F = {(x, y) ∈ R × R : y = x2}. Es función de R en R. Aquí DOMF = R y RECF = R+∪ {0}. Ejemplo 3.14
Sea A conjunto, entonces la relación IDA definida por
IDA= {(x, y) ∈ A × A : x = y}
es función con dominio y recorrido iguales a A.
Observación
Vemos que de la definición de igualdad de conjuntos de pares ordenados que dos funciones F y G son iguales si y sólo si DOMF = DOMG y ∀x ∈ DOMFF (x) =
G(x).
Muchas veces es necesario aplicar una operación unaria al resultado de otra. Esta necesidad da origen al concepto de composición de funciones, que definimos a conti- nuación.
Definición
Definición 3.8 Composición de funciones
Sean F y G funciones, entonces la función G compuesta con F se define por G ◦ F = {(x, y) ∈ DOMF × RECG : y = G(F (x))}.
Es decir, para x ∈ DOMF con F (x) ∈ DOMG se tiene G ◦ F(x) = G(F(x)).
Vemos entonces que:
Ejemplos
Ejemplo 3.15
Sea
F = {(1, −1), (2, 0), (3, 0)} y G = {(−1, 20), (0, 20)}. Aquí tenemos que:
DOMF = {1, 2, 3}, RECF = {−1, 0}, DOMG = {−1, 0}.
Luego DOM(G ◦ F) = {1, 2, 3} y por tanto:
G ◦ F(1) = G(F(1)) = G(−1) = 20. G ◦ F(2) = G(F(2)) = G(0) = 20. GoF (3) = G(F (3)) = G(0) = 20. De ello se deduce que:
G ◦ F = {(1, 20), (2, 20), (3, 20)}.
Ejemplo 3.16
Sean F y G funciones reales definidas por:
F (x) = x2, G(x) = 1 x. DOM(G ◦ F) = {x ∈ DOM F : F (x) ∈ DOM G} = {x ∈ R : x2 6= 0} = R − {0}. G ◦ F(x) = G(F(x)) = G(x2) = 1 x2.
También podemos calcular F ◦ G(x) :
DOM(F ◦ G) = {x ∈ DOM G : G(x) ∈ DOM F }
= {x ∈ R − {0} : 1x ∈R} = R − {0}.
3.4. Concepto de Función y Propiedades Básicas 89
F ◦ G(x) = F(G(x) = F 1x= 1 x2
En este caso resultó que ambas composiciones dieron la misma función. Esta situación es poco común, en la mayoría de los casos, la composición de funciones no es conmu- tativa.
Ejemplo 3.17
Sean F y G funciones reales definidas por: F (x) = 1
x, G(x) = x + 1.
DOM(G ◦ F) = {x ∈ DOMF : F (x) ∈ DOM G}
= {x ∈ R − {0} : 1x ∈R} = R − {0}.
Además tenemos que:
G ◦ F(x) = G(F(x)) = G 1x= 1 x + 1 =
1 + x x .
Observación
Si F es una función de A en B, entonces para x ∈ A: F ◦ IDA(x) = F IDA(x) = F (x) de donde F ◦ IDA = F y también: IDB ◦ F (x) = IDB F (x)= F (x), o sea IDB ◦ F = F .
Estudiaremos ahora aquellas funciones que determinan una correspondencia uno a uno entre los elementos del dominio y los del recorrido, esto es, no solo cada elemento del dominio tiene una única imagen sino que también cada elemento del recorrido tiene una única preimagen, lo cual inmediatamente sugiere para este tipo de funciones, la posibilidad de definir una función inversa.
Consideremos por ejemplo la función real definida por f (x) = x2. Hay elementos
diferentes del dominio de f , tales como 1 y −1, que tienen la misma imagen, o sea f (1) = f (−1) = 1. En cambio, para la función real definida por g(x) = 2x + 1, tenemos que si a y b son elementos diferentes del dominio de g, entonces g(a) 6= g(b) pues 2a + 1 6= 2b + 1. En este último caso diremos que la función es inyectiva o uno a uno, como veremos en la siguiente definición:
Definición
Definición 3.9 Función Inyectiva
Sea f función. f es inyectiva o uno a uno, si y sólo si
∀x ∈ DOM f ∀y ∈ DOMf (x 6= y → f (x) 6= f (y)).
Vemos que esta definición es equivalente a que f es inyectiva si y sólo si ∀x ∈ DOMf ∀ y ∈ DOMf (f (x) = f (y) → x = y).
