Ahora se a construir (o se extender´a) una equivalencia topol´ogica entre una superficieS∈P, y los elementos de una secuenciaSnconvergiendo a esta en el sentidoC3.Esta construcci´on
se har´a por medio de 5 etapas, a fin de considerar todas las posibles regiones can´onicas para efecto de realizar la extensi´on de la equivalencia principal de la secci´on anterior.
5.8. Etapa 1. Definici´on en la intersecci´on de regiones can´onicas paralelas m´aximas y m´ınimas.
En cada regi´on can´onica paralela m´ınima A1 de S, se elige una secci´on cruzS,e que puede
ser asumido como un arco de una separatriz umbilical m´aximaσ.Definimos por Ht:Se→Ste
al homeomorfismo que realiza la continuaci´on natural deSeaSt.e De este modo, los extremos a y b de Se∩A1 tienen continuaci´on naturalHt(a) y Ht(b) en St,e que puede ser asumido
como el arcoσt,con esto se tiene que la continuaci´on natural deσesσt.
An´alogamente, Ht se aplica para arcos τ elegidos en separatrices m´ınimas T que son secciones cruz de las regiones paralelas m´aximasB2 deS.
Seap∈A1∩B2.Denote porσ(p) (resp.τ(p)) al punto de intersecci´on de la l´ınea principal
paralela m´ınima (resp. m´axima), que pasa por p, con la secci´on transversal Se (resp. T ). El conjunto A1∩B2 est´a compuesto por componentes conexas C, con las caracter´ısticas
indicadas en la definici´on 5.1. En cada componente conexa C de A1 ∩B2, se define el
homeomorfismoHtdeCen su continuaci´on naturalCt.Este homeomorfismo est´a definido en las esquinas deC,los cuales pueden ser o puntos umb´ılicos o intersecciones de las foliaciones m´ınimas con las foliaciones m´aximas. Para un puntopdeC se defineHt(p) como un punto enCt,que est´a en la intersecci´on de la l´ınea principal m´ınima que pasa a porHt σ(p),con la l´ınea principal m´axima, que pasa porHt τ(p). Vea Figura 5.6.
Observaci´on 5.9. Dicho procedimiento de correspondencia punto a punto, define ya una equivalencia topol´ogica entreSySt,en el caso que los ciclos no sean ciclos principales, pues falta a´un evaluar la conjugaci´on entre ciclos principales.
B2 p T a e S σ(p) b A1 τ(p) Ht Ht(τ(p)) Ht(σ(p)) Ht(p) Figura 5.6: Etapa 1
5.10. Etapa 2. Definici´on en los ciclos principales m´aximos (resp. m´ınimos) y en las regiones cil´ındricas m´aximas (resp. m´ınimas) de tipoa)que est´an contenidas en la uni´on de regiones paralelas m´ınimas (resp. m´aximas).
Observaci´on 5.11. Por lo visto en la Etapa 1, Ht tambi´en estar´ıa definido en ciclos principales, esto es, cada punto de un ciclo principal contenido en una regi´on paralela, es visto como un intercepto de entre arco m´ınimo o m´aximo, con una secci´on transversal.
SeaR una regi´on cil´ındrica del tipoa). Tambi´enHtest´a definido en∂R,de acuerdo con la Etapa 1 y la observaci´on previa. Son por estas razones que existe una correspondencia uno a uno σ10 → σ1t entre las l´ıneas de F10|R y su correspondiente F1t|Rt, donde Rt es la continuaci´on natural de R.Es as´ı que para un arcoα10 de F10|R, tambi´en se establece
una correspondencia uno a uno con su correspondiente α1t de F1t|Rt, esto es, se define Ht : σ10 → σ1t como una conjugaci´on entre las aplicaciones de retorno Π0, inducida en
σ10 por F20|R, y Πt; inducida en σ1t por F2t|Rt. Esta aplicaci´on extiende R\α10 a su
continuaci´on natural Rt\α1t, de modo que el arco [p,Π0(p)] de F10 sea llevado al arco
Ht(p),Πt(Ht(p)) de F1t, por la construcci´on en la Etapa 1 sobre regiones can´onicas paralelas m´ınimas. Vea Figura 5.7.
b) a) A1 R R p H0(p) σ10 α10 σ1 Figura 5.7: Etapa 2, b)([GS82])
5.12. Etapa 3. Definici´on de los ciclos principales m´aximas (resp. m´ınimas) y de las regiones cil´ındricas m´aximas (resp. m´ınimas) de tipoa)que estan contenidas en la uni´on de regiones cil´ındricas m´ınimas (resp. m´aximas) del tipob).
