Conceptos básicos de la vibración

Cualquier movimiento que se repite después de un intervalo de tiempo se llama vibración u oscilación. El vaivén de un péndulo y el movimiento de una cuerda pulsada son ejemplos comunes de vibración. La teoría de la vibración tiene que ver con el estudio de los movimientos oscilatorios de los cuerpos y las fuerzas asociadas con ellos.

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2.5.2.2.Partes elementales de los sistemas vibratorios

En general, son tres los elementos que forman un sistema vibratorio: elementos de inercia, elementos de rigidez y elementos de disipación (los mismos se muestran en la Figura 2-29). Se deben considerar, además de estos elementos, las fuerzas y momentos aplicados externamente y las alteraciones externas provenientes de desplazamientos iniciales prescritos, velocidades iniciales, o ambos.

El elemento de inercia almacena y libera energía cinética (masa o inercia del sistema), el elemento de rigidez almacena y libera energía potencial (resorte o elasticidad), y el elemento de disipación o de amortiguamiento se utiliza para expresar la pérdida de energía en un sistema (amortiguador).

Figura 2-29 Partes elementales de un sistema vibratorio

2.5.2.3.Grados de libertad

La cantidad de grados de libertad de un sistema vibratorio es el mínimo de coordenadas independientes que se requieren para determinar por completo todas las partes de un sistema en cualquier instante de tiempo. En la Figura 2-30 se pueden observar sistemas de uno y de dos grados de libertad.

54 Figura 2-30 Sistemas de uno y dos grados de libertad. Balachandran y Magrab (2004). Vibraciones. [Ilustración].

2.5.2.4.Clasificación de las vibraciones

Vibración libre: Si se deja que un sistema vibre por sí mismo después de una perturbación inicial, la vibración resultante se conoce como vibración libre. Ninguna fuerza externa actúa sobre el sistema. La oscilación de un péndulo simple es un ejemplo de vibración libre.

Vibración forzada: Si un sistema se somete a una fuerza externa (a menudo, una fuerza repetitiva), la vibración resultante se conoce como vibración forzada. La oscilación que aparece en máquinas como motores diésel es un ejemplo de vibración forzada.

Si la frecuencia de la fuerza externa coincide con una de las frecuencias naturales del sistema, ocurre una condición que se conoce como resonancia, y el sistema sufre oscilaciones peligrosamente grandes. Las fallas de estructuras como edificios, puentes, turbinas y alas de avión se han asociado a la ocurrencia de resonancia.

Vibración no amortiguada: Si no se pierde o disipa energía por fricción u otra resistencia durante la oscilación, la vibración se conoce como vibración no amortiguada.

Vibración amortiguada: Si se pierde o disipa energía se llama vibración amortiguada. En muchos sistemas físicos, la cantidad de amortiguamiento es tan pequeña que puede ser ignorada en la mayoría de las aplicaciones de ingeniería. Sin embargo, la consideración del amortiguamiento se vuelve extremadamente importante al analizar sistemas vibratorios próximos a la resonancia.

Vibración lineal: Si todos los componentes básicos de un sistema vibratorio, el resorte, la masa y el amortiguador, se comportan linealmente, la vibración resultante se conoce como

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vibración lineal. En este tipo de vibración el principio de superposición es válido y las técnicas matemáticas de análisis están bien desarrolladas.

Vibración no lineal: Si cualquiera de los componentes básicos, resorte, masa y amortiguador, se comporta de manera no lineal, la vibración se conoce como vibración no lineal. Para este tipo de vibración el principio de superposición no es válido y las técnicas de análisis son menos conocidas.

Vibración determinística: Si el valor o magnitud de la excitación (fuerza o movimiento) que actúa en un sistema vibratorio se conoce en cualquier tiempo dado, la excitación se llama determinística. La vibración resultante se conoce como vibración determinística.

