Confluencia de dos ´areas de investigaci´on de Hamilton

En este Cap´ıtulo se han expuesto ejemplos precisos de la geometr´ıa ´optica en el que

el rayo luminoso -una construcci´on ideal- no necesariamente minimiza el tiempo de pro-

pagaci´on. Simult´aneamente, se determinan las trayectorias luminosas para cada sistema

´optico expres´andolas en funci´on de los par´ametros f´ısicos y geom´etricos naturales del caso

(i.e. la velocidad de la luz en un medio espec´ıfico, la posici´on de la fuente luminosa, la

localizaci´on de los puntos extremos del trayecto y la geometr´ıa de la superficie o interfase

espejada considerada). A partir de ahora, nos dedicaremos a destacar ciertos detalles y

enfoques de esta presentaci´on.

Es importante mencionar una vez m´as, que la tarea de encontrar los puntos esta-

cionarios de la funci´on de propagaci´on en el Problema de Heron y en los distintivos casos

analizados en el espejo cuasi-esf´erico, es equivalente a realizar la exploraci´on de los puntos

cr´ıticos estacionarios sobre la funci´on distancia total recorrida por los rayos -m´odulo la

velocidad de la luz en el medio uniforme. En t´erminos simples, en estos casos, la b´usqueda

de las braquist´ocronas es coincidente con la determinaci´on de las geod´esicas. Por otra

parte, las braquist´ocronas han sido singularizadas en laLey de Refracci´on

conocida como

Ley de Snell.

Se ha verificado la unicidad de la braquist´ocrona del hallazgo de W. Snell en refrac-

ciones entre dos medios uniformes distintos, con principios del an´alisis matem´atico. En este

problema de la naturaleza ´optica nuestra propuesta se diferencia de la de otros muchos au-

tores, entre ellos [Tikhomirov, V. M. (1990), Santal´o, L. A. (1993)], quienes normalmente

transcriben los fundamentos geom´etricos de la demostraci´on sustentada bajo el Principio

de C. Huygens. De manera precisa, explicitamos la braquist´ocrona para un sistema ´optico

geom´etrico de interfase de ancho arbitrario. A tal efecto, se encuentra la ra´ız real que anula

la ecuaci´on polin´omica de cuarto grado, que se plantea al estudiar laLey de la Refracci´on

y que determina la trayectoria luminosa. Adem´as, la afirmaci´on en el

Teorema

1.4.15,

establece que para caracterizar la braquist´ocrona de un sistema con interfase de ancho

arbitrario es suficiente conocer la respuesta del problema en una interfase unitaria. En

la subsecci´on

_§1.4.3 denominada

Contribuciones Auxiliares, se ha obtenido la expresi´on

anal´ıtica de las ra´ıces que realizan el Problema de Snell en funci´on de las constantes de

las posiciones iniciales y finales de los rayos, i.e.

ay

b, y de los par´ametros f´ısicos

v1

y

v2,

i.e. la velocidad de los rayos luminosos en cada uno de los dos medios que componen del

sistema ´optico. Los casos de colisi´on en el punto medio de la interfase y el sistema ´optico

que deviene en un polinomio de grado cuarto pal´ındromo - p´ag. 47 y

§1.4.5- se trataron

especialmente por ser dos casos particulares de sencilla resoluci´on.

La metodolog´ıa propuesta en la

_§1.2 nos ha permitido lograr el objetivo propues-

to en la geometr´ıa plana y circular. Los m´etodos de Ferrari y Cardan nos permitieron

evidenciar y proponer la competitividad entre (1.22), (1.25), (1.26) y (1.27) para poder

exhibir el curso del rayo luminoso en el

Problema de Snell. En [Faucete, W. M. (1996)],

por otra parte se encara la resoluci´on de los polinomios de grado cuarto con coeficientes

racionales, aunque en las situaciones particulares que se estudian, la tarea de seleccio-

nar la ra´ız que realiza el tiempo de tr´ansito m´ınimo para par´ametros ´opticos -v1,

v2- y

f´ısico-geom´etricos -a,

b- arbitrarios del sistema, requiri´o esfuerzo algebraico no menor.