Sea R0 una regi´on can´onica cil´ındrica m´ınima del tipo b) de S. Definimos Ht como
el homeormorfismo de un ciclo principal m´ınimo γ0 contenido en R0 y su continuaci´on
naturalγt contenido en Rt. Dicho homeomorfismo, define una correspondencia uno a uno entre las l´ıneas de F10, enR0 y aquellas deF1t, en Rt. A su vez, si R0 contiene regiones
cil´ındricas m´aximas del tipoa),se defineHtsiguiendo el procedimiento descrito en la Etapa 2, conjugando sus aplicaciones de retorno. Vea Figura 5.8.
5.13. Etapa 4. Definici´on en las regiones semi-transversales irreducibles m´ınimas (resp. m´aximas) que est´an contenidas en regiones can´onicas cil´ındricas m´ınimas (resp. m´aximas) del tipo b).
Sea R0 una regi´on semi-transversal irreducible contenida en una regi´on cil´ındrica del
tipo b). Se tiene que el borde∂R0 deR0 est´a contenido ya sea en en la uni´on de regiones
R0
γ0
Figura 5.8: Etapa 3, [GS82]
las Etapas 2 y 3, Htest´a definido en∂R0.Ahora, para los puntospque se encuentran en el
interior de la regi´onR0,son vistos como las intersecciones de curvas que cruzan la frontera
m´ınima de R0, con curvas que cruzan la frontera m´axima de R0. Es decir, sean p1 y p2,
respectivamente, puntos sobre los ciclos principales m´ınimo y m´aximo del borde∂R0deR0.
Definamosp1t=Ht(p1) as´ı comop2t=Ht(p2),los cuales est´an dependiendo continuamente
de (p1, t) y (p2, t), respectivamente. Seanα1t(p1) yα2t(p2), respectivamente, las curvas de F1tyF2tque pasan porp1typ2t,entonces para cualquierpenα10(p1)∩α20(p2) se tiene un
´
unico puntoptenα1t(p1)∩α2t(p2) que es continuaci´on natural dep. As´ı, se defineHt(p) =pt
(vea Figura 5.9). R0 α20(p2) α10(p1) p1 p p2 Figura 5.9: Etapa 4
5.14. Etapa 5. Definici´on en las regiones can´onicas cil´ındricas m´aximas (resp. m´ınimas) que se interceptan con ciclos principales m´ınimos (resp. m´aximas).
Sea R0 una regi´on can´onica m´axima (resp. m´ınima), la cual se intercepta con un ciclo
m´ınimo (resp. m´aximo)γ0.Para una componente conexaλ0deγ0∩R0,se defineHt|λ0,como
en la Etapa 2,usando la aplicaci´on de Poincar´e. Esto es, siRtyλtson, respectivamente, las continuaciones naturales de R0 yλ0, se tiene queHt:λ0|λtes una conjugaci´on topol´ogica
entre las aplicaciones de retorno inducidas enλ0por las foliaciones m´aximas de la superficie
S,y que inducen en λt la foliaci´on m´aximaF2tenSt.