Vibración aleatoria: En algunos casos la excitación es no determinística o aleatoria; el valor de la excitación en un momento dado no se puede pronosticar. En estos casos, una recopilación de registros de la excitación puede presentar cierta regularidad estadística. Es posible estimar promedios como los valores medios o medios al cuadrado de la excitación. Ejemplos de excitaciones aleatorias son la velocidad del viento, la aspereza del camino y el movimiento de tierra durante sismos. Si la excitación es aleatoria, la vibración resultante se llama vibración aleatoria.

2.5.2.5.Frecuencia natural y factor de amortiguamiento

La frecuencia natural y el factor de amortiguamiento de un sistema vibratorio dependen de los parámetros de inercia, rigidez y amortiguamiento, resultando independientes de la fuerza externa impuesta sobre el sistema.

Frecuencia natural

Si se deja que un sistema vibre por sí mismo después de una perturbación inicial, la frecuencia con la cual oscila sin la acción de fuerzas externas se conoce como frecuencia natural. Por lo común, un sistema vibratorio que posee n grados de libertad, tendrá n frecuencias naturales de vibración distintas.

56 La frecuencia natural 𝜔_𝑛 y el período natural 𝑇_𝑛 de un sistema de un grado de libertad para oscilaciones de traslación se definen como:

𝜔_𝑛 = √𝑘 𝑚 [ 𝑟𝑎𝑑 𝑠𝑒𝑔] ; 𝑓𝑛 = 𝜔𝑛 2𝜋 [𝐻𝑧] ; 𝑇𝑛 = 1 𝑓𝑛 = 2𝜋 𝜔𝑛 [𝑠𝑒𝑔] (1)

Donde k es la rigidez del sistema y m es la masa del mismo. La cantidad 𝑓_𝑛 también se denomina frecuencia natural. El conocimiento de la frecuencia natural del sistema nos permite conocer rápidamente cuál es la condición de resonancia del mismo.

Factor de amortiguamiento

El factor de amortiguamiento o relación de amortiguamiento para sistemas traslacionales de un solo grado de libertad es una cantidad adimensional que se define como:

𝜁 = 𝑐

2√𝑘𝑚= 𝑐

2𝑚𝜔𝑛 (2)

Donde c es el coeficiente de amortiguamiento del sistema con unidades Ns/m, k es la rigidez del sistema y m la masa del sistema.

La definición del amortiguamiento crítico como 𝑐_𝑐 = 2𝑚𝜔_𝑛 permite expresar la relación de amortiguamiento de la siguiente forma:

𝜁 = 𝑐

𝑐𝑐 (3)

Esta cantidad es muy importante ya que la “forma” de la respuesta de un sistema “sólo” depende del factor de amortiguamiento del sistema. Dependiendo del valor que tome el factor de amortiguamiento se caracterizan los siguientes sistemas:

0 < 𝜁 < 1 Sistema subamortiguado

𝜁 = 1 Sistema amortiguado críticamente

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2.5.2.6.Ecuación rectora para sistemas de un solo grado de libertad

Existen varios métodos utilizados para deducir la ecuación general que gobierna el movimiento o ecuación rectora para un sistema de un solo grado de libertad, sin embargo todos ellos conducen a la misma expresión. Dentro de los más utilizados, los principios de la cantidad de movimiento constituyen las bases de uno de ellos, que comprende los métodos de equilibrio de fuerzas y balance de momentos. Otro de los métodos se basa en las ecuaciones de Lagrange.

La ecuación rectora de movimiento a la que se llega para sistemas de un solo grado de libertad es la siguiente:

𝑚𝜕2𝑥

𝜕𝑡2 + 𝑐

𝜕𝑥

𝜕𝑡+ 𝑘𝑥 = 𝑓(𝑡) (4)

Expresando la misma en función de la frecuencia natural y el factor de amortiguamiento se obtiene: 𝜕2_𝑥 𝜕𝑡2+ 2𝜁𝜔𝑛 𝜕𝑥 𝜕𝑡+ 𝜔𝑛 2_{𝑥 =}𝑓(𝑡) 𝑚 (5)