Condiciones de Contorno en la Heterounión

Con respecto a la resolución de la ecuación de Poisson, la novedad que introducen las heterouniones está asociada a la presencia de materiales con permitividades diferentes. La condición de contorno en la interfaz de separación de los dos materiales es la continuidad del vector desplazamiento en la dirección normal a la superficie:

E1ε ε1 0=E2ε ε2 0 (I.17)

donde Ei es el campo eléctrico normal y ε ε la permitividad del material i. Esta condición se

cumple de manera directa si en la resolución de la ecuación de Poisson tenemos en cuenta, junto con las densidades de carga, las permitividades en cada punto del dispositivo:

i 0

(I.18)

[

]

∇εε₀∇( )ϕ = −ρ

siendo ϕ , ρ y ε, el potencial, la densidad de carga y la permitividad relativa, respectivamente, asociadas a cada punto.

Cuando dos semiconductores con gaps diferentes se unen para formar una heterounión, se crea una discontinuidad en la banda de conducción. Es decir, los electrones deben superar una barrera energética para pasar de un material a otro. El mismo fenómeno aparece en la banda de valencia, pero no lo estudiaremos ya que sólo afecta al movimiento de

los huecos. Esta particularidad hace necesaria la inclusión de nuevas condiciones de contorno en el movimiento de los electrones cuando alcanzan una heterounión.

Utilizaremos las leyes clásicas de conservación del momento y la energía perpendiculares a la heterounión para determinar si un electrón es capaz o no de superar la barrera de energía para pasar de un material a otro. Este tipo de transiciones se llaman genéricamente transferencias en el espacio real, RST (Gribnikov et al. 1995), por contraposición a las transferencias en el espacio de momentos asociadas a los scattering intervalle. Cuando un electrón tiene energía suficiente en la dirección adecuada para superar la barrera, tiene un coeficiente de transmisión 1, en otro caso es reflejado especularmente. En el caso de considerar efectos cuánticos tales como la reflexión cuántica o el efecto túnel, los coeficientes de transmisión y reflexión no serían exactamente 1 ó 0, sino que habría un cierta probabilidad de reflexión con energías mayores que la de la barrera y de transmisión con energías menores. En los mecanismos de RST el electrón no cambia de valle, ya que la gran variación de momento que suponen hace esta posibilidad altamente improbable (Wang y Hess 1985).

Si un electrón en su movimiento se encuentra con la barrera de energía (de valor ∆EC)

impuesta por la heterounión, la condición necesaria y suficiente para que sea capaz de superarla es que posea una energía cinética en la dirección perpendicular a la heterounión superior a esa barrera. Si el electrón poseía una energía total εi, después de superar la barrera

ésta quedará reducida a εf=εi-∆EC. Pero esta disminución de energía debe estar asociada

únicamente a la dirección perpendicular a la interfaz (supongamos que es la dirección z). Es decir, los momentos en las direcciones x e y van a permanecer constantes y sólo variará kz,

que se calcula de este modo:

k_z2 = 2m_{2 f} 1+ _f −k_x2 k

h ε ( αε ) y

2

− (I.19)

Si el segundo miembro de la ecuación (I.19) es negativo quiere decir que la energía del electrón en la dirección z no es suficiente para remontar la barrera y, por tanto, el electrón será reflejado. Esta circunstancia se puede dar incluso siendo εf positiva, hecho que

significaría que la energía total del electrón sería superior a la de la barrera, pero no su energía en la dirección z (lo que no es suficiente para superarla).

En el caso en que el electrón incida en la heterounión en sentido contrario no se encontrará con una barrera de energía, sino con una discontinuidad que no va a interrumpir su

movimiento. El electrón siempre atravesará la heterounión, ganando energía en la dirección z. De este modo su energía final será εf=εi+∆EC, kx y ky no cambiarán y kz se calculará a partir

de la ecuación (I.19).

En la Fig. I.4(a) se muestra la estructura de bandas de los materiales por separado, y en la I.4(b) cuando la heterounión se ha formado (Shur 1987).

nivel de vacío EC1 EV1 EC2 EV2 EF2 EF1 nivel de vacío EC EV EF ∆EC ∆EV qVBi χ1 χ2 (a) (b) qVBi material 1 material 2 EG1 _E G2 ∆EC ∆EV

Fig. I.4: (a) Estructuras de bandas de los semiconductores por separado y (b) de la heterounión en equilibrio

EC1 y EC2 corresponden a los niveles de energía de la banda de conducción, EV1 y EV2

de la banda de valencia, EF1 y EF2 de los niveles de Fermi, y EG1 y EG2 a los gaps de ambos

materiales.

