Compatificación Conforme

En la sección pasada observamos que los generadores del grupo conformeƒonf(’n_ν) no estaban definidos en todo’n_ν(ver ecuación2.7), entonces nuestro objetivo es exten- der las inversiones a todo’n

ν. Con este objetivo en mente, primero definimos la proyec-

ción estereográfica sobre una pseudo-esfera haciendo uso de la métrica e introducimos la noción de perspectiva endSn_ν. Ya con estas dos definiciones veremos la relación que guarda una inversión y una perspectiva a través de la proyección estereográfica.

Proyección Estereográfica y Perspectiva en Pseudo-Esferas.

Considérese el encaje

i:’n_ν→’_νn+1:x7→(x,0)

y seaen₊1∈’nν+1. Con este encaje la métrica de’nν+1restringida a’nνes la métrica con

signaturav. En base a la construcción de la sección(2.1)y tomando en consideración la métrica de’n

ν, se presenta laproyección estereográficade’nνadSnνcomo

ηn: (’n_ν\ˆn_v−−1₁)× {0} →dSn_ν:x7→x+hx,xiν−1

hx,xi_ν+1en+1. (2.10)

Observación 2.26. Con esta presentación,ηn es biyectiva entre el conjunto de

puntos de’n

νdondehx−en+1,x−en+1iν,0, y aquellos puntos que no están en la inter-

sección de dicha pseudo-esfera con el hiperplanoxn₊1 =1, que es un cono. Observar

que tanto el conjuntoˆn_v−−1₁ ⊂ ’n_ν como el cono inmerso endSn

ν donde la proyección

estereográfica no está bien definida, son hipersuperficies cuadráticas.ηn así definida,

salvo en los elementos ya mencionados, resulta un difeomorfismo.

Proposición 2.27. La proyección estereográficaηn: (’n

ν\ˆnv−−11)× {0} →dS

n

νes una

2.3. COMPATIFICACIÓN CONFORME

Demostración: Para probar esto sólo reescribimos la proyecciónηncomo: ηn(x) = 2x hx−en₊1,x−en+1iν + (hx,xiν+1−2) hx−en₊1,x−en+1iν en₊1 = 2(x−en+1) hx−en₊1,x−en+1iν + (hx,xiν+1) hx−en₊1,x−en+1iν en₊1 = en+1+ 2 hx−en₊1,x−en+1iν (x−en+1)

que no es otra cosa que una inversión de’n+1

ν , por lo que restringiendo esta inversión a

los espacios en cuestión, y apelando al teorema(2.15)la funciónηnresulta conforme.

Ahora introducimos la noción de perspectiva endSn

ν; estas aplicaciones se corres-

ponden con inversiones en pseudo-esferas en espacios pseudo-Euclidianos al tomar en cuenta la proyección estereográfica, es decir, siϑwes una perspectiva entonces tiene asociada una única inversión en’n_νdada porη−n1◦ϑwηn.

Definición 2.28. Seaw ∈ ’n_v+1\dSn_ν. Observando adSn_ν desdew a cada punto

x∈dSn

νle asignamos el elementoϑ(x) que es el punto donde la recta, que unewcon

x, vuelve a intersecar adSn_ν. Esta relación define una función a la que llamamosuna perspectivadedSn_νdesde el puntow. Una perspectiva está dada por

ϑw:dSn_ν→dSn_ν:x7→ hw,wiv−1

1−2hw,xi_v+hw,wi_vx+

2(1− hw,xiv)

1−2hw,xi_v+hw,wi_vw, (2.11) ywes llamadoel polo de la perspectivaϑw.

Proposición 2.29. Una perspectiva dedSn_νes una función conforme.

