Col´ımites - Categor´ ıas - Tesis de Licenciatura

A. Categor´ ıas

A.2. Col´ımites

Definición A.2.1. Un col´ımite de un funtor F : J → C es un objeto de C notado colim F junto con una transformación natural τ : F → ∆(colim F ) universal entre todas las transformaciones naturales F → ∆(c) con c ∈ obj C. Esto significa que dados c ∈ obj C y una transformación natural η : F → ∆(c) existe una única transformación natural ϕ : ∆(colim F ) → ∆(c) tal que ϕτ = η. Observamos que dar una transformación natural ∆(colim F ) → ∆(c) es lo mismo que dar un morfismo colim F → c.

Aclaraci´on. Si G : J → C es un funtor contravariante, un col´ımite de G es un col´ımite del funtor (covariante) G : Jop→ C.

De la propiedad universal del col´ımite sigue que dos col´ımites cualesquiera de un funtor F son isomor- fos. Esto justifica el uso de la notaci´on colim F sin peligro de ambig¨uedad. Supongamos que C, C0 ∈ obj C, τ : F → ∆(C) y τ0 : F → ∆(C0) son dos col´ımites de F . Por la propiedad universal del col´ımite existen dos transformaciones naturales

η : ∆(C) → ∆(C0), η0: ∆(C0) → ∆(C)

tales que ητ = τ0 y η0τ0= τ . Entonces η0ητ = τ . Usando nuevamente la propiedad universal, existe una ´

unica transformaci´on natural ν : ∆(C) → ∆(C) tal que ντ = τ . Como η0ητ = τ y 1τ = τ sigue que ηη0= 1. De manera an´aloga se muestra que η0η = 1 y sigue que η : C → C0 es un isomorfismo.

Ejemplo A.2.2. Sea J la categor´ıa asociada al conjunto P = {2, 3} con el orden dado por la divisibilidad. J tiene dos objetos y ning´un morfismo distinto de las identidades. Dar un funtor F : J → C es dar dos objetos F (2), F (3) ∈ C. Si c ∈ obj C, dar una transformaci´on natural η : F → ∆(c) es lo mismo que dar dos morfismos como sigue.

F (2) c F (3) η2 η3 (A.1)

AP ÉNDICE A. CATEGORÍAS 33 Un col´ımite de F es un objeto colim F ∈ obj C junto con una transformación natural τ : F → ∆(colim F ) tal que para todo diagrama (A.1) existe un único morfismo colim F → c de manera que el siguiente diagrama conmuta. F (2) colim F c F (3) τ2 τ3 η2 η3 Un col´ımite de F es un coproducto de F (2) y F (3).

Ejemplo A.2.3. Sea J la categor´ıa asociada al conjunto P = {1, 2, 3} con el orden dado por la divisibilidad. Jtiene tres objetos y dos morfismos 1 → 2 y 1 → 3 distintos de las identidades. Dar un funtor F : J → C es dar tres objetos F (1), F (2), F (3) ∈ obj C y dos morfismos F (1) → F (2) y F (1) → F (3). Si c ∈ obj C, dar una transformaci´on natural η : F → ∆(c) es lo mismo que dar dos morfimos η2 : F (2) → c y

η3: F (3) → c tal que el siguiente diagrama conmuta.

F (1) F (2)

F (3) c

η2

η3

(A.2)

Un col´ımite de F es un objeto colim F ∈ obj C junto con una transformaci´on natural τ : F → ∆(colim F ) tal que para todo diagrama (A.2) existe un ´unico morfismo colim F → c de manera que el siguiente diagrama conmuta. F (1) F (2) F (3) colim F c η2 η3 τ2 τ3 El diagrama F (1) F (2) F (3) colim F τ2 τ3

se llama cuadrado cocartesiano.

Definici´on A.2.4. Una categor´ıa J se dice filtrante si

1. Dados i, j ∈ obj J existe alg´un k ∈ obj J con morfismos i → k, j → k.

2. Dados dos morfismos paralelos u, v : i → j existe un morfismo w : j → k tal que wu = wv. Ejemplo A.2.5. Si C es la categor´ıa asociada a un conjunto parcialmente ordenado (P, ≤), la segunda condición de la definición anterior se cumple siempre porque de un objeto a otro hay a lo sumo un morfismo. Decir que C es filtrante equivale a decir que para todo par x, y ∈ P existe z ∈ P con x, y ≤ z. Si (P, ≤) tiene esta última propiedad decimos que (P, ≤) es un conjunto dirigido. Un col´ımite de un funtor F : P → D con P un conjunto dirigido se llama l´ımite directo de F .

