CON RESPECTO AL PRIMER OBJETIVO:

El proceso de caracterización de una estructura teórico conceptual relativa al concepto de función, inicia con la identificación de las demandas matemáticas que el currículum de carreras de ciencias e ingeniería le plantea a aquellos estudiantes que ingresan a estas carreras; se trata de identificar de qué manera o maneras el saber matemático (conceptos, teoremas, proposiciones y/o problemas) presente en el contexto de los cursos de matemáticas del primer año en carreras de ciencias o ingeniería, exige en su construcción o solución al concepto de función. Este proceso se aborda desde la óptica de la actividad matemática en un contexto curricular, analizando qué elementos o connotaciones del concepto de función ingresan en la construcción de algunos saberes matemáticos. A manera de ejemplo pueden citarse elementos como dominio, rango, maneras de expresión o representación, etc. En cuanto a connotaciones, el concepto de función, para ciertos saberes matemáticos, entra como simple regla de asociación, para otros ingresa como objeto sobre el cual operar. La identificación de estos aspectos es un primer insumo para vislumbrar redes en torno y constitutivas del concepto de función que, se pretende, construya un estudiante.

Para la identificación de las demandas se diseñan programas representativos de los cursos de Cálculo Diferencial y Cálculo integral de los ofrecidos por universidades de la región, luego esos cursos se exploran, desde una perspectiva matemática, a fin de identificar aquellos conocimientos que se construyen en ellos y que requieren el concepto de función como soporte y aquellos problemas que exijan, bien sea, del concepto de función como herramienta de solución o de elementos proporcionados por dicho concepto.

Las demandas identificadas no constituyen el único elemento para la conformación de la ETC; la concepción de formación matemática que, respecto del concepto de función, agencia la línea de investigación y que se consolida en la manera como se integran todos los aspectos considerados en la propuesta en el contexto curricular considerado, es otro factor determinante en la escogencia de los conceptos, teoremas, problemas de base y demás elementos que ingresamos en la ETC. Teniendo en cuenta estos dos aspectos se conforma un listado de conceptos considerados importantes en la conceptualización de función y que le permitan al sujeto construir estrategias y/o procedimientos frente a situaciones de aprendizaje en el contexto de los primeros cursos de matemáticas universitarias (lo que se ha llamado “responder a las demandas matemáticas”).

Sin embargo no basta con seleccionar los elementos; un concepto puede tener diversas definiciones dependiendo del sistema axiomático de que haga parte, un teorema puede enunciarse de varias maneras, incluso algunos conceptos en un sistema ingresan como definiciones mientras en otros ingresan como teoremas. Esta observación toma aun mayor fuerza en contextos curriculares en los cuales inciden no sólo factores de tipo axiomático sino también de tipo didáctico.

Por estas razones es importante disponer de criterios adicionales a las demandas matemáticas y a una concepción de formación matemática, para adoptar una u otra presentación de los conceptos y/o teoremas y establecer unos u otros nexos entre conceptos en el momento de configurar la estructura teórico conceptual de función. Esos criterios se construyen a partir de dos vías: la primera consiste en un estudio histórico crítico del concepto de función, que permita establecer un esquema de su génesis y desarrollo desde la perspectiva de las necesidades sociales y personales que lo promovieron y analizar la manera como unas u otras formulaciones se vieron, o no, favorecidas dependiendo de factores históricos y epistemológicos. La segunda se nutre de investigaciones didácticas relativas al concepto de función y sus conceptos tanto complementarios como constitutivos; a este respecto la bibliografía es demasiado amplia y un estado del arte para cada

elemento se tornaría interminable, pero se seleccionan aquellos elementos que entren en consonancia con la concepción de formación matemática que se consolidará a lo largo de la investigación, respecto del tipo de concepto de función que se propone para que construyan los estudiantes y de la manera que se considera más adecuada para propiciar esa construcción personal.

El proceso de establecer los diferentes nexos requiere de un análisis, desde las matemáticas mismas, de las definiciones, a fin de identificar relaciones jerárquicas entre conceptos, es decir, identificar qué conceptos ofician como soporte de otros y de qué manera ingresan en la definición de los conceptos que se han configurado como centrales en núcleos conceptuales que, debidamente articulados, a través de nexos, ya sean definicionales o proposicionales, finalmente son los que van conformando la estructura conceptual amplia que da forma a la ETC.

Todo lo anterior provee una descripción de carácter matemático de la ETC, pero es importante, con fines de presentación y apoyo en su descripción detallada y de adentrarse con mayor claridad en los análisis del segundo y tercer objetivos, representarla a través de mapas conceptuales matemáticos ajustados. La representación sintética a través de este sistema se constituye en una herramienta que proporciona una visualización clara de la estructuración conceptual del concepto de función, otorgando a su descripción un mayor alcance en la ilustración de los nexos y jerarquías entre los conceptos. Los mapas conceptuales matemáticos ajustados son una adaptación de los trabajos de Novak y Gowin (1986) realizada por el profesor Álvarez (1998), quien conserva las pautas relativas a la jerarquía vertical de los conceptos y a la utilización de óvalos para su representación, pero sustituye las palabras de enlace por dos tipos de nexos de carácter matemático: proposiciones y definiciones, representando las primeras por flechas continuas dirigidas de la hipótesis a la tesis y las segundas, por flechas punteadas dirigidas de los conceptos soporte al concepto definido a partir de ellos.

Introduce además los núcleos conceptuales que facilitan la descripción matemática del concepto central.

Finalmente la ETC se complementa con aquellos problemas que se espera el estudiante esté en capacidad de resolver una vez apropiada la estructura, es decir, con lo que en el marco teórico se ha llamado problemas de base. Estos se proponen y formulan bajo tres criterios: primero, que den articulación y operacionalidad a los elementos constitutivos de la ETC apropiada por el estudiante; segundo, que le otorguen significación a la ETC con respecto al contexto curricular en que se propone y tercero, que pongan en juego los conceptos de la estructura teórico conceptual en situaciones propias de lo que en el marco teórico se define como el marco interpretativo.