Observaci´on 5.15. Note adem´as que regiones can´onicas paralelas m´ınimas y regiones can´onicas cil´ındricas m´aximas pueden solo interceptarse con regiones can´onicas cil´ındricas
DefinamosHten una componente conexa de la intersecci´on deR0con la regi´on can´onica
paralela m´ınima, por el mismo proceso visto en la Etapa 2. Ahora, seaS0una regi´on can´onica
cil´ındrica m´ınima que se intercepta con R0. Denote por σ0 la secci´on cruz global de S0
en la cual Ht queda bien definida con las descripciones dadas arriba. Dado un punto pen (R0\λ0)∩(S0\σ0),este se encuentra en una l´ıneaα2(p) deF2yα1(p) deF1,que se intercepta
respectivamente conλ0yσ0 en las ´orbitas de la respectiva aplicaci´on de retorno. Las l´ıneas
α2t(p) de F2t y α1t(p) de F1t determinadas por lasHt-im´agenes de estas ´orbitas, en λt y σt,son curvas continuas que se interceptan solamente en pt, que pasa por pent= 0. As´ı, se defineHt(p) =pt.Vea Figura 5.10.
Es as´ı, como finalmente se han considerado todas las posibles regiones can´onicas para poder realizar la extensi´on de la equivalencia principal entre una superficie S ∈ Σ y los elementos de una secuenciaSn convergiendo a esta en el sentidoC3.
R0 λ0
γ0
σ0
S0
Figura 5.10: Etapa 5
Todas estas herramientas, sirven para fundamentar la prueba del siguiente teorema.
Teorema 5.16 (Teorema de Estabilidad Estructural de las Configuraciones Principales).
SeaΣ(a, b, c, d)el subespacio de superficies suaves, compactas y orientadas, definidas en una vecindad de la superficieS, tales que satisfacen:
a) Todos los puntos umb´ılicos son Darbouxianos, b) Todos los ciclos l´ımite son hiperb´olicos,
c) Los conjuntos l´ımites de toda l´ınea principal esta contenido en el conjunto de puntos umb´ılicos o en ciclos principales de la superficie, y
d) todas las separatrices umbilicales, como separatrices, tienen solo en uno de sus puntos extremos, a un solo punto umb´ılico.
Si el espacio total est´a provisto de la topolog´ıa C3, entonces Σ(a, b, c, d) es abierto y cada
Demostraci´on. Sea S una superficie y Σ(a, b, c, d) el subespacio de superficies suaves, compactas y orientadas definidas en una vecindad de la superficieS,las cuales satisfacen las condiciones indicadas en el teorema. En la secci´on 5.1 se demostr´o que las regiones can´onicas son las ´unicas regiones existentes en estas superficies, y en la secci´on 5.2 se demostr´o que la clase Σ(a, b, c, d) es un conjunto abierto y establece, mediante el proceso de continuaci´on naturalC3, que las foliaciones de las regiones can´onicas y sus fronteras, se extienden a todos
las dem´as superficies pertenecientes a la clase Σ(a, b, c, d).
En este teorema una superficie esP-estable, cuando admite una vecindad en la topolog´ıa C3, donde cada superficie admite la misma estructura din´amica a partir de las l´ıneas de curvatura.
La continuaci´on de estos estudios, fueron realizados por Jorge Sotomayor y Carlos Guti´errez, llegando a demostrar que las superficies estructuralmente estables son C2-
topologicamente densas.
Teorema 5.17 (Densidad de los principales superficies estructuralmente estables). El conjuntoΣ(a, b, c, d)es denso en el sentido de la topolog´ıa C2.
Ap´endice A
Geometr´ıa en espacios
euclidianos
A continuaci´on se presentan conceptos b´asicos que ser´an utilizados a lo largo
del trabajo, tambi´en establece notaciones y presenta algunos resultados t´ecnicos necesarios. Se empieza hablando de diferenciabilidad pues trabajaremos con estructuras diferenciables, y luego estudiamos la estructura m´etrica de las superficies.
Se analiza la geometr´ıa diferencial de curvas y superficies en E3, y para efectos de
simplificar los c´alculos se usar´an superficies regulares. Estudiar la forma que tiene una superficie en el espacio obliga a hacer uso de un elemento “externo a la superficie”: la
aplicaci´on generada por los vectortes normales a la superficie. Para usar tal aplicaci´on
en toda la superficie, es necesario trabajar con superficies orientables.