Gráficamente, podemos ver que una función es inyectiva, cuando toda recta horizon- tal, intersecta el gráfico en a lo más un punto.
Ejemplo 3.18
Sea f función real definida por f (x) = x + 1
x − 2. Es claro que DOM f = R − {2}. Sean x, y ∈ R − {2} y supongamos que f (x) = f (y), entonces x + 1
x − 2 = y + 1
y − 2, de donde (x + 1)(y − 2) = (y + 1)(x − 2) es decir, xy − 2x + y − 2 = yx − 2y + x − 2, luego, 3y = 3x o sea x = y, y por lo tanto f (x) = x + 1
x − 2 es inyectiva.
Definición
Definición 3.10 Relación Inversa
Sea f función real, la relación inversa f−1 de f se define por:
3.4. Concepto de Función y Propiedades Básicas 91
Notemos que si los elementos del dominio de una función tienen imágenes diferentes entonces cada elemento del recorrido tiene una única preimagen (o imagen por la inversa de la función ) y entonces la inversa es una función. Pasamos a formalizar este resultado:
Teorema
Teorema 3.2 Sea f función. Entonces f es inyectiva si y sólo si f−1 es función.
Demostración
Supongamos que f es inyectiva.
Sea f−1= {(y, x) ∈ RECf × DOMf : f (x) = y}.
Sean (y, x) ∈ f−1∧ (y, x0) ∈ f−1entonces, f (x) = y ∧ f (x0) = y; es decir, f (x) = f (x0) y
como f es inyectiva, x = x0.
Por lo tanto f−1es función.
Supongamos ahora que f−1es función.
Sean x, x0 tales que f (x) = f (x0) = y;
entonces (y, x) ∈ f−1∧ (y, x0) ∈ f−1; y como f−1es función, x = x0. Por lo tanto, f es
inyectiva. Observación Vemos que DOM f−1 = REC f REC f−1 = DOM f y también, si x ∈ DOM f e y ∈ REC f entonces f (x) = y ↔ f−1(y) = x.
Ejemplo 3.19
Sea f función real definida por f (x) = x + 1 x − 2.
Hemos demostrado, en el Ejemplo 3.18, que f es inyectiva, además DOM f = R − {2} y
REC f = R − {1}. Entonces para y ∈ R − {2}, f−1(y) = x ↔ f (x) = y ↔ x − 2x + 1 = y ↔ x + 1 = y(x − 2) ↔ x(1 − y) = −1 − 2y ↔ x = 2y + 1y − 1 ;
luego, f−1 es la función real con dominio R − {1}, recorrido R − {2} y definida por
f−1(y) = 2y + 1
y − 1.
Cuando el recorrido de una función de A en B es B decimos que la función es sobre B. Si agregamos este concepto al anterior obtenemos el de biyección:
Definición
Definición 3.11 Biyección de A sobre B
Sean A y B conjuntos. f es biyección de A sobre B si y sólo si f es función inyectiva de A en B y REC f = B.
Ejemplos
Ejemplo 3.20
3.4. Concepto de Función y Propiedades Básicas 93
a) f es uno a uno:
Sea f (x) = f (y), entonces 2x = 2y y por lo tanto x = y. b) f es sobre R:
Sea y ∈ R, entonces x = y2 ∈R y f (x ) = 2y2
= y, de donde y ∈ REC f .
De a) y b) se obtiene que f es biyección de R sobre R.
Ejemplo 3.21
Sea f : N → N definida por: f (x) = 3x. a) f es uno a uno:
Sea f (x) = f (y). Entonces 3x = 3y y por lo tanto x = y. b) f no es sobre N:
2 6∈ REC f pues si 2 = f (x) para algún x ∈ N, entonces 2 = 3x de donde x = 2
3 6∈N. De a) y b) se concluye que f no es biyección de N sobre N.
Teorema
Teorema 3.3 Si f es función inyectiva, entonces f−1 también es función inyec-
tiva.
Demostración
Si f es inyectiva, entonces sabemos por Teorema 3.2 que f−1 es función. Veamos
que también es inyectiva:
f−1(x) = f−1(y) ⇐⇒ f (f−1(x)) = f (f−1(y)) ⇐⇒ x = y.
Teorema
Teorema 3.4 Si f es biyección de A sobre B entonces f−1 es biyección de B
Demostración
Supongamos que f es biyección de A sobre B. Entonces por Teorema 3.3 sabemos que f−1 es función inyectiva. También sabemos que DOM(f−1) = REC(f ) = B. Veamos enton-
ces que f−1 es sobre A. Sea y ∈ A =⇒ ∃x ∈ B(f (x) = y) por que f es sobre B. Luego
∃x ∈ B(x = f−1(y)) lo que nos dice que REC(f−1) = A. Esto demuestra el teorema.