Demostración: Una perspectiva dada por la ecuación(2.11)se puede reducir a la siguiente forma ϑw(x) = hw,wiv−1 1−2hw,xi_v+hw,wi_vx+ (1−2hw,xiv− hw,wiv)+(1− hw,wiv) 1−2hw,xi_v+hw,wi_v w = w+ hw,wiv−1 1−2hw,xi_v+hw,wi_vx+ (1− hw,wiv) 1−2hw,xi_v+hw,wi_vw = w+ hw,wiv−1 hx−w,x−wi_v(x−w),

que expresa una inversión en una esfera no singular de’n+1

v , con centro enwy radio

hw,wiv−1. Y se tiene que las perspectivas son también conformes pues en esencia son

reflexiones con respecto al plano generado porw; y así queda justificado el nombre de polo de la perspectivaϑwcon el que denominamos aw.

Proyectivización del Grupo Pseudo-Ortogonal.

Considerando la métrica en“n ⊂’n_v+1como la restricción deh, i_vsobre“n, enton- ces podemos inducir una métrica en’n_{, as풐}n_{tiene asociada una forma cuadrática}

con signaturavy escribimos’n v.

Definición 2.30. SeaŒƒn+1 v+1 ⊂’ n+2 v+1; la proyectivización deŒƒ n+1 v+1 en’ n+1 v+1 es la intersección deŒƒn+1 v+1 con“

n+1_{después de aplicar la relación}

∼dada en la definición

(2.2). A la proyectivización del conoŒƒn_v++₁1se denota porŒƒn_v++₁1_Bπ(Œƒ_vn₊+1₁∩“n+1). Para cualquier isometría linealh∈Ov+1(n+2)⊂I(’n_v++2₁) se satisface, por la propo-

sición (1.29), queŒƒn+1

v+1es invariante, ademáshinduce una isometría en’

n+1

v+1dada

por

eh:’_vn₊+₁1→’n_v+₊₁1: [x]7→[h(x)],

es decireh=π◦h◦π−1, que deja invariante aŒƒn_v++₁1, es más, por la relación∼se tiene

π◦h(x)=eh[x]=eh[−x]=π◦h◦(−Id)(x)

por lo quehyh◦(−Id) definen la misma transformación en el espacio proyectivo que deja invarianteŒƒn_v++1₁.

Definición 2.31. El cocienteOv+1(n+2)/{Id(n+2),−Id(n+2)}es el conjunto de trans-

formaciones rígidas de’n_v++1₁que llamamos elgrupo proyectivo pseudo-ortogonalque denotaremos en adelante porOv₊1(n+2).

Aquí presentamos algunas propiedades importantes paraOv+1(n+2).

Proposición 2.32. Seaχ:Ov+1(n+2)אŒƒn_v+₊₁1 →Œƒn_v++₁1: (h,[x])7→(h[x]) la

acción deOv+1(n+2) sobreŒƒn_v++1₁, entoncesOv+1(n+2) actúa transitivamente en

Œƒn_v++1₁.

Demostración: Invocando el teorema (1.29) se tiene queOv+1(n+2) actúa de for-

ma transitiva sobreŒƒn+1

v+1,y particularmente actúa transitivamente enŒƒ

n+1

v+1∩“

n+1

{“n_ך

2}. Sean [x],[y]∈Œƒn_v++₁1, tomando la preimagen de estas dos clases debemos

considerar dos puntos en{“nך2}y analizar dos casos. El primero quexeyestén

en la misma componente y comoOv+1(n+2) actúa allí transitivamente, es decir, existe

g∈Ov+1(n+2) tal queg(x)=yque reescribimos comog◦Id(x)=y. Sixeyestán en

diferentes componentes, sólo basta tomar−Id(x)=−xy se tiene queyy−xya se en- cuentran en la misma componente, y volviendo a aplicar el argumento previo se sigue queh◦ −Id(x)=ypara algunah∈Ov+1(n+2). Por lo tantoχes una acción transitiva.

Observación 2.33. Por definición, para todag∈Ov+1(n+2) resulta una isometría,

lo que implica queg∈ƒonf(Œƒn_v++1₁).

Proposición 2.34. Ov+1(n+2) es un grupo de Lie y dim(Ov+1(n+2))= 1₂(n+1)(n+

2).

