Complejidad de los algoritmos

Analizamos aquí la complejidad de los cuatro algoritmos, haciendo referencia a cada uno de sus pasos.

Algoritmo de Fagiuoli y Zaffalon

Véase páginas 24 a 27, donde se describen los pasos del algoritmo.

Para cada decisión del Diagrama de Influencia: a. Encontrar los padres del nodos de decisión.

Complejidad: O(|A|), donde |A| es el número de aristas del grafo.

b. Para cada padre comprobamos si está d-separado del nodo de utilidad respecto del resto de los padres del nodo de decisión.

Complejidad: O(|P|2|N|), donde |N| es el número de vértices (nodos) del grafo y |P| es el número de padres. Veáse el método “dSeparados(Nodo nx, Nodo ny, ArrayList lz)”, de la clase dInfluencia. Se puede ver que la complejidad de este método es de orden O(2|N|).

c. Eliminamos las aristas que van de ΓDi al nodo Di.

Complejidad: O(|A|), donde |A| es el número de aristas del grafo.

d. Eliminamos los posibles nuevos sumideros.

Complejidad: O(3|A|), donde |A| es el número de aristas del grafo, ya que recorremos todas las aristas del grafo, y vamos marcando como “no sumidero” aquellos nodos que aparezcan como vértice inicial de una arista. Posteriormente, eliminamos el nodo y aquellas aristas que tienen al nodo como final. Después, tenemos que repetir el proceso para comprobar que no se hayan vuelto a generar sumideros.

Como el proceso se repite para cada decisión,

O (|D|[|A|+2|N||P|+|A| +3|A|]) ≈ O (|D|[5|A|+2|N|])

|A| es el número de aristas del grafo

|D| es el número de nodos de decisión del grafo

Sea |G| el tamaño del grafo, podemos decir que en el peor de los casos:

O (|D|[5|A|+2|N||P|]) ≈ O (|G|[5|G|+2|G2|]) ≈ O (5|G|2+2|G|3) ≈O (|G|3)

Algoritmo de Bayes-Ball

Véase página 41, donde se describen los pasos del algoritmo.

Para cada decisión del Diagrama de Influencia:

a. determinar los nodos de valor relevantes para Di.

Esto tiene una complejidad de O (|NV| + |Anv|),

Donde |NV| es el número de nodos de valor

|Anv| es el número de aristas incidentes en los nodos de valor

Podemos estimar, que en los peores casos |NV| + |Anv| sería igual a la mitad del tamaño del grafo.

b. Ejecutar el algoritmo de Bayes-Ball en Vi ∪ Nei+1 \ {Di}∪ I(Di)

Según el teorema de complejidad del Algoritmo de Bayes-Ball, la complejidad sería de O (|N| + |Av|), donde Av es el número de aristas incidentes en los nodos marcados durante el algoritmo. En el peor de los casos el tiempo es lineal en el tamaño del grafo:

O(|G|).

c. Si di no ha quedado marcada como visitada, entonces es irrelevante

Complejidad: O(1)

d. Las observaciones requeridas para la decisión Di, Nei, son los nodos en I(Di) que

hayan quedado marcados como visitados

Complejidad: O(1)

e. Los nodos de probabilidad requeridos empezando el problema en la decisión Di, Npi , son los nodos marcados arriba

Complejidad: O(1)

Una vez estudiado el diagrama para todas las decisiones:

f. Ejecutar el algoritmo Bayes-Ball en Ne1\\ E, ignorando los arcos de información Según el teorema de complejidad del Algoritmo de Bayes-Ball, la complejidad sería de O (|G|), donde |G| es el tamaño del grafo.

g. Las observaciones requeridas ahora, Ne0, son aquéllas en E marcadas como

visitadas

Complejidad: O(1)

h. Los nodos de probabilidad requeridos comenzando ahora, Np0, son todos los

marcados arriba

Complejidad: O(1)

Por tanto, la complejidad del algoritmo de Bayes-Ball para diagramas de influencia sería del orden de O ( (1.5) (|D|+1)|G|), donde:

|G| es el tamaño del diagrama (número de nodos más número de aristas) |D| es el número de nodos de decisión

En el peor de los casos, suponiendo que todos los nodos del diagrama son de decisión (imposible, por definición de Diagrama de Influencia):

O ( (1.5)(|D|+1)|G|) ≈O (|G|2)

Algoritmo de Nielsen y Jensen

Véase página 48, donde se describen los pasos del algoritmo.

1. Buscar un orden legal de eliminación de variables

2. Buscar el pasado requerido para la última decisión D

Tomando como entrada la lista ordenada que se tiene como salida en el paso anterior, la tenemos que recorrer entera para ver qué nodos corresponden al pasado y qué nodos no corresponden al pasado. Por tanto, la complejidad será lineal según el número de nodos del diagrama.

O(|N|)

a. X ∈∈∈∈ pasado(D) es requerida para D si hay un nodo de valor U descendiente de D tal que X no está d-separado de U dado el resto del pasado y D.

En el método de Fagiuoli -Zaffalon, vimos que la complejidad de comprobar si el pasado de un nodo de decisión está separado de un único nodo de valor es del orden O(2|N||P|), donde |N| es el número de vértices (nodos) del grafo y |P| el número de padres de la decisión. Al tener que comprobarlo respecto de varios nodos de utilidad, si |U| es el número de nodos de utilidad, tenemos que la complejidad de este paso es del orden

O(2|N||P||U|) ≈ O(|G|3)

b. No requerido implica irrelevante

Complejidad: O(1)

3. Reemplazar D con una variable de azar, sus padres serán el pasado requerido para D

Complejidad: O(1)

4. Repetir hacia atrás para todas las decisiones siguiendo el orden temporal.

Tenemos que multiplicar por el número de decisiones la complejidad obtenida hasta este momento:

O(|D| [|N|+|G|3] )

Si le sumamos la complejidad del paso inicial (buscar el orden de eliminación) y redondeamos hacia arriba, según el peor caso posible, tenemos que la complejidad es de:

Algoritmo de Vomlelová y Jensen

No se va a estudiar la complejidad de este algoritmo, ya que se trata de un caso distinto al resto pues también realiza la resolución del diagrama. Sin embargo, mencionemos que los autores dicen que “Todas las nuevas operaciones del algoritmo VE mejorado son de orden polinomíal: analizando un potencial sobre n variables se visitan como máximo n2/2 vecinos, en lugar de los 2n del tamaño del potencial. El beneficio del uso del algoritmo VE puede ser grande, o ninguno”.