TEMA V. Cu´ adricas
5.4. Clasificaci´on de las cu´adricas
Al cambiar de sistema de referencia la ecuaci´on de una cu´adrica toma una forma distinta, por lo que nos interesa ver el tipo de cu´adricas que existen independientemente del sistema de coordenadas que tomemos. Estudiaremos, por ahora, aquellos tipos de cu´adricas que quedan invariantes primero por transformaciones proyectivas en general y luego por transformaciones afines. La definici´on de estas ´ultimas transformaciones las sobrentenderemos, teniendo en cuenta que es una mera generalizaci´on de las consideradas en el plano af´ın.
Clasificaci´on proyectiva de las cu´adricas
El rango de la matriz asociada A = (aij) a la ecuaci´on de una cu´adrica
tXAX = 0 es un invariante proyectivo (ver p´ag. 135) y es por lo que el n´umero de puntos singulares de una cu´adrica no depende del sistema particular de coordenadas proyectivas que se tome. De acuerdo con esto, vamos a clasificar las cu´adricas con arreglo al n´umero de puntos singulares y a su disposici´on; clasificaci´on que denominaremos proyectiva. Recordemos que el sistema que da los puntos singulares es:
a00x0 +a01x1 +a02x2 +a03x3 = 0 a01x0 +a11x1 +a12x2 +a13x3 = 0 a02x0 +a12x1 +a22x2 +a23x3 = 0 a03x0 +a13x1 +a23x2 +a33x3 = 0
1. Si rango A = 4, el sistema no admite m´as que la soluci´on (0,0,0,0), que no representa ning´un punto en P3(IR). Una cu´adrica no degenerada no tiene puntos singulares.
2. Si rango A = 3, hay un solo punto P0 cuyas coordenadas homog´eneas satisfacen al sistema.
Si cortamos la cu´adrica por un planoπ que no contenga al punto singular, la intersecci´on ser´a una c´onica (*) no degenerada (basta considerar un sistema de referencia en P3(IR) formado por P0 y tres punto conjugados dos a dos, respecto a la cu´adrica, en el plano π).
Las rectas que unenP0 con los puntos de dicha c´onica est´an en la cu´adrica. Por lo que ´esta est´a formada por rectas que pasan por un punto (´unico punto singular). Se trata de un cono.
3. si rango A = 2, el sistema que da los puntos singulares se reduce a dos ecuaciones y los puntos singulares estar´an en una recta r, determinada por ambas ecuaciones.
(∗) Sean P, Qy R tres puntos independientes del plano que corta a la cu´adrica.
Las ecuaciones param´etricas del plano ser´an
xi = y0pi +y1qi +y2ri (i = 0,1,2,3)
que sustituidas en la ecuaci´on matricial tXAX = 0 de la cu´adrica, queda tY(tM AM)Y = 0,
siendo M la matriz de 4 filas y 3 columnas, formada por las coordenadas de los puntos P, Q y R. Se trata, por ser tM AM una matriz sim´etrica, de la ecuaci´on de una c´onica.
Q
P
s r
Si se corta la cu´adrica por una recta s que no corte a r, se obtienen dos puntos P y Q de la cu´adrica, que unidos a los de la recta r determinan dos planos, en los que degenera la cu´adrica, ya que las rectas que unen P o Q con los puntos de r (singulares) est´an en la cu´adrica (p´ag. 137). La intersecci´on de la rectas con la cu´adrica no puede dar un ´unico punto, pues entonces la cu´adrica se reducir´ıa a un plano de puntos singulares, y se tendr´ıa rango A = 1.
4. Si rango A = 1, las ecuaciones son dependientes por lo que se reducen a una s´ola que define un plano de puntos singulares, al cual se reduce la cu´adrica. Pues, no pueden haber otro punto de la cu´adrica fuera de este plano, ya que todas las rectas que pasen por ´el estar´ıan en la cu´adrica, al pasar por un punto singular del plano.
En resumen, seg´un que el rango A sea 4, 3, 2 ´o 1 la cu´adrica es no degene- rada, degenera en un conjunto rectas que pasan por un punto (cono), degene- rada en dos planos distintos que se cortan en una recta de puntos singulares, o degenerada en un plano de puntos singulares.
A continuaci´on vamos a precisar un poco m´as sobre la clasificaci´on proyec- tiva de las cu´adricas, obteniendo un total de ocho tipos, en vez de cuatro como hemos obtenido.