Las combinaciones entre semiconductores de gap ancho, 1, y de gap estrecho, 2, pueden ser de distintos tipos, pero debido a que en los FETs de heterounión la conducción (paralela a la heterounión) se va a canalizar por el material 2, éste va a ser poco dopado (EF2

está situado cerca del centro del gap) mientras que el material 1 va a tener un dopaje alto (EF1

cerca de la banda de conducción, EC1). Esta situación es la que se ha representado en la Fig.

I.4. En el caso en que el dopaje de los semiconductores sea diferente, la posición de sus niveles de Fermi cambiará, lo que influirá en la curvatura de las bandas en las proximidades de la heterounión y en el valor del potencial de contacto, VBi (built-in potential).

χ1 y χ2 denotan las afinidades electrónicas de los materiales, definidas como las

energías necesarias para que un electrón sea extraído del semiconductor partiendo del fondo de la banda de conducción. El valor de la discontinuidad de la banda de conducción en la

heterounión, ∆E

∆

C, es la diferencia entre las afinidades electrónicas de los dos

semiconductores:

EC=χ2-χ1 (I.20)

El potencial de contacto se calcula de la forma siguiente:

qVBi=∆EC+EF1-EF2+EC2−EC1 (I.21)

que, teniendo en cuenta que en cada semiconductor tomaremos el origen de energías en el fondo de su banda de conducción, es decir EC1=EC2=0, la ecuación anterior se convierte en:

qVBi=∆EC+EF1-EF2 (I.22)

Para dar un ejemplo, en la fabricación de HEMTs se utiliza frecuentemente la heterounión GaAs/Al0.2Ga0.8As con el canal de GaAs no intencionadamente dopado (ND=1014

cm-3) y una capa de Al0.2Ga0.8As con dopaje 1018 cm-3. En este caso particular ∆EC=0.145 eV,

EF1=0.024 eV y EF2=-0.214 eV. Por lo tanto el potencial de contacto vale VBi=0.383 V.

Valle X Valle Γ Valle L 0.08 eV 0.20 eV Al0.2Ga0.8As GaAs 0.055 eV 0.23 eV 0.145 eV 0.32 eV 0.065 eV

Fig. I.5: Niveles de energía de los valles en la heterounión GaAs/Al0.2Ga0.8As

El valor de la discontinuidad de energía que encuentran los electrones depende del valle en que se encuentren. ∆EC corresponde a la barrera en el fondo de la banda de

conducción, es decir, en el valle Γ, pero en los valles superiores la situación es diferente. La posición de los distintos valles depende de la composición del material semiconductor, como se puede comprobar al analizar los valores de las energías de los diferentes valles mostradas en la Tabla I.1. Los niveles de energía del fondo de los valles para el caso anterior se presentan en la Fig. I.5. En ella se puede observar que los electrones del valle Γ del GaAs deben superar una barrera importante para pasar al Al0.2Ga0.8As (0.145 eV), mientras que en

el valle L la transición es más sencilla (barrera de 0.055 eV) e incluso en el valle X la barrera cambia de signo y son los electrones del AlGaAs quienes deben superarla (0.065 eV)

En la Fig. I.6 se muestran los perfiles de la concentración de electrones, del potencial y de la banda de conducción en equilibrio (en la dirección perpendicular a la heterounión) calculados con el método de Monte Carlo para el caso particular estudiado anteriormente.

Posición (µm) 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 Po tenc ial (V ) -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0.0 En ergía (eV) 0.0 0.1 0.2 0.3 Posición (µm) 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 Con centració n (10 17 cm -3 ) 0.01 0.1 1 10 GaAs GaAs AlGaAs AlGaAs (a) (b)

Fig. I.6: (a) Perfil de la concentración de electrones y (b) del potencial (línea continua) y del fondo de la banda de conducción (línea de puntos) en dirección perpendicular a la heterounión GaAs/Al0.2Ga0.8As en equilibrio. En la Fig. I.6(a) se puede observar cómo se forma una región de vaciamiento en el AlGaAs en las proximidades de la heterounión mientras que en el GaAs se acumulan los electrones. Debido a su alto dopaje, la concentración de electrones en el AlGaAs alcanza en una distancia muy corta su valor de equilibrio (1018cm-3), mientras que en el GaAs esto no ocurre hasta una distancia de la heterounión mucho mayor (su longitud de Debye, λd, es más

larga, y los portadores necesitan más espacio para compensar una perturbación).