Demostración: En efecto, como ya se sabe,Ov+1(n+2) es un grupo de Lie y

{Id(n+2),−Id(n+2)}es claramente un subgrupo normal y cerrado deOv+1(n+2), enton-

cesOv+1(n+2) =Ov+1(n+2)/{Id(n+2),−Id(n+2)}es un grupo de Lie. Y como extra

dim(Ov+1(n+2)) =dim(Ov+1(n+2)/{Id(n+2),−Id(n+2)})=dim(Ov+1(n+2)) es decir

2.3. COMPATIFICACIÓN CONFORME

Compatificación Conforme de’

n

ν

.

Seaˆ(en+2,en+2)el hiperplano generado por el vector canónicoen+2de’

n+2

v+1 que pasa

por el puntoen₊2; la ecuación a este plano es xn+2 = 1. Observar queˆ(en+2,en+2) ’n_v++1₁. Con esto se tiene queˆ(en+2,en+2)∩Œƒ

n+1

v+1 ˆ

n v.

Observación 2.35. Generalizando el argumento último, para cualquier otrow∈

’n_v++2₁, de carácter causal tipo tiempo o espacio yˆ(w,u)el hiperplano generado porw

que pasa poru,0 (al aplicar una isometría adecuada de’nv++12) se tiene que

ˆ(w,u)∩Œƒnv++11

(

dSn_ν si hw,wiv+1 <0;

ˆn_v si hw,wi_v+1>0,

de manera respectiva, en donde se tienen las aplicaciones conformes entre’n

νydSnν(o ˆn_ν) dados por el difeomorfismo de la ecuación (2.10).

Ahora encajemos’n

vsobreŒƒn+

1

v+1, tomando primero la siguiente proyección este-

reográfica ϕe_n+2:’n_ν\ˆn_v−₋₁1→dS_νn⊂ˆ(en+2,en+2): (0,x,1)7→ hx,xiν−1 hx,xi_ν+1, 2x hx,xi_ν+1,1 ! (2.12)

y después tomando la proyectivización dedSn

ν⊂ˆ(en+2,en+2)enŒƒ n+1 v+1. Proposición 2.36. La función πn₊1◦ϕen+2:’ n ν\ˆnv−−11→Œƒ n+1 v+1,

resulta un encaje conforme.

Proposición 2.37. La funciónπn₊1◦ϕen+2 :’

n

v →Œƒnv++11es densa.

Demostración: Dado que la imagen de’n

νbajoϕn+2 es densa y abierta en

dSn_ν, sólo no está bien definida en el cono dado por la interseccióndSn_ν∩ {xn₊1 =1},

mientrasπn₊1 se comporta localmente como la identidad sobredSnν∩“n+1, y por tan-

toπn+1◦ϕn+2es un encaje conforme de’nνcuya imagen es abierta y densa enŒƒnv++11.

Observación 2.38. Todos los puntos donde no está bien definida ϕn+2 (una

hipersuperficie cuadrática) se ven reflejados en el complemento deπn₊1◦ϕn+2(’nν) en Œƒn_v+₊1₁. Para visualizar con mayor claridad cómo se agrega dicho cono2, tomamos la aplicación ϑ:’n_ν→Œƒn_v+₊₁1:x7→ "₁ 2(hx,xiv+1),x, 1 2(hx,xiv−1) # . La transformaciónϑlleva’n

ν a la intersecciónŒƒnv++11 ∩ {x1−xn+2 = 1}que es una

aplicación con la propiedad de conformalidad para después llevar a Œƒn_v+₊₁1 con la proyección canónicaπ, y así tambiénϑes una inclusión conforme de’n_νcuya imagen

es densa y abierta enŒƒn+1

v+1. Para la funciónϑel complemento de la imagenϑ(’

n

ν) es

el cono ya mencionado y es descrito puntualmente por la proyección de la intersección

Œƒn_v++₁1∩ {x1=xn+2}que es el cono que cumple con la ecuación−x2₂−. . .−x_v2₊₁+. . .+

x2

n+1=0.

