Clasificación de las funciones y nombre de funciones

Frege precisa que bajo las funciones, además de los objetos, pueden caer también funciones; por este motivo, él realiza una clasificación de los lugares de argumentos según el tipo de argumento que en cada caso pueda saturar una función:

 Argumentos tipo 1: Objetos.

 Argumentos de tipo 2: Funciones de primer de nivel de un argumento.

 Argumentos tipo 3: Funciones de primer de nivel de dos argumentos.

De este modo se tiene:

 Lugares de argumento tipo 1: Admiten sólo nombres de objetos

42 _{Bocardo E. (1998) da una definición de lo que para Frege esto podía ser: “la extensión de un determinado concepto} F es la clase de pares ordenados (𝑥, 𝑦) de manera que 𝑦 sea el valor de verdad que resulta cuando se considera todas aquellas 𝑥´𝑠 que caen dentro del concepto F”. (p. 49).

 Lugares de argumento tipo 2: Admiten sólo nombres de funciones de primer nivel de un argumento.

 Lugares de argumento tipo 3: Admiten sólo nombres de funciones de primer nivel de dos

argumentos.

Estas clasificaciones permiten a Frege determinar que existen diversos tipos de funciones. Para simbolizarlas hace alusión a diferentes letras con el fin de distinguir entre letras que denotan funciones y letras que denotan objetos. Las letras de funciones son 𝑓, 𝑔, ℎ, 𝐹, 𝐺, 𝐻, …, así como las letras griegas mayúsculas Φ y Ψ, además de Ω, M y 𝜙 que son para denotar un tipo especial de función, la función de segundo nivel, que será tratada más adelante. Así mismo, él emplea algunas letras góticas para denotar algunas funciones, diferentes a las que denotan objetos. Entre ellas, la más usual es la letra (se trata de la letra “𝑓” del alfabeto gótico). De otro lado, entre las letras empleadas para denotar objetos se encuentran las latinas 𝑎, 𝑏 …; las letras vocales góticas minúsculas 𝖆, ,…; las primeras letras griegas mayúsculas Γ, Δ, Θ, Ξ, … y las letras vocales griegas minúsculas 𝝐, , ….

En este sentido, él caracteriza los siguientes tipos de funciones:

 Funciones de primer nivel de un argumento: estas sólo admiten argumentos del tipo 1,

y cuando su valor es un valor de verdad se les llama concepto. Una forma de simbolizar este tipo de función es mediante el uso de letras mayúsculas griegas así, por ejemplo, una expresión para función de primer nivel es Φ(𝜉).

 Funciones de primer nivel de dos argumentos: Estassólo admiten argumentos del tipo

1, y tiene dos lugares vacíos por llenar que se denotan por las letras 𝜉 y 𝜁. Estas son consideradas relaciones cuyo valor es un valor de verdad. En este caso se utiliza la expresión Ψ(𝜉, 𝜁), y para el caso cuando dos objetos caen bajo la función se emplea la expresión Ψ(Γ, Δ); entonces se dice que el objeto Γ permanece con el objeto Δ mediante la relación Ψ, si Ψ(Γ, Δ) es verdad.

 Funciones de segundo nivel de un argumento: Estassólo admiten argumentos del tipo 2; y se expresa mediante el símbolo 𝑋(Φ(𝜉)). Frege considera pertinente incorporar un nuevo símbolo para hacer alusión a estas funciones M β (𝜙(𝛽)). Esta expresión indica que 𝜙(𝛽) representa los lugares vacíos que deben ser sustituidos por una función de primer nivel cuyo argumento es 𝛽 (Aquí 𝜙( ) se entiende del mismo modo como 𝜉 en 𝑓(𝜉)).

 Funciones de segundo nivel de dos argumentos: Sólo admiten argumentos del tipo 3, es

decir toma como argumento relaciones, se representa de forma análoga a la anterior, pero haciendo reconocible los dos lugares del argumento.

 Funciones de tercer nivel43_{: Estas admiten como argumentos funciones de segundo nivel}

de un argumento de tipo 2 o de tipo 3, y se representa mediante las expresiones y respectivamente. Donde 𝜇_β y 𝜇_βγ son los lugares del argumento.

A partir de esta clasificación, Frege aclara lo que se entiende por nombres de funciones de primer nivel de uno y dos argumentos. Los primeros nombres de función, se obtienen de los nombres propios que saturan la función. Ahora bien, si se procede de manera inversa y a la función se le extrae los nombres propios, que es lo mismo que extraer sus objetos, lo que queda nuevamente reconocible en la función son los lugares vacíos para objetos (lugares del argumento tipo 1).44

De manera análoga, si al nombre de una función de primer nivel de un argumento se le extrae un nombre propio, entonces se hace reconocible dos lugares vacíos para objetos, de modo que resulta un nombre de función de primer nivel de dos argumentos. Y si de un nombre propio se

43 _{Aunque Frege introduce una simbología para estas funciones, él hace la anotación de que ellas no van a ser} necesarias para dar la definición de número, y en consecuencia no hace un estudio detallado de ellas.

44 _{es un nombre propio cuya referencia es el objeto verdad. Si extraemos de él el nombre propio 𝑎, entonces los} lugares donde se muestra las ocurrencias de 𝑎 serian reemplazados por 𝜉, obteniendo así un nombre de función de primer nivel de un argumento.

extrae una función de primer nivel, entonces quedaría un lugar vacío para una función de uno o dos argumentos según sea el caso (lugares tipo 2 o 3), por tanto se obtendrá un nombre de una función de segundo nivel de un argumento.

Frege indica, además, siempre que dentro de un nombre propio se reemplace por letras de objetos, los nombres propios inmersos en el inicial, se denominan marca de objeto (si el reemplazo se hace sólo por letras latinas se habla de marca latina de objeto); de igual manera, si se reemplaza los nombres de funciones por letras de funciones, se habla de marca de funciones (en el caso de que los reemplazos sean solo por letras latinas se habla de marca latina de función).

Con base en lo anterior, Frege determina cómo se pueden formar nombres propios y nombres de funciones de primer nivel adecuados (es decir que realmente se refieren a algo), estipulando dos métodos. El primer método establece las condiciones para tener un nombre propio y nombre función de primer nivel de un argumento:

[A] Un nombre propio

[1] de un nombre propio y un nombre de una función de primer nivel de un argumento. [2]o de un nombre de una función de primer nivel y un nombre de una función de

segundo nivel de un argumento.

[3] o de un nombre de una función de segundo nivel de un argumento de tipo 2 y el

nombre de una función de tercer nivel.

[B] El nombre de una función de primer nivel de un argumento.

[1] de un nombre propio y un nombre de una función de primer nivel de dos argumentos. (Frege, 1893/1964, p. 85, según se traduce).

El segundo método sólo permite formar nombres de funciones de primer nivel. Este método garantizar que el nombre de una función tiene referencia, bajo la condición de que dicho nombre sea obtenido a partir de un nombre formado por el primer método. De este nombre se debe extraer,

a su vez un nombre propio, de tal manera que se reconozcan los lugares de argumento del tipo 1 que quedan en el nombre inicial.