Por último, introduciremos el concepto de función, como un tipo muy importante de relación y
de la más amplia utilización en ciencias.
Definición: Sean A y B conjuntos no vacíos y f una relación de A en B. Entonces "f" recibe el nombre de función, si y sólo si, el alcance coincide con el dominio de la relación y además, dados dos pares ordenados cualesquiera de f con sus primeras componentes iguales, resultan iguales sus segundas componentes.
En símbolos, f ⊆ AxB es una función sii:
a) ∀a∈A: ∃b∈B/ (a,b)∈f (o (f) = A ∧ (f) = A)
b) ∀(a∈A), (b,c∈B): ((a,b)∈f ∧ (a,c)∈f) → b=c
La primera condición establece que todo elemento del conjunto de partida, es una primer
componente de algún par ordenado de la relación; la segunda, indica que para cada elemento del conjunto de partida, existe un sólo elemento en el conjunto de llegada.
Gráficamente, en un sistema de coordenadas cartesianos, la segunda condición estable-ce que una recta vertical (perpendicular al eje de abscisas), tendrá a lo sumo un punto en común con la gráfica de la función. En un digrafo, de todo nodo deberá partir uno y sólo un arco (condición (a)) y sólo podrá llegar al mismo un arco (condición (b)).
Utilizaremos normalmente letras minúsculas f, g, h, etc., para denotar aquellas relaciones que sean funciones.
Se estila además, denotar que f es una función de A en B de la siguiente forma: f: A → B
y si (a,b)∈f, se representa al elemento b∈B como f(a): b=f(a)
El elemento a recibe también, el nombre de argumento de la función, el b el de imagen de a
bajo f o el de valor de f en a, y la función misma es a veces nombrada como aplicación (f aplica
A en B)13, o como transformación de A en B, haciendo referencia a las propiedades gráficas
involucradas.
En general, si una función se establece mediante fórmula, como en y=f(x), x recibe el nombre de
variable independiente y en un gráfico cartesiano se anotan sus valores sobre el eje de abscisas;
por otro lado, y recibe el nombre de variable dependiente y sus valores se ubican sobre el eje de ordenadas. La gráfica de la función queda así formada por los puntos (x,f(x)) del plano cartesiano.
De igual forma que las relaciones, el concepto de función puede ser extendido a más de dos
conjuntos, obteniendo así funciones de varias variables.
Ejemplo: Sean A={1,2,3,4} y B={a,b,c} el alcance y rango de la relación:
f = {(1,a), (2,b), (3,a), (4,a)}
Entonces f es función, ya que cada elemento de A tiene una única imagen en B: f(1) = a f(2) = b f(3) = a f(4) = a
resultando, el alcance de f igual al dominio de f y la imagen de A a través de f igual a {a,b} ⊂B.♦
Si en el ejemplo anterior, quitamos de la relación cualquiera de los pares ordenados que la componen, la misma deja de ser función ya que el alcance no sería igual al dominio; por otro lado, si agregamos cualquier otro par ordenado distinto de los enlistados, con su primer componente perteneciente al conjunto A, también dejaría de ser función, ya que algún elemento de A tendría por f más de una imagen.
Todos los conceptos que estudiamos (relación inversa, composición de relaciones,
clasificaciones de las relaciones, etc.) son también aplicables a funciones ya que las mismas son
en primera instancia, relaciones. En particular, interesan en muchas aplica-ciones prácticas, dos propiedades que una función puede cumplir, a saber:
Definición: Sea f:A→B una función de A en B. Entonces "f" recibe el nombre de inyectiva si y sólo si, a elementos distintos del dominio corresponden elementos distintos de la imagen.
En símbolos, f:A→B es inyectiva sii:
∀a,b∈A: a ≠ b → f(a) ≠ f(b)
También se dice que f es una función uno a uno de A en B. En el ejemplo de función citado
precedentemente, claramente f resulta ser no inyectiva, ya que f(1)=a y f(3)=a.
Por otro lado:
Definición: Sea f:A→B una función de A en B. Entonces "f" recibe el nombre de
suprayectiva si y sólo si, todo elemento de B es imagen de algún elemento de A.
En símbolos, f:A→B es suprayectiva sii:
∀b∈B: ∃a∈A/ b=f(a)
También se dice que f es sobreyectiva o suryectiva si cumple la propiedad enunciada en la anterior definición, la que suele escribirse f(A)=B, abusando de la notación establecida (pero intuitivamente clara).
La definición de suryectividad establece en pocas palabras, que el rango de la relación debe coincidir con la imagen de la misma.
Ejemplo: Sean como antes A={1,2,3,4} y B={a,b,c}, el alcance y rango de la rela-ción:
f = {(1,a), (2,b), (3,a), (4,a)}
la misma no es suprayectiva, ya que existe un elemento c∈B que no es imagen por f de
ningún elemento del dominio. Sin embargo, si cambiamos el tercer par orde-nado, como en: g = {(1,a), (2,b), (3,c), (4,a)}
resulta ahora g, ser una función suprayectiva.
Además, puede verse que por el primer y último par, g no es inyectiva ya que aplica el elemento 1∈A y el 4∈A en la misma imagen a∈B.♦
Si se recuerda el razonamiento seguido para demostrar que el conjunto {a, b}* es contable (sección 4.3.6, página 26), se reconocerá a la aplicación concebida en aquella oportunidad, como una función f:N→{a, b}* inyectiva y suprayectiva, al mismo tiempo.
De hecho, esta es la forma de enunciar correctamente la numerabilidad de un conjunto.
Definición: Sea f:A→B una función de A en B. Entonces "f" recibe el nombre de biyectiva
(y se dice que es una biyección), si y sólo si, es a la vez inyectiva y suprayectiva.
En símbolos, f:A→B es biyectiva sii:
El tema de funciones es extremadamente extenso y sus aplicaciones muy variadas, pero una discusión detallada de las propiedades de las funciones y sus consecuencias matemáticas, exceden el ámbito de este texto, correspondiendo su estudio formal al Análisis Matemático y al Álgebra. Por esto, finalizaremos aquí nuestro estudio de funciones, figurando algunas otras pro-piedades de las mismas, en la ejercitación que sigue.
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EJERCICIOS 4.4
4.4.1. Dada la siguiente relación sobre el conjunto de los números enteros Z:
R = {(-2,-8), (-1,1), (0,0), (1,1), (2,8), (3,27)} indique:
a) ¿Cuál es el alcance de la relación? b) ¿Cuál es el rango de la relación? c) ¿Cuál es el dominio de la relación? d) ¿Cuál es el codominio de la relación?
e) Represente la relación por fórmula, tabla y matriz.
f) Grafique la relación en un diagrama de ejes coordenados y muestre su digrafo.
g) Clasifique la relación según su reflexividad, su simetría y su transitividad. h) Establezca si R es una función. En caso afirmativo, analice si la misma es una
biyección.
4.4.2. Sea R la relación que se establece entre un país de América del Sur integrante del Mercosur