A.1
El espacio euclidiano
E
3A.1. El espacioE3est´a definido en elR−espacio vectorial dado por las ternas de n´umeros
reales con las operaciones usuales: R3 = (x1, x2, x3) : x1, x2, x3 ∈ R . Un elemento de
aquel espacio es una clase [−→pq] formada por segmentos orientados de la forma−→pq(flechas que empiezan en p∈R3 y terminan enq∈R3), donde la relaci´on de equivalencia ∼satisface
−−→
AB∈[−→pq]⇔−−→AB∼ −→pq⇔B−A=q−p∈R3.
Cada [−−→AB] tiene un ´unico representante que empieza en el origen (0,0,0) y termina en (a, b, c)∈R3, por eso se identifica
E3∋[−−→AB]←→(a, b, c)∈R3.
Gracias a esta identificaci´on, descrita en la Figura A.1, la clase [−−→AB] se escribe [−−−−→(a, b, c)], y as´ı,E3 se torna en un R−espacio vectorial, cuando las operaciones (heredadas de R3) se
a b
c
(a,b,c)
Figura A.1: vector es una clase (color) que se identifica con una terna
definen del siguiente modo:
[−−−−−−−→(x1, x2, x3)] + [−−−−−−−→(y1, y2, y3)] = [−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→(x1+y1, x2+y2, x3+y3)]
y
a·[−−−−−−−→(x1, x2, x3)] = [−−−−−−−−−−→(ax1, ax2, ax3)], a∈R.
En este espacio tridimensional se tiene la noci´on de longitud de un vector p= (x1, x2, x3)≡−−−−−−−→(x1, x2, x3),
usualmente llamado normakpk depy definido por kpk=px2
1+x22+x23. An´alogamente,
a E3 se le puede dotar de un producto interno; por ejemplo, el producto interno
can´onicoh·,·i(tambi´en llamado usual) el cual satisfacehp, qi=x1y1+x2y2+x3y3,cuando
p= (x1, x2, x3) yq= (y1, y2, y3) est´an enE3.Este espacio con producto interno
E3= R3,+,·,h·,·i
tiene una base ortonormal ordenada{~e1, ~e2, ~e3} – donde~e1= (1,0,0), ~e2= (0,1,0) y~e3 =
(0,0,1) – llamadabase usual(o can´onica), con la cual cualquier elementop= (x1, x2, x3)∈
E3 se puede escribir de la formap=x1~e1+x2~e2+x3~e3.
A.2. El conjunto E3p ={(p, ~v);~v ∈E3}, conp∈E3 es llamado espacio tangente de E3
en p(o espacio af´ın); este conjunto es unR−espacio vectorial, si
(p, ~v) + (p, ~w) = (p, ~v+w)~ y a·(p, ~v) = (p, a~v).
Como~v= [~v]∈E3es una flecha que empieza en 0 y termina env; un vector~vp= (p, ~v)∈E3
p representa una flecha con la misma direcci´on y longitud (de~v= [~v]), pero ahora su punto de partida esp(vea la figura A.2). De esta forma, el puntopes el cero 0p deE3p.Este espacio´
est´a estrechamente vinculado conE3 y ambos tienen propiedades an´alogas. Por ejemplo, el
v
p+v
v
p0
p
Figura A.2:p,cero del espacioE2
p.
A.3. Cada espacio tangente E3p genera el espacio dual (E3p)∗ que est´a formado por todas
las funciones linealesϕ:E3p→R. Una base para (E3p)∗ se obtiene usando la derivada de la
proyecci´onxi :E3 →R,dada por p7→ hp, ~eii. Espec´ıficamente, la base ordenada de (E3p)∗
es el conjunto(dxi)p; 1≤i≤3 y satisface
(dxi)p(~ej) = 0, si i6=j ; 1, si i=j .
Por lo tanto,(dxi)p 3i=1 es la base dual can´onica de(~ei)p 3i=1 y escribimos (dxi)p(~ej) = ∂xi
∂xj, ∀p= (x1, x2, x3).