Dada la ecuaci´on de una cu´adrica respecto a un sistema de referencias proyectivo arbitrario
3 X
i,j=0
aijxixj = 0,
por el m´etodo de formaci´on de cuadrados de Gauss podemos, mediante trans- formaciones proyectivas sucesivas, llegar a una ecuaci´on reducida o diagonal siguiente:
a0(x0)2 +a1(x1)2 +a2(x2)2 +a3(x3)3 = 0.
Ahora bien los coeficientes ai no nulos pueden ser positivos o negativos. Se
sabe que el n´umero de coeficientes no nulos es un invariante proyectivo, porque est´a relacionado con el rango de A, y debemos establecer que el n´umero de coeficientes positivos (haciendo que ´este sea mayor o igual que el de t´erminos negativos, multiplicando por −1 si fuera necesario) es tambi´en un invariante proyectivo; es decir, demostremos que
5.25. Proposici´on.- Si m es el n´umero de t´erminos positivos en la ecuaci´on diagonal de una cu´adrica (igual o mayor que el n´umero de t´erminos negativos), entonces la dimensi´on del mayor subespacio proyectivo que no tiene puntos comunes con la cu´adrica es m−1.
Demostraci´on.- Seg´un los valores dem la ecuaci´on diagonal de una cu´adrica se expresa de las ocho formas siguientes, donde se han puesto los t´erminos positivos primero (reordenando las variables si fuera necesario) y sustituido xi
por x
i
√
ai
(si ai > 0) o bien xi por x i
√ −ai
(si ai < 0); adem´as se acompa˜na del
nombre a cada uno de ellos, lo cual se justificar´a m´as tarde:
I) (x0)2 + (x1)2 + (x2)2 + (x3)2 = 0 Cu´adrica imaginaria II) (x0)2 + (x1)2 + (x2)2 −(x3)2 = 0 Cu´adrica no reglada III) (x0)2 + (x1)2 −(x2)2 −(x3)2 = 0 Cu´adrica reglada
IV) (x0)2 + (x1)2 + (x2)2 = 0 Cono imaginario (v´ertice real) V) (x0)2 + (x1)2 −(x2)2 = 0 Cono
VI) (x0)2 + (x1)2 = 0 Planos imaginarios conjugados VII) (x0)2 −(x1)2 = 0 Planos reales distintos
VIII) (x0)2 = 0 Plano doble
Verifiquemos la proposici´on para cada uno de estos casos:
I) (m = 4) Se trata de una cu´adrica sin puntos reales (o imaginaria). No hay ning´un punto de P3(IR) en la cu´adrica. dimP3(IR) = m−1.
II) (m = 3) Si se corta la cu´adrica por el plano x3 = 0, no hay puntos de intersecci´on. Hay, por tanto, un subespacio de dimensi´on 2 = m−1 que no tiene puntos com´un con la cu´adrica; y como, por ejemplo, el punto (1,0,0,1) pertenece a la cu´adrica, no hay un subespacio de dimensi´on 3 sin puntos comunes con ella.
III) (m = 2) La recta x2 = 0, x3 = 0, subespacio de dimensi´on 1 = m −1, no tiene puntos comunes con la cu´adrica. Adem´as como la recta x0 = x2, x1 = x3 est´a en la cu´adrica, cualquier plano (subespacio de dimensi´on 2) tiene puntos comunes con ella.
IV) (m = 3) S´olo tiene el punto (0,0,0,1). El plano x3 = 0, que no pasa por dicho punto, no tiene puntos comunes con la cu´adrica y su dimensi´on es 2 = m−1.
V) (m = 2) La recta x2 = 0, x3 = 0 no tiene puntos comunes con la cu´adrica. Y la recta x0 = x2, x1 = 0 est´a en la cu´adrica; luego, cualquier plano la corta.
VI) (m = 2) La recta x2 = 0, x3 = 0 no corta a la cu´adrica y su dimensi´on es 1 = m −1. Y la recta x0 = 0 x1 = 0 est´a en la cu´adrica; luego, cualquier plano la corta.
VII) (m = 1) El punto (1,0,0,0) (subespacio de dimensi´on 0 = m −1) no est´a en la cu´adrica. Y el plano x0 = x1 forma parte de ella, por lo que, cualquier recta corta a la cu´adrica.
VIII) (m = 1) El punto (1,0,0,0) no est´a en la cu´adrica y cualquier recta corta al plano x0 = 0 que forma parte de la cu´adrica. ¡ Justificamos ahora los nombres que hemos dado a los distintos tipos de cu´adricas, en esta clasificaci´on proyectiva:
I) La cu´adrica carece de puntos: cu´adrica imaginaria.
II) No contiene a ninguna recta, pues el plano x3 = 0 no corta a la cu´adrica: cu´adrica no reglada.