También cabe mencionar la compacidad deŒƒn_v++₁1, que es obvia. Así queda bien justificada la siguiente definición:

Definición 2.39. Œƒn_v++1₁es llamadala compactificación conformede’n_ν.

Para finalizar veamos que el grupo de conforme de’n_νes exactamenteOv+1(n+2).

La importancia de esta afirmación es que las transformaciones conformes no están bien definidas en todo’n

ν, así encajamos’nνenŒƒnv++11y allí vemos como actúa una

transformación conforme de manera global.

Definición 2.40. SeaRy,0 una reflexión de’n_v++₁2, dondey< Œƒnv++11.se define una

perspectiva en la compatificación conforme de’n

νcon respecto a la clase [y] como la

aplicación

e

ξ[y] :Œƒnv++11→Œƒ

n+1

v+1 : [x]7→π◦Ry,0◦π−1[x].

Ahora analicemos cómo cada inversión de’n_νse corresponde con una perspectiva de

Œƒn_v++1₁bajo la aplicaciónϑ. Primero recordemos que el grupoOv+1(n+2) es generado

por reflexiones, entoncesOv+1(n+2) estará generado por una transformación del tipo

π◦Ry,0◦π−1, es decir una perspectiva deŒƒn_v++1₁. Así tenemos el siguiente resultado:

Proposición 2.41. Ov+1(n +2) es generado por perspectivas eξ[y] : Œƒn_v+₊1₁ →

Œƒn_v++1₁, dondehy,yiv+1,0.

Teorema 2.42.

ƒonf(’n_ν)Ov+1(n+2).

Demostración: Bajo la inclusiónϑla pseudo-esferadSn_v−1de’n

νes llevada

a la intersección de hiperplanohp,yiv+1 = 0 de’n_v++1₁ donde p es el polo dado por

p=[0,0, . . . ,−1]. ComodSn−1

v es una esfera no singular, la inversión en esta esfera ϕ:’n_ν→’n_ν :x7→ x

hx,xi_v se corresponde con la perspectiva

eξ[p] :Œƒnv++11 →Œƒ n+1 v+1 : [x]7→ " x− 2hp,xiv+1 hp,piv+1 ! p #

de dondeeξ[p]Bϑ◦ϕ◦ϑ−1. Asimismo al componer dicha inversión con una traslación

y homotecia adecuadas afirmamos que la inversión en cualquier pseudo-esfera hx−

a,x−ai_v=kde’n

νse corresponde con la perspectivaeξhha,ai_v−k+1 2 ,a,

ha,ai_v−k−1 2

i. Entonces por

la proposición (2.41),Ov+1(n+2) es generado por perspectivas que se corresponde

con inversiones en pseudo-esferas de’n_ν, las que probamos generaban aƒonf(’n_ν). Por tantoƒonf(’n_ν)Ov+1(n+2), donde el difeomorfismo es

Ξ:ƒonf(’n_ν)→Ov+1(n+2) :σ→(ϑ)◦(σ)◦(ϑ)−1.

Índice alfabético

álgebra de Lie, 2 acción efectiva, 9 izquierda, 9 transitiva, 9 aplicación conforme, 29 aplicación exponencial, 4 compactificación conforme, 40 cono de luz, 2 espacio de de Sitter, 2 de Minkowski, 1 hiperbólico, 2 proyectivo, 26 G-órbita, 10 grupo conforme, 29 de isotropía, 10 de Lie, 2 de Lorentz, 3 de Poincaré, 21 general lineal, 3 proyectivo pseudo-ortogonal, 38 pseudo-especial ortogonal, 22 pseudo-ortogonal, 3 inversión, 30 isometría, 21 matriz de signatura, 3 pseudo-antisimétrica, 5 orientación, 6 perspectiva, 37 proyección estereográfica, 25 proyectivización, 26 pseudo-esfera, 2, 30 reflexión, 33 representación, 12 Teorema de Liouville, 29, 30 variedad pseudo-Riemanniana, 1 vector tipo espacio, 2 tipo luz, 2 tipo tiempo, 2

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