En la Fig. I.6(b) se aprecia por un lado la discontinuidad de energía en la banda de conducción y por otro el comportamiento continuo del potencial. La barrera de energía corresponde a la del valle Γ, ya que en equilibrio todos los electrones ocupan dicho valle. El comportamiento del potencial eléctrico está asociado al del nivel de vacío presentado en la Fig. I.4 y, por tanto, la diferencia de potencial entre los dos materiales (en lugares suficientemente alejados de la interfaz) debe coincidir con el potencial de contacto, VBi, lo

que, como se observa en la Fig. I.6(b), ocurre aproximadamente en la simulación.

Normalmente, al simular contactos óhmicos, como indicamos en el apartado anterior, tanto el potencial como la concentración que se mantienen en las celdillas adyacentes al contacto son uniformes. No obstante, cuando un contacto óhmico abarca dos materiales diferentes, la simulación no es tan simple ya que ni el potencial ni la concentración van a ser constantes a lo largo de todo el contacto. Esta situación tiene lugar al simular contactos verticales en los dispositivos (en contacto con capas de diferentes materiales), lo cual es muy

útil desde el punto de vista de optimización del tiempo de cálculo. Con dicha configuración de los contactos se consigue disminuir en gran medida el número de portadores a simular, ya que no es necesario considerar la parte del dispositivo situada bajo los contactos reales.

Para caracterizar este tipo de contacto es precisa una simulación unidimensional previa (cuyos resultados han sido mostrados en la Fig. I.6) con contactos homogéneos en el extremo de cada material, con el fin de determinar tanto el perfil del potencial como el de la concentración de equilibrio en la dirección perpendicular a la heterounión. El perfil del potencial a lo largo de los contactos verticales (tanto en la fuente como en el drenador) en las simulaciones bidimensionales se fijará de acuerdo con los valores obtenidos. De esta forma la distribución de potencial en el contacto es la misma que aparecería en equilibrio si se colocaran los contactos en la parte superior del dispositivo (como ocurre realmente). Fuera de equilibrio esta distribución va a cambiar (sobre todo en el terminal de drenador), con lo que sería necesario un nuevo cálculo. En nuestras simulaciones se utilizará siempre la distribución de equilibrio (Jensen et al. 1991), ya que se ha comprobado que la distorsión del potencial que origina la polarización se localiza únicamente en las proximidades del contacto.

Con respecto a la concentración de portadores, el contacto óhmico no debe contrarrestar al dopaje para alcanzar la neutralidad, sino adecuarse a la distribución de equilibrio mostrada en la Fig. I.6(a). Por ello, en la zona de vaciamiento, el contacto óhmico simulado sólo inyectará portadores si la concentración instantánea en las celdas adyacentes al contacto es inferior a la de equilibrio calculada previamente (cuyo valor es menor que el del dopaje). En la zona de acumulación la inyección sí que se realiza cuando la concentración instantánea es menor que la de las impurezas, ya que el valor de la concentración en las celdas adyacentes al contacto se va a adaptar automáticamente al de equilibrio debido a que el contacto óhmico no extrae los portadores en exceso.

En resumen, la presencia de heterouniones en los dispositivos introduce las siguientes modificaciones en el método de Monte Carlo:

 Resolución de la ecuación de Poisson teniendo en cuenta la diferente permitividad de los materiales.

 Inclusión de una barrera de energía en la heterounión que restringe el movimiento de los electrones por encima de ella y modifica su energía en la dirección normal la interfaz.

Esta última característica también aparecería en los contactos verticales de los MESFETs, pero normalmente no es necesario aplicarla ya que es suficiente que los contactos óhmicos se coloquen únicamente en la capa superior muy dopada, que es por donde circula la mayor parte de la corriente. En el caso de los HEMTs, los contactos deben recoger los electrones que fluyen tanto por la capa superior como por el canal formado por la capa de acumulación, por lo que es necesario un contacto que abarque ambos materiales.