La reconstrucción de imagen es un campo de amplia actividad dentro de la técnica PET debido a su enorme influencia en los resultados finales de la imagen. Existen dos tipos de algoritmos para la reconstrucción PET: analíticos e iterativos. En los métodos analíticos se asume que los datos adquiridos representan fielmente las proyecciones de la distribución del trazador. Si se contara con todas las proyecciones angulares del objeto, las fórmulas utilizadas proporcionarían un valor exacto de dicha distribución. Sin embargo, en la práctica se dispone de un número finito de proyecciones, con lo que la aplicación de dichas fórmulas proporciona una solución
15 aproximada. Este tipo de métodos ofrece un mejor control de la resolución espacial, por lo que se les considera más adecuados para comparar imágenes entre diferentes escáneres o prototipos. Por otra parte, los métodos basados en algoritmos iterativos consideran la reconstrucción de la imagen como un problema estadístico estándar de estimación con datos incompletos. Aunque se conoce el par de detectores donde el evento es registrado, no se conoce el origen del evento de aniquilación dentro de la línea de respuesta. Los algoritmos iterativos de reconstrucción estadística tienen dos componentes esenciales: un modelo estadístico del sistema y un algoritmo de iteración que recalcula el objeto más probable que daría lugar al conjunto de proyecciones realmente observado. Los algoritmos iterativos pueden proporcionar resultados mejores en la imagen, con mejor contraste y SNR. Sin embargo, muestran un deterioro de la imagen tras cierto número de interacciones, así como un coste computacional alto y una convergencia lenta.
2.3.1. Sistema de coordenadas y formación de la imagen PET
El sistema de coordenadas utilizado para la formación y representación de imágenes PET viene definido por el plano longitudinal, definido por los ejes Y-Z, en donde el ángulo polar (θ) mide el ángulo entre los diferentes anillos, mientras que en el plano transaxial, el ángulo azimutal (Φ) determina la posición en el plano X-Y (Fig. 1).
Fig. 1. Sistema de coordenadas utilizado para un escáner PET completo (izquierda), en donde el ángulo azimutal (ϕ) determina la posición en el plano transaxial mientras que el ángulo polar (θ) mide el ángulo entre los diferentes anillos, en el plano longitudinal. En el centro de la figura se observa la representación de la proyección de las LoRs en coordenadas polares (s,ϕ). A la derecha, se observa la formación del sinograma a partir de todas las LoRs P(s,ϕ) que se toman como válidas dentro del FoV del escáner.
Aunque todos los escáneres actuales utilizan datos en 3D para aumentar la sensibilidad de los mismos, se puede realizar una reconstrucción de la imagen PET únicamente con datos en 2D, es decir, con coincidencias que se producen en un plano Z
16
sistema determinará qué detectores enfrentados van a aceptar coincidencias válidas y qué región quedará fuera del FoV. Una vez corregidos los efectos no lineales, tales como la atenuación o la dispersión, el número de eventos en coincidencia detectados por estos detectores en un determinado intervalo temporal, es proporcional a la integral de línea de la concentración del trazador a lo largo de la línea de respuesta donde se produjeron los eventos. Considerando únicamente una sección transversal 2D del escáner y transformando las coordenadas de detección de los detectores en coordenadas polares (s, ϕ) según la Fig. 1, las integrales de línea de la distribución del trazador a lo largo de la LoR quedan definidas según la Ec. 5.
