Ejercicios y problemas 4.1 Partimos del escenario:
Teorema 5.7.20. Suponemos que el MFC dado anteriormente cumple la hi-
7.4. Se considera un modelo de MFC como en la Definición 5.7.1., (pág.
107), y se supone que el mercado es normalizado, que n = d, y que la matriz σ es invertible con inversa acotada, (por tanto el MFC es comple- to). Probar que toda opción europea h acotada inferiormente y tal que
EQ£h2¤< +∞, es realizable.
7.5. Sea un modelo de MFC con base estocástica¡Ω,F ,{Ft}t∈JT,P¢, mo-
delizado sobre el proceso de Wiener fW = {Wt}t∈JT, en (Ω,F ,P), respecto a
{Ft}t∈J1 y a P, y con dos activos financieros primarios, S
0, S1, tales que la
evolución de sus precios está regida por las ecuaciones diferenciales esto- cásticas
dS0t = 0S0td t S00= 1
dS1t = dWt S10= x1> 0,
(por tanto, se trata de un MFC normalizado). Probar que:
(1). Existen funciones de clase PT, H(t,ω) y H′(t,ω), tales que si se definen
Vt = 1 +R0tH(s,ω)dWs y Vt′= 2 +
Rt
0H′(s,ω)dWs, t ∈ J1= [0,1], entonces,
(2). ˜φ = {(1, H(t,·))}t∈J1 y ˜φ′ = ©
(1, H′(t,·))ª
t∈J1 son estrategias de gestión débilmente admisibles en el MFC dado que realizan a la opción europea
h = 0.
(3). Con las hipótesis de la Definición 5.7.11., la estrategia de gestión dé-
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ÍNDICE ALFABÉTICO 143
Índice alfabético
Acciones, 3 Activo financiero con riesgo,1, 11, 13, 16, 108 derivado, 5 primario, 3 principal, 3 sin riesgo,1, 11, 13, 16, 108 subyacente, 5Acumulación del consumo, 54 Agente económico, 2 Apalancamiento, 9 Aplicación de clase C1,2, 64, 71, 73, 74, 75 Arbitraje, 8, 15, 114 Attainable (realizable), 34, 120 Base estocástica, 11 Bolsa de valores, 9 Bono Estatal (español), 3 Bonos, 3 Brokers (Comisionistas), 2 Browniano geométrico, 17 Cambio de Girsanov, 23, 24, 26, 27, 113 Capitalización, 3, 17 Cartera, 1, 14 Call, 5 opción americana, 5, 54 opción europea, 5, 33 Chollo, 8 Cobertura, 5
de las opciones americanas, 54, 56
de las opciones europeas, 32, 46, 48
del call europeo, 49 del put europeo, 51 Combinaciones, 6 Comisionistas, 2 Completo, Mercado, 118 Condiciones de contorno de Dirichlet, 85 de Neumann, 103 Consumo acumulación del, 54
estrategia de gestión con, 55 Consumo-ahorro, 7
Consumo-inversión, 7 Contratos por diferencias, 6
Credit Default Swaps, 6 Dealers, 2
Default (Incumplimiento de pago), 1 Delta de una cartera, 52 del call, 49 del put, 51
Depósito monetario a plazo fijo, 3 Deriva, 16, 17
Deuda subordinada, 4 convertible, 4 no redimible, 4 redimible, 4
Distribución de probabilidad defini- da por variable aleatoria, 12 Efecto sonrisa, 53 Especulación, 9 Especulador, 9 Estrategia de gestión, 14 admisible, 33 autofinanciada, 14, 110 autofinanciada en modelo BSM, 18, 19 con consumo, 54 débilmente admisible, 15, 112 Evaluación de la volatilidad método histórico, 53 método implícito, 53
Evaluación de las opciones, 32, 124, 128, 135
Fecha de vencimiento, 5
Flujo estocástico, 63, 64, 65, 66, 67 Fondos, colectivos, de inversión, 3 Fórmula de capitalización, 3, 17 Forwards, 5 Función de variación acotada, 12 de variación finita, 12 Futuros, 6
Fractal gráfica de precios, 53
Gamma
de una cartera, 52 del call, 50
del put, 51
Generador infinitesimal de una di- fusión, 63, 67, 69, 71, 72 Girsanov, 23, 24, 113
Griegas, 49
Hedging (Cobertura), 5
Igualdad de precios de call europeo y americano, 57 Información disponible, 11 Instrumento financiero derivado, 5 primario, 3 principal, 3 Integración estocástica, 28 Integral estocástica, 20 invariancia de la, 25, 34, 36, 62 Intercambio financiero, 6 Interés instantáneo, 16 Intermediarios, 3
Invariancia (por cambio de Girsanov) de estrategia de gestión autofi-
nanciada en modelo BSM, 26 de la estrategia de gestión con
consumo, 55, 62
ÍNDICE ALFABÉTICO 145
del precio del activo con riesgo en el model BSM, 23, 26 Kappa de una cartera, 52 del call, 50 del putt, 52 Letras, 3 Liquidez de un activo financiero, 10 de un mercado financiero, 8 Martingala, 17
de los precios actualizados en mo- delo BSM, 30
local, 114
Maturity (fecha de vencimiento), 5
Mediadores, 2 Mercado financiero a tiempo continuo, 11 continuo, 11 completo, 118 discreto, 11 normalizado, 13 normalizado asociado a un MFC, 14 Mercados, 7 de acciones, 9 de cuentas bancarias, 9 de deuda pública, 9 de deuda anotada, 7 de dinero, 9 de divisas, 9 de metales preciosos, 9 de petróleo, 9 financieros, 10