Cuando se estudia el polinomio pal´ındromo de cuarto grado (1.13) no se usa la f´ormu-

la de Cardan [Christianson, B. (1991)] para determinar una ra´ız de la resolvente c´ubica,

i.e.

y3

_−cy2

₋

_4c

1c2

= 0, porque los c´alculos algebraicos resultan en extremo compli-

cados. Por tal raz´on, en esta circunstancia, es necesaria la selecci´on de una ra´ız c´ubica

3

v

u

u

u

u

t

c

2

3

+

s

16c1c2(c

3

27+c1c2)

2|c|c

2

, debi´endose adicionar a su propia rec´ıproca. Cabe aclarar que el

anterior procedimiento no facilitar´ıa el hallazgo de la expresi´on de la ra´ız que resuelve el

Problema de Snell

en una interfase espejada de ancho unitario para valores arbitrarios de

los par´ametros geom´etricos y ´opticosa,b,

v1, y

v2.

Los seguidores de Descartes fueron los primeros en declarar que el proclamado

Principio de Tiempos M´ınimos de Fermat, no era siempre sustentable en las experiencias

naturales, ellos sostuvieron que: “the law of reflection, is sometimes consistent with the

greatest rather than the least propagation time”. Este postulado de la geometr´ıa ´optica

es el que verifican los ejemplos primero y segundo que hemos estudiado. Este es el contexto

adecuado en las superficies espejadas cuasi-esf´ericas. A´un m´as evidente es nuestra tercer

aplicaci´on en la que se coincide con la ideas de Hamilton, i.e. “the stationary property of

the transit time of light rays ”[Niel, B. I. (2001)]. En las afirmaciones de la

Proposici´on

1.5.3, existen muchos detalles a observar bajo la validez de los postulados de la geometr´ıa

´optica, las Figuras 1.15 y 1.16 bosquejan de manera simb´olica lo que se ha destacado a lo

largo del an´alisis del tercer ejemplo.

Entonces, en un espejo c´oncavo ideal, [Niel, B. I. (2002)], que damos en llamar cuasi-

esf´erico o cuasi-circular al suponer la colocaci´on de

n

espejos planos cuyas normales coin-

ciden con las

n−´esimas ra´ıces de la unidad, los rayos que satisfacen la Ley de Reflexi´on en

susn

colisiones sobre esta construcci´on ideal, que empiezan y finalizan en el mismo punto

en la circunferencia, tienen la forma de las poligonales regulares frontera de pol´ıgonos y de

pol´ıgonos estrellados (Ver Figura 1.17). En consecuencia, la naturaleza, suele minimizar,

o a veces maximizar recursos y en muchas situaciones ni es eficiente, ni extravagante, es

de conducta intermedia. Entre las poligonales reflexivas [Niel, B. I. (2003)], se hallan las

que minimizan el Recorrido del Viajante, as´ı como aquellas del recorrido m´as ineficiente

de un viajante que visitara un n´umero impar de puntos, i.e. la trayectoria coincidente

con la poligonal estrellada de m´axima densidad [Kirillov, A. (1999)]. Por otra parte, las

poligonales estrelladas de densidad intermedia ni minimizan ni maximizan el tiempo total

de propagaci´on de los rayos luminosos. La interpretaci´on de estos resultados as´ı como el

estudio de ciertos problemas de los Hamiltonianos Eucl´ıdeos ´optimos, ser´an explicados

con precisi´on en el Cap´ıtulo 2, Cap´ıtulo 3 y su Secci´on 3.4.

Es importante destacar que en este enfoque Hamiltoniano de la Geometr´ıa ´Optica en

un espejo cuasi-esf´erico, la generalizaci´on de la tercera aplicaci´on del m´etodo de variaci´on

de los par´ametros de los rayos geom´etricos, ha confluido en las trayectorias hamiltonianas

abiertas y cerradas recorridas por el viajante sobre los v´ertices de pol´ıgonos regulares.

6

1.7.

Comunicaciones y publicaciones de las ideas del

In document Caracterización de caminos hamiltonianos en problemas específicos (página 73-75)