𝑃(𝑠, 𝜙, 𝑧0) = ∫ 𝑑𝑡 ∙ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧0)
∞
−∞ 5
x = s ∙ cos ϕ − t ∙ sin ϕ 6
𝑦 = 𝑠 ∙ 𝑠𝑖𝑛 𝜙 + 𝑡 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝜙 7
La reconstrucción de la imagen pasa por determinar la función de concentración del trazador f (x,y) a partir del valor de las integrales de línea 𝑃(𝑠, 𝜙, 𝑧0) (Fig. 1). El conjunto de todas las integrales de línea paralelas, que tienen un mismo ángulo ϕ se denomina proyección paralela 1D de la función f. Gracias al teorema de cortes de Fourier se establece una relación entre esta transformada unidimensional de Fourier de una proyección y la transformada bidimensional del objeto. Es decir, con todas las proyecciones de una imagen es posible reconstruir la imagen deseada calculando la transformada bidimensional inversa de Fourier, para todas las proyecciones entre [0,π]. Sin embargo, en un escáner real, únicamente tenemos proyecciones para un número finito de ángulos. Por ello, es necesaria la interpolación de las proyecciones para poder realizar la transformación inversa, lo que produce distorsión en la imagen para altas frecuencias [22].
2.3.2. Organización de los datos
Una forma de organizar los datos adquiridos por un escáner PET es mediante una matriz denominada sinograma. Los sinogramas son los histogramas que agrupan el conjunto de coincidencias detectadas en un espacio discreto de proyección. Los sinogramas contienen únicamente información geométrica, no aportan información temporal ni energética del evento registrado. Una ventaja de los bloques monolíticos es que el tamaño de segmentación para la formación de sinogramas se puede escoger
17 virtualmente, no viene restringido por el detector. Un tamaño muy reducido de segmento virtual implica un menor error de discretizado, pero el almacenamiento de una matriz de mayor tamaño, aumentando su coste computacional.
Otra de las posibilidades de almacenamiento de datos es el formato modo lista, en donde la información de los eventos detectados en coincidencia se almacenan independientemente, según la secuencia temporal en la que han sido registrados por el equipo. Este paquete de datos contiene información básica como las coordenadas de los fotones incidentes o la pareja de detectores en donde se ha producido la coincidencia. A parte de esta información, se puede añadir cualquier parámetro medible que pueda ser útil para la reconstrucción: la estimación de la energía de los fotones, la información temporal, la profundidad de interacción, la diferencia de tiempo de vuelo entre ambos fotones, o información acerca de la posición o movimientos del paciente. Este tipo de almacenamiento de datos no organiza los eventos en un sistema prefijado discreto, conservando así la precisión en el muestreo de los datos. Por otra parte, en este formato está contenida la información de un sinograma, por lo que se puede deducir fácilmente un sinograma a partir de un archivo modo lista.
2.3.3. Métodos analíticos
Los métodos analíticos de reconstrucción ofrecen diversas aproximaciones para obtener la transformación inversa. En general, estos métodos analíticos se basan en el conocido algoritmo de retroproyección filtrada (FilteredBack-Projection, FBP). Actualmente todos los escáneres PET incluyen líneas oblicuas a lo largo del eje longitudinal, proporcionando datos en 3D. En este caso hay dos aproximaciones posibles para realizar reconstrucción analítica: utilizar directamente métodos de reconstrucción en 3D simulando proyecciones no disponibles [23] o bien utilizar métodos de reformateo o rebinning, que agrupan los datos 3D en planos bidimensionales para posteriormente aplicar reconstrucción 2D, plano a plano. Esta estimación de sinogramas ordinarios a partir de sinogramas oblicuos se puede hacer de diferentes maneras, la más sencilla y conocida es mediante el método de reordenamiento de cortes simples (Single Slice Rebinning, SSRB), el cual introduce cierto emborronamiento y distorsión en la imagen, especialmente en los puntos alejados del eje axial, pero es una solución rápida y sencilla. Por otra parte está el método de rescalado de Fourier (Fourier Rebinning, FORE), que tiene mejores resultados que el
18
anterior, pero mayor complejidad [1]. Una vez que los datos se han convertido en datos 2D bidimensionales, el método analítico estándar en tomografía es la retroproyección filtrada. En este caso, la imagen f(x,y) que contiene la distribución de la actividad se obtiene a partir de la siguiente expresión:
𝑓(𝑥, 𝑦) = (𝑋∗𝑃𝐹)(𝑥, 𝑦) = ∫ 𝑑𝜙𝜋
0
∙ 𝑃𝐹(𝑠 = 𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝜙 + 𝑦 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝜙, 𝜙)
8
donde 𝑃𝐹(𝑠, 𝜙) es el sinograma filtrado mediante un filtro rampa h(s) (Ec.9) y el
operador 𝑋∗ hace referencia a la retroproyección, es decir, a la suma de los datos
filtrados 𝑃𝐹 para todas las líneas que contienen el punto (x, y) (Ec.10).