Definici´on A.2.6. Un col´ımite filtrante es un col´ımite de un funtor F : J → C con J filtrante.

Observaci´on A.2.7. Si G : J → C es un funtor contravariante y Jop es filtrante, un col´ımite de G es un col´ımite filtrante.

AP ÉNDICE A. CATEGORÍAS 34 Definición A.2.8. [ML71, p.213] Un funtor L : I → J se dice final si para todo k ∈ J la coma categor´ıa (k ↓ L) es no vac´ıa y conexa.

Lema A.2.9. [ML71, p.213] Si L : I → J es un funtor final y H : J → C es un funtor tal que existe colim H, entonces existe colim HL y el morfismo canónico colim HL → colim H es un isomorfismo. Definición A.2.10. Sea F : C → Ab un funtor. Sea H : J → C otro funtor con J filtrante tal que existe colim H. Sea τ la transformación natural universal H → ∆(colim H). La composición F τ es una transformación natural de F H en ∆(F (colim H)). Decimos que F conmuta con col´ımites filtrantes si para todo H en la situación recién descripta la transformación natural F τ es un col´ımite de F H.

Para terminar la sección mencionamos un resultado que será útil más adelante.

Lema A.2.11. [Wei95, Lemma 2.6.14] Sea I una categor´ıa filtrante y H : I → Ab un funtor. Entonces 1. Todo elemento x ∈ colim H es la imagen de alg´un elemento xi ∈ H(i) por el morfismo H(i) →

colim H.

2. Si xi ∈ H(i) está en el núcleo de H(i) → colim H entonces xi está en el núcleo de H(i) → H(j)

Ap´endice B

Variedades algebraicas

A lo largo de este cap´ıtulo k es un cuerpo algebraicamente cerrado.

B.1.

La topolog´ıa de Zariski en k

Denotamos kN al anillo k [x1, . . . , xN] de polinomios en N variables con coeficientes en k.

Dado un conjunto C ⊆ kN definimos V (C) :=x ∈ kN : f (x) = 0 ∀f ∈ C . Si I es el ideal de kN

generado por C entonces V (I) = V (C). Un conjunto algebraico en kN _{es un conjunto de la forma V (I)}

para alg´un ideal I. Valen las siguientes propiedades, de las que se deduce que los conjuntos algebraicos en kN _{son los cerrados para una topolog´ıa en k}N_.

1. V (0) = kN _{y V (k} N) = ∅.

2. V (I) ∪ V (J ) = V (IJ ). 3. T

lV (Il) = V (LlIl).

La topolog´ıa en kN cuyos cerrados son los conjuntos algebraicos se llama topolog´ıa de Zariski. Ejemplo B.1.1. Los conjuntos D(g) := kN _{− V (g) con g ∈ k}

N se llaman abiertos principales y son una

base de la topolog´ıa de Zariski en kN_{. En efecto, supongamos que f ∈ k}N

− V (I) con I kN. Como

V (I) =T

h∈IV (h), existe alg´un h ∈ I tal que f /∈ V (h), es decir, f ∈ D(h). Por otra parte es claro que

D(h) ⊆ kN _{− V (I) para todo h ∈ I.}

Dado un conjunto C ⊆ kN _{definimos I(C) := {f ∈ k}

N : f (x) = 0 ∀x ∈ C}. Los conjuntos I(C) son

ideales radicales y usando el teorema de los ceros de Hilbert se prueba el resultado que sigue.

Proposici´on B.1.2. Hay una correspondencia biyectiva que invierte el orden entre conjuntos algebraicos en kN _{e ideales radicales de k}

N, dada por V 7→ I(V ) y I 7→ V (I).

Un espacio topológico se dice irreducible si no puede escribirse como unión de dos cerrados propios. En la proposición anterior, la correspondencia entre conjuntos algebraicos e ideales se restringe a una correspondencia entre conjuntos algebraicos irreducibles (resp. puntos) e ideales primos (resp. ideales maximales).

Ejemplo B.1.3. El conjunto algebraico k es irreducible. En efecto, los cerrados propios de k son los ceros de polinomios en una variable, es decir, los conjuntos finitos de puntos. Si k es algebraicamente cerrado, k es infinito y no se escribe como uni´on de cerrados propios.

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