDCB, y considerando los signos según el mismo sentido de circulación
Si hacemos lo mismo en los tramos CB, BD y DC tenemos,