ℎ(𝑠) = ∫ 𝑑𝜔|𝜔|𝑒∞ 2𝜋𝑖𝑠𝜔
−∞ 9
𝑃𝐹(𝑠, 𝜙) = ∫𝑅𝐹𝑂𝑉𝑑𝑠′ ∙ 𝑃(𝑠′, 𝜙) ∙ ℎ(𝑠 − 𝑠′)
−𝑅𝐹𝑂𝑉 10
Como las proyecciones son siempre finitas, este tipo de reconstrucción presenta importantes errores con datos insuficientes. Para reconstruir adecuadamente por FBP es importante que el número de muestras por proyección cumpla el criterio de Nyquist, es decir, hay que limitar en banda las proyecciones a una frecuencia de corte ωc que sea la mitad de la frecuencia de Nyquist 12∆𝑠, siendo Δs la distancia de muestreo radial en el sinograma.
2.3.4. Métodos iterativos
En PET la emisión γ de los fotones responde a un fenómeno aleatorio de Poisson en donde existe una incertidumbre estadística debido al reducido número de cuentas que se obtienen, en comparación con otros tipos de imagen médica como pueden ser la radiología con rayos X. Un método iterativo de reconstrucción PET consta de un modelo estadístico en donde se incluye la geometría del sistema, la sensibilidad de los detectores y el ancho de cada línea de respuesta, así como un algoritmo que converge hacia una función objetivo.
Los métodos más utilizados son los basados en estimación de máxima verosimilitud (Maximum-Likehood Expectation Maximization, MLEM) [24] y su versión acelerada que es el método de maximización de la esperanza de conjuntos
19 ordenados (Ordered subset EM, OSEM) [25], ya que la convergencia del método MLEM es lenta. La modificación que introduce OSEM consiste en dividir las proyecciones de las LoRs en conjuntos discontinuos, de forma que en cada iteración se utilicen solamente ciertas proyecciones, por ejemplo las correspondientes a un determinado ángulo, o intervalo de ángulos, en cada conjunto. El resultado de un conjunto de proyecciones se toma como punto de partida para la siguiente iteración. Un valor de subdivisión de 16, se traduciría en una aceleración del proceso con un factor de 16 con respecto a un método MLEM. En general, cuanto mayor es el nivel de división de los datos proyectados, mayor es la aceleración del proceso, aunque a partir de un número de divisiones los resultados comienzan a empeorar.
Los algoritmos mencionados leen los datos en forma de histograma, a partir de los sinogramas. Sin embargo, existen también algoritmos que leen directamente la información en modo lista, evitando precalcular un discretizado del detector en un sistema de matrices [26] [27]. Aunque en este trabajo no se utilizan este tipo de reconstrucciones, éstas pueden ser ventajosas para bloques monolíticos [27] [28] con coordenadas continuas. Estos algoritmos, basados en el algoritmo MLEM, se denominan de modo lista (List ModeExpectation Maximization, LM-EM) y realizan el cálculo de probabilidades ad-hoc, es decir, a medida que se introduce un evento en el algoritmo se obtiene con qué probabilidad ha ocurrido la aniquilación en los vóxeles del FoV. Esta variante de los algoritmos MLEM permite realizar reconstrucciones on-line, aunque el tiempo realizado para llevar a cabo la misma sea dependiente del número de eventos. Aunque estos algoritmos LM-EM no tienen que almacenar la matriz de sinogramas, computacionalmente requieren de cálculos masivos en paralelo, por lo que es deseable su implementación en unidades de procesamiento de gráficos (Graphic
Processor Unit, GPU).