financieros continuos completos, 118, 120
financieros continuos generali- zados, 107
financieros continuos modeliza- dos por procesos de Wiener, 107
financieros no organizados, 9 financieros organizados, 9 financieros over the counter, 9 financieros reales, 1
financieros viables, 8 Modelo de mercado financiero
de Black-Scholes-Merton, 16, 109 de Black-Scholes-Merton gene- ralizado, 54, 109 de difusión de Itô, 108 de Dupire, 109 general de Itô, 107 Modelo general de un MFC, 11 Movimiento Browniano geométrico,
17 Obligaciones, 3 Opción, 5
americana, 5, 54, 135
americana y ecuaciones en de- rivadas parciales, 87 asiática, 5 call, 5, europea, 5, 33, 79, 80, 120, 124 europea acotada, 124 europea integrable, 124 europea realizable, 34, 120 exótica, 5 prima de una, 5
put, 5,
Operador infinitesimal de una difu- sión, 63, 64, 65, 67, 71, 72 Pagarés, 3 Paridad put-call, 45 Participaciones preferentes, 4 Portfolio, 1, 14 Precio actualizado, 7, 13
actualizado de activo con riesgo en modelo BSM, 18
de activo con riesgo, 16 de activo sin riesgo, 16 de ejercicio, 5
de las opciones europeas, 33, 34, 37, 125, 128, 131
de las opciones americanas, 54, 57, 136
de las opciones europeas en el modelo BSM(G), 128
de un activo primario en un tiem- po t, 11, 13
del call europeo, 42 del put europeo, 43 Precios actualizados, 14
Precios de opciones y ecuaciones en derivadas parciales, 62 Prestamista, 2 Préstamos, 3 Prestatario, 2 Prima de riesgo, 3 de una opción, 5
Probabilidad absolutamente continua respecto de otra, 23 Probabilidades equivalentes, 24 Proceso estocástico de Itô, 107 de Wiener n-dimensional, 107 valor de la cartera, 14, 120 put, 5 opción americana, 5, 54, 91 opción europea, 5, 33, 52
Realización de una variable aleato- ria, 12
Rentabilidad de un activo financie- ro, 10 Repo, 6 Representación de Itô, 113 Rho de una cartera, 52 del call, 50 del put, 51 Riesgo, 8, 10 de crédito, 8 de mercado, 8 de un activo financiero, 10 operacional, 8 Risky, 108 Safe, 108 Semimartingala, 15 Spot price, 7 Spreads, 6 Strike, 5 Submartingala, 113 local, 113 Supermartingala, 113 local, 113
ÍNDICE ALFABÉTICO 147
Tasa de interés instantáneo, 16 Teorema de Girsanov, 24, 113 de Radon-Nikodyn, 23, 32 de representación de Itô, 113 Teoría de la Utilidad, 7 Theta de una cartera, 52 del call, 50 del put, 52 Tiempo de Markov, 55, 60 Tipo de interés instantáneo, 16 Unidades de gasto
con deficit, 2 con superávit, 2 Valor
actualizado de la cartera, 14 aproximado del precio de opcio-
nes, 94
aproximado del precio de opcio- nes americanas, 103
aproximado del precio de opcio- nes europeas, 94
aproximado del precio del put ame- ricano, 103
de la cartera, 14
de la opción europea, 37 de la opción americana, 54 Variación
acotada de una función, 12 finita de una función, 12 Vega de una cartera, 52 del call, 50 del put, 51 Viable, mercado, 8 Volatilidad, 8, 16, 52 evaluación, 53 futura, 8 histórica, 8 implícita, 8 Warrants, 6
Símbolos
BSM, Modelo de MFC de Black-Scholes-Merton, 16
BSM(G), Modelo de MFC de Black-Scholes-Merton generalizado, 109
C1,2, Aplicación de clase 1,2; 62, 64, 71, 73, 74, 75 CDS, Credit Default Swaps, 6
CDLI, Proceso estocástico continuo por la derecha con límite por la izquierda, 11
CFD, Contrato por diferencias, 6
∂
∂t, Operador derivada parcial respecto a la variable t ∂
∂x, Operador derivada parcial respecto a la variable x ∂2
∂x2, Operador derivada parcial segunda respecto a la variable x
E∗[ ], Esperanza matemática respecto a la probabilidad P∗, 34
EQ[ ], Esperanza matemática respecto a la probabilidad Q, 63
F, σ-álgebra, (V. 2, pág. 14) {Ft}t∈JT, Filtración, (V. 3, pág. 23)
JT, Intervalo [0,T ], 0 < T < +∞, de la recta real R, 11
J∞, Intervalo [0,+∞) de la recta real R, 11
λT, Medida de Lebesgue en el intervalo JT = [0,T ], 15
MFC, Mercado financiero continuo, 11 MFD, Mercado financiero discreto, 11
N(d), N(d) = 1/p2πR−∞d exp¡−(1/2)y2¢d y.
N(0,1), Variable aleatoria Gaussiana de media 0 y varianza 1, (V. 2, pág.
299)
OTC, Mercado over the counter, 9
Pη, Distribución de probabilidad de la variable aleatoria η, 12
V, Varianza, (V. 2, pág. 248)