Concentración de Esfuerzo: Teoría de Grietas de Griffith

La teoría de la fractura estudia la iniciación de grietas a partir de fallas (grietas microscópicas) y su propagación en el material. De acuerdo al comportamiento en este sentido, la fractura puede ser frágil o dúctil. La fractura frágil se caracteriza por una deformación elástica antes de la ruptura y por una rápida velocidad de propagación de la grieta. La fractura dúctil va acompañada de una gran deformación plástica alrededor de las grietas antes y durante su propagación.

El análisis del comportamiento de materiales durante su ruptura fue iniciado por Griffith [2.1] en 1920. La suposición fundamental fue que el material es un sólido elástico y frágil conteniendo un gran número de grietas microscópicas, que posteriormente tomaron el nombre de fallas de Griffith. Al someter tal material a una tensión, los esfuerzos se concentran en las puntas de las fallas estableciéndose un frente de ruptura por donde se propaga la grieta.

El concepto de concentración del esfuerzo σ, o factor de intensidad del esfuerzo, puede ser ilustrado considerando un sólido plano con un pequeño agujero, bajo un esfuerzo externo de tensión uniforme S en la dirección x, y cero en la dirección y. Sin el agujero, la solución es obvia σx = S , σy = τxy = 0, para todos los valores de x e y. Con un pequeño agujero de radio a (ver Figura 2.12), la solución [2.2] es:

σx(r,θ) = S₂    1+a 2 r2    − S₂_  1+3a 4 r4    cos2θ

la cual da un esfuerzo máximo de 3S en la dirección x para θ = 90° y 270°.

Como una fisura se abrirá bajo tensión, es razonable esperar que el sólido falle por fisuras que comienzan en la parte alta y baja del agujero y que progresan en la dirección

±y. La solución para un pequeño agujero elíptico es más compleja, pero da [2.1] un esfuerzo máximo de:

σmax

S = 1 +

2l

b (2.11)

donde b y l son los radios de la elipse en la dirección x e y respectivamente. Para un agujero elíptico con su eje largo perpendicular a la dirección del esfuerzo, l es mayor que

b y la concentración del esfuerzo puede ser muy alta si l>> b.

Griffith [2.1],[2.3] argumentó que los sólidos reales contienen muchas pequeñas fallas que corresponden al equivalente tridimensional de los agujeros elípticos discutidos anteriormente y que estos puntos de debilidad inician las grietas a niveles de esfuerzo mucho menores que los ideales, ver Figura 2.13. Griffith hizo cuatro suposiciones básicas:

(i) que la concentración de esfuerzos ocurre en la punta de la falla;

(ii) que el sólido es deformado al punto en que los lazos intermoleculares en la punta de la falla son estirados hasta el límite de ruptura;

(iii) que el estado de esfuerzo es reproducido en la punta para una expansión infinitesimal de la falla, y

(iv) que la energía necesaria para expandir la falla, como una grieta que se propaga, está disponible ya que el sólido no puede relajarse inmediatamente del esfuerzo exterior aplicado.

La solución de las ecuaciones de esfuerzo-deformación para una elipse (ver Figura 2.12) da la energía de deformación extra, debido a la presencia de la elipse, como:

w1 = Δz π l 2

σ2⁄Y

Figura 2.12 : Ilustración de la concentración de esfuerzos en un plano debido a un

agujero circular en a) y a un agujero elíptico en b. S es el esfuerzo de tensión exterior aplicado.

donde l es el semieje largo, esto es, la mitad del largo de la grieta, y Δz es su ancho. Entonces, dw1⁄dl = Δz 2π l σ2⁄Y. La energía necesaria para romper los enlaces es

w2 = 4γ l Δz para una grieta de semilado l , tal que dw2⁄dl = 4γΔz. Un cambio rápido e

irreversible de l a l+dl en el momento de la fractura, es semejante a un sólido deformado que rápidamente se expande en dl a una carga constante, de modo que el trabajo realizado es dos veces la energía (reversible) de deformación, dw3⁄dl = 2dw1⁄dl =(2Δz2 π l σ2) ⁄Y.

Usando el principio del trabajo virtual, dw3 = dw1 + dw2 en la iniciación de la grieta el esfuerzo de tensión crítico σc será:

σc_G= √     2γY⁄πl (2.12) donde σc_G es la resistencia a la tensión pronosticada por la teoría de Griffith para una grieta orientada en forma perpendicular a la fuerza aplicada.

Figura 2.13 : Propagación de una grieta en un sólido bidimensional según

Comparando las ecuaciones (2.12) y (2.10) se concluye que, siendo los valores de

a del orden de unos pocos angstroms, una falla con un semilado de unos cientos de

angtroms puede dar reducciones de la resistencia a la tensión de varios órdenes de magnitud comparada a la resistencia ideal. Con el progreso de la grieta después de la iniciación, dw3/dl >(dw1/dl) +(dw2/dl), por lo que existe un energía extra disponible para acelerar el movimiento de la punta de la grieta. El sistema es inestable y la grieta se expande rápidamente, acelerando a altas velocidades. La resistencia es menor que la

ideal porque el esfuerzo global no precisa ser lo suficientemente grande como para romper todos los enlaces de una vez, ya que en un momento dado sólo aquellos enlaces alrededor de la punta de la grieta se están rompiendo. Por otra parte, la ecuación (2.12)

es válida para una sola falla, mientras que la presencia de muchos defectos estrechamente juntos darán una reducción adicional en la resistencia.

Obviamente que un esfuerzo compresivo puro no ocasiona la propagación de una grieta, por lo que se hace necesario la presencia de un esfuerzo de tensión para que se produzca la ruptura frágil. Se podría pensar que no existirían esfuerzos de tensión bajo condiciones de compresión unidimensional simple. Sin embargo, un análisis más detallado, que considere todas las posibles orientaciones de los defectos, muestra que se producen esfuerzos de tensión en la punta de un elipse de orientación adecuada, incluso bajo condiciones de compresión global. El resultado para un sistema plano, con esfuerzos globales normales σ1 y σ2 y fallas de un tamaño tal que den un esfuerzo de tensión To bajo una tensión unidimensional (con el eje de la grieta perpendicular al esfuerzo), se muestra en la Figura 2.14. La resistencia compresiva bajo una compresión unidimensional es 8To, esto es, la resistencia compresiva de materiales frágiles es alrededor de un orden de magnitud mayor que la resistencia a la tensión.

Figura 2.14 : Ilustración del efecto de la combinación de esfuerzos de la teoría de

fallas de Griffith con resistencia a tensión simple To : las ecuaciones son las del