III) Si escribimos la ecuaci´on de la forma
(x0 −x2)(x0 +x2) + (x1 −x3)(x1 +x3) = 0, se observa que contiene dos familias de rectas:½
λ(x0 −x2) +µ(x3 −x1) = 0 λ(x1 +x3) +µ(x0 +x2) = 0
½
ξ(x0 −x2) +η(x1 +x3) = 0 ξ(x3 −x1) +η(x0 +x2) = 0 (dos rectas de la misma familia no se cortan y dos rectas de familias distintas se cortan siempre). Se le da el nombre de cu´adrica reglada.
IV) Como hemos visto hay un s´olo punto singular, y la cu´adrica est´a formada por rectas que pasan por ´el, que en este caso son imaginarias: cono imaginario.
V) Como en el caso anterior, pero ahora las rectas que la generan son reales: cono (real).
VI) Como hemos estudiado, existe una recta de puntos singulares y la cu´adrica degenera en el producto de dos planos en este caso imaginarios con- jugados: planos imaginarios.
VII) Como en el caso anterior, pero ahora resultan ser planos reales: dos planos distintos.
VIII) Se trata de dos planos reales coincidentes, todos sus puntos son singulares.
Clasificaci´on af´ın de las cu´adricas
Situ´emonos ahora en el espacio af´ın (fijando en el espacio proyectivo un plano como plano impropio). Nos interesa clasificar las cu´adricas en diferentes tipos, tales que despu´es de una transformaci´on af´ın, la cu´adrica siga siendo del mismo tipo.
Las transformaciones (o cambios de coordenadas afines) conservan los pun- tos impropios, luego la intersecci´on de una cu´adrica con el plano del infinito siempre dar´a el mismo tipo de c´onica, independientemente del sistema de coor- denadas afines que se tome.
Si cortamos la cu´adrica de ecuaci´on 3 X
i,j=0
aijxixj = 0 por el plano impropio
x0 = 0, resulta una c´onica en ese plano de ecuaciones: 3
X
i,j=0
En el espacio af´ın la ecuaci´on 3 X
i,j=1
aijxixj = 0, representa un cono con
v´ertice en el origen de coordenadas y cuyas generatrices tienen las direcciones determinadas por los puntos de la c´onica en el plano impropio anterior. Pueden darse tres casos: que dicho cono sea real, imaginario o degenerado en producto de planos. En el primer caso la cu´adrica corta al plano impropio seg´un una c´onica real y no degenerada, se dice entonces que es de g´enero hiperboloide. Si dicho cono es imaginario, se dice que es de g´enero elipsoide. Y, finalmente, cuando degenera en un producto de planos, la c´onica impropia es degenerada y se dice que la cu´adrica es de g´enero paraboloide.
De acuerdo con el rango de la matriz asociada a la ecuaci´on de una cu´adrica, que es invariante por transformaciones afines, y tipo concreto de c´onica del infinito, se obtienen la clasificaci´on de las cu´adricas que figura en la p´agina150. Con el fin de precisar m´as sobre la clasificaci´on af´ın de las cu´adricas, de- terminemos la ecuaci´on reducida de una cu´adrica, utilizando s´olo cambios de coordenadas que sean transformaciones afines (es decir, que conserven el plano impropio).