También se puede demostrar que la composición de biyecciones es biyección:
Teorema
Teorema 3.5 Si f es biyección de A sobre B y g es biyección de B sobre C,
entonces gof es biyección de A sobre C.
Demostración
DOM(gof ) = {x ∈ DOM f : f (x) ∈ DOM g}
= {x ∈ A : f (x) ∈ B} = A.
Además si z ∈ C, como g es sobre, existe y ∈ B tal que z = g(y); como f también es sobre, existe x ∈ A tal que y = f (x), de donde z = g ◦ f (x); es decir, z ∈ REC(g ◦ f ).
Tenemos entonces que REC(g ◦ f ) = C. Para ver que g ◦ f es uno a uno, supongamos
que para x y x0 se tiene:
g ◦ f (x) = g ◦ f (x0);
entonces
g(f (x)) = g(f (x0))
y como g es uno a uno, resulta f (x) = f (x0) y como f también es uno a uno, se concluye
3.4. Concepto de Función y Propiedades Básicas 95
Problema 3.1
Dadas las funciones reales f y g definidas por:
f (x) = x2− 1 si x > 0 2x − 1 si x ≤ 0 g(x) = x2− 1 si x > −1 2x − 1 si x ≤ −1.
Demostrar que f es biyección sobre R, pero g no lo es y determinar g ◦ f−1.
Solución
Veamos primero que f es biyección sobre R.
Para demostrar que f es inyectiva, dado que está definida por tramos debemos considerar varios casos:
i) Sean x, y ∈ R, x 6= y ∧ x > 0 ∧ y > 0, entonces x26= y2y por lo tanto f (x) = x2− 1 6= y2− 1 = f (y).
ii) Sean x, y ∈ R, x 6= y ∧ x ≤ 0 ∧ y ≤ 0, entonces 2x 6= 2y y por lo tanto f (x) = 2x − 1 6= 2y − 1 = f (y). iii) Sean x, y ∈ R, x ≤ 0 ∧ y > 0, entonces
f (x) = 2x − 1 ≤ −1 f (y) = y2− 1 > −1,
luego también en este caso se tiene que f (x) 6= f (y). Por lo tanto de (i), (ii) y (iii) concluimos que f es inyectiva. Además f es sobre R, pues si y ∈ R, entonces
y ≤ −1 ∨ y > −1. Buscamos x ∈ R tal que f (x) = y.
a) Si y ≤ −1, sea x = y + 12 . Tenemos que x ≤ 0 y por lo tanto f (x) = fy + 1 2 = 2y + 1 2 − 1 = y.
b) Si y > −1, sea x =py + 1. Tenemos que x > 0 y por lo tanto f (x) = f (py + 1) = (py + 1)2− 1 = y.
La función g no es una biyección pues no es inyectiva, dado que por ejemplo si tomamos x1 = −12 y x2= 12 entonces
g(x1) =
−122− 1 = 14 −1 = −34 =122− 1 = g(x2)
. La función g tampoco es sobre R (no es difícil ver que si por ejemplo y = −2 entonces ¬ ∃x ∈ R (g(x) = −2).)
Dado que f es biyección sobre R, sabemos que existe f−1: R → R.
Para determinar la función inversa de f , como sabemos que y = f (x) ↔ f−1(y) = x, aprovecharemos el trabajo realizado al demostrar que f es función
sobre R y obtenemos que:
f−1(y) = y + 1 2 si y ≤ −1 p y + 1 si y > −1. Luego, solo nos resta calcular g ◦ f−1;
gof−1(x) = g(f−1(x)) = (f−1(x))2− 1 si f−1(x) > −1 2(f−1(x)) − 1 si f−1(x) ≤ −1.
Dado que el valor de f−1(x) depende de si x ≤ −1 o x > −1, analizaremos
ambos casos por separado:
• Si x > −1 entonces f−1(x) =√x + 1 > 0 y por lo tanto f−1(x) > −1, luego
gof−1(x) = (√x + 1)2− 1 = x. • Si x ≤ −1 entonces f−1(x) = x + 1 2 >−1 ↔ x + 1 2 >−1 ↔ x > −3. Luego gof−1(x) = 2x + 1 2 − 1 si x ≤ −3 x + 1 2 2 − 1 si x > −3. Tenemos finalmente,
3.5. Gráficos de las Funciones Reales 97