Dada una cu´adrica de ecuaci´on f((x0, x1, x2, x3)) =
3 X
i,j=0
aijxixj = 0,
mediante transformaciones de coordenadas de la forma ρy0 = x0 ρyi = 3 X j=0 αijxj (i = 1,2,3) |αij| 6= 0 (i, j = 1,2,3)
es posible reducir los t´erminos que no contienen a x0 a forma diagonal y obtener:
r
X
i=1
ai(yi)2 = b0(y0)2+2y0(b1y1+b2y2+b3y3) r ≤ 3, ai 6= 0 (i = 1, . . . , r),
que puede escribirse de la forma siguiente:
r X i=1 ³ ai(yi)2 −2biy0yi ´ = b0(y0)2 + 2y0 ³ X3 i=r+1 biyi ´ , r X i=1 ai ³ yi − bi aiy 0´2 = r X i=1 b2 i ai (y0)2 +b0(y0)2 + 2y0 ³ X3 i=r+1 biyi ´ , que poniendo c0 = b0 + r X i=1 b2 i ai
y haciendo el cambio de coordenadas z0 = y0
zi = yi − bi
ai
y0 (1≤ i ≤ r) zi = yi (r+ 1 ≤ i ≤ 3)
queda la ecuaci´on de la cu´adrica de la forma siguiente: r X i=1 ai(zi)2 = c0(z0)2 + 2z0 ³ X3 i=r+1 bizi ´
A partir de esta ecuaci´on distinguiremos tres casos:
I) c0 = 0 y bi = 0 (i = r + 1, . . . ,3) I1 : a1(z1)2 = 0 I2 : a1(z1)2 +a2(z2)2 = 0 I3 : a1(z1)2 +a2(z2)2 +a3(z3)2 = 0. II) c0 6= 0 y bi = 0 (i = r + 1, . . . ,3) II0 : 0 =c0(z0)2 II1 : a1(z1)2 = c0(z0)2 II2 : a1(z1)2 +a2(z2)2 = c0(z0)2 II3 : a1(z1)2 +a2(z2)2 +a3(z3)2 = c0(z0)2
III) Existe un bi 6= 0, supongamos que sea br+1 6= 0. Haciendo previa- mente el siguiente cambio de coordenadas:
t0 = z0 ti = zi i = 1, . . . , r, r + 2, . . . ,3 tr+1 = c0 2 z 0 + 3 X i=r+1 bizi
tenemos los siguientes subcasos:
III0 : 0 = 2t0t1
III1 : a1(t1)2 = 2t0t2
III2 : a1(t1)2 +a2(t2)2 = 2t0t3
Haciendo finalmente los siguientes cambios, respectivamente en cada uno de los tres casos anteriores:
zi → x i √ ai si ai > 0 o zi → x i √ −ai si ai < 0 zi → x i p ai/c0 si ai c0 > 0 o z i → p xi −ai/c0 si ai c0 < 0 ti → x i √ ai si ai > 0 o ti → xi √ −ai si ai < 0,
I) 1) (x1)2 = 0 Plano doble
2) (x1)2 + (x2)2 = 0 Dos planos imag. conjugados 3) (x1)2 −(x2)2 = 0 Dos planos distintos
4) (x1)2 + (x2)2 + (x3)2 = 0 Cono imaginario 5) (x1)2 + (x2)2 −(x3)2 = 0 Cono
II) 6) (x0)2 = 0 Plano impropio doble
7) (x1)2 = (x0)2 Dos planos paralelos
8) −(x1)2 = (x0)2 Planos paralelos imaginarios 9) (x1)2 + (x2)2 = (x0)2 Cilindro el´ıptico
10) (x1)2 −(x2)2 = (x0)2 Cilindro hiperb´olico 11) −(x1)2 −(x2)2 = (x0)2 Cilindro imaginario 12) (x1)2 + (x2)2 + (x3)2 = (x0)2 Elipsoide
13) (x1)2 + (x2)2 −(x3)2 = (x0)2 Hiperboloide de una hoja 14) (x1)2 −(x2)2 −(x3)2 = (x0)2 Hiperboloide de dos hojas 15) −(x1)2 −(x2)2 −(x3)2 = (x0)2 Cu´adrica imaginaria
III) 16) 2x0x1 = 0 Un plano propio y el impropio 17) (x1)2 = 2x0x2 Cilindro parab´olico
18) (x1)2 + (x2)2 = 2x0x3 Paraboloide el´ıptico 19) (x1)2 −(x2)2 = 2x0x3 Paraboloide hiperb´olico
ECUACION REDUCIDA DE LAS CUADR´ICAS EN EL ESPACIO AF´IN (Seg´un la naturaleza de la c´onica impropia)
Rango C´onica Rango de A
de A00 impropia 4 3 2 1
Elipsoide (real):
x2+y2+z2 = 1 x2+y2+z2 = 0
Imaginaria *** ***
Elipsoide imag.: Cono imaginario 3 x2+y2+z2 =−1
Hiperboloide de una hoja (reglado)
Real x2+y2−z2 = 1 x2+y2−z2 = 0 *** *** de dos hojas: Cono (real)
x2−y2−z2 = 1
x2−y2 = 2z x2−y2 = 1
Dos rectas Paraboloide Cilindro x2−y2 = 0 *** 2 hiperb´olico hiperb´olico Dos planos
x2+y2 = 2z Cilindro el´ıptico x2+y2 = 0
Rectas Paraboloide real: x2+y2 = 1 Planos *** imaginarias el´ıptico imag.: x2+y2 =−1 Imaginarios
x2−2y= 0 Planos paralelos
1 Recta doble *** Cilindro reales o imag. x2 = 0 parab´olico x2 = 1 ´o x2=−1 Plano doble
x= 0
Todo el *** *** Un plano ***
0 plano (Plano impropio)
(Plano
Plano doble *** *** *** impropio