R é su lta im p o rta n te tam b ién e s tu d ia r la posibilidad de p oder d irig ir el siste m a h a c ia cu aiq u ier situ acio n fin a l que se proponga com o o b jetiv o , é s to e s, a n a liz a r la co n tro ia b ilid a d del s iste m a .
E sto es im p o rta n te d esde el punto de v is ta de no proponer com o o b jetiv o una s itu acio n in a lcan zab le lo q ue, si bien es una p ra c tic a h a b itu a i de los p o litic o s, no p a re c e ad m isib le d esd e el punto d e v is ta de n u e stro m odelo.
En la te o r ia del c o n tro l fin ito -d im en sio n al, c a ra c te riz a d o por la u tiliz a c io n de op erad o res a c o ta d o s, los co n c e p to s de c o n tro ia b ilid a d , o b serv ab iü d ad y e sta b ilid a d son d esa rro lia d o s por m étodos propios del A lgebra, con los c u a le s se o b te n ia n unos re s u lta d o s ta n sencillos e in tu itiv o s com o e s p e c ta c u la re s .
P a ra siste m a s d istrib u id o s, é sto e s, regidos por ec u a c io n e s d ife re n c ia le s surgen sé ria s com p licacio n es debidas a la ap aricio n de o p e ra d o re s no a c o ta d o s. En el caso c o n c re te de la co n tro ia b ilid a d del s iste m a , é sto sig n ifica que e l sis te m a no puede ser dirigido h a c ia todo h C H en el sen tid o e s tr ic to im plicado por e l c o n cep to de co n tro iab ilid ad definido p a ra siste m a s fin ito -d im en sio n ales; éllo ha obligado a la in tro d u cciô n de d iv erses c o n c e p to s de c o n tro ia b ilid a d , de los cu a le s nos in te re sa n los conocidos com o c o n tro ia b ilid a d e x a c ta , que co in cid e en e se n c ia con el c o n cep to de co n tro ia b ilid a d fin ito -d im en sio n al, y e l de co n tro iab ilid ad apro x im ad a (ver (9))
Asf, d irem os que e l siste m a forzado
11,51 z = Az + Bu , z (0) = Zq
donde los o p e ra d o re s y sus c o rre sp o n d ie n te s dom inios son los definidos al com ien zo de e s ta p a r te , es e x a c ta m e n te c o n trô la b le sobre [ 0 , t | ] s i , p a ra c u a le sq u ie ra Zq, z i C H, ex iste u C L 2 ( [ o , t j ] , E) ta l que
11.52
f U
O bservem os en to n ce s en 11.52 que T^jZo es un ele m e n to de H, por lo que para que ex ista c o n tro iab ilid ad e x a c ta es n ecesario que
1:
T t i _ s B ( O d s l D Hya que é sto équivale a d ecir que todo e sta d o de H es alc a n z a b le utilizando com o e n tra d a un c o n tro l adecuado. E sta condicion p e rm ite e sta b le c e r la siguiente proposicion
Proposicion IL 7
El sistem a 1L51 es exactam en te contrôlable si y solo si ex iste una constante a 0 tal que, para todo h C H,
" • « a |B . T . h . | H' En e f e c to , considerem os que f U ( •) = J o t l R ( 0 = I T t i _ s B( - ) d s
es un operador de L2 ( [ 0 , t i ] , E) en H que es in y ectiv o . Por ta n to R"1 es un operador definido e n tre
rango ( R ) ---* L2 ( [0 ,t i ] , E)
C om o adem as R es c e rra d o , R~1 tam bién lo es y, por ta n to , es aco tad o ( [4 ] ).
E sto sig n ifica que el adjunto de R-1 tam b ién lo es y, en co n secu en cia, ex iste u n a c o n sta n te a > 0 ta l que
11.54 l ( R - l ) * x . | Ilx 'll . Vx. C (l2 ( [ 0 , ,i] , E » -
donde
Sean e n t o n c e s h* C H* y x * = R * h * . Para todo k C H s e cumplira
< (R -I)* x * ,k > = < (R -l)* R * h * , k >
< R h ,R > L 2 ( [ o , t J , R * ) , L 2 ( [ 0 , t || ,E)
y por ta n to H.34 se tra n sfo rm a en
,
H'"»
H ." =
Por o tr o lado, {( [ l 5 ] ) y ( ( l 6 l )), sabem os que T* es un sem igrupo fu e r te m e n te co n tin u e definido so b re H» por lo que, p a ra todo u C E,
T , , . , B u ( s , d s
p i
= \ < B * T t.- s h * ,u ( s ) > d s = < R * h * ,u >
J o E *,E E*,E
es d e c ir, R * h * = B*T*^ ^ h * y 11.55 se c o n v ie rte en
que e r a la condicion b uscada. El c a r â c t e r su fic le n te de la condicion se prueba volviendo paso a paso h a c ia a tr â s sobre la d e m o stra c io n a n te rio r.
Por o tro lado se d ice que el siste m a H.51 es ap ro x im ad am en te c o n trô la b le sobre [ o , t ; j si, p ara todo z | C H y c u alq u ier t > 0, e x is te un c o n tro l u C L^( [o ,t ; | ,E) ta l que
es d e c ir, es posible "acercarn o s" a z j ta n to com o queram os aunque no lieguem os a "a lc a n z a ria ". E sto significa que
rango R = H
A hora bien, en v irtu d del te o re m a 8 de la lista é sto sig n ifica que
Ker (R«) = 0
y en funcion de la proposicion a n te rio r podem os e s ta b le c e r corno condicion n ecesaria y s u fic ie n te para la co n tro lab ilid ad aproxim ada el que sobre
B * T * h * = 0 h* = 0
Por lo que re s p e c ta a la observabilidad tam bién se introducen nuevos c o n cep to s en fo rm a anâioga a com o se hace p a ra la co n tro lab ilid ad p a ra que, utilizan d o la dualidad e n tr e co n tro lab ilid ad y observabilidad, pueda e s ta b le c e rse una en funcion de la o tr a . Supongamos a ta l e fe c to que n u e stro siste m a no es d ire c ta m e n te obsevable sino a tr a v é s de un esp acio Y de salida, que supondrem os e s tam bién un esp acio de H ilb ert, por m edio de un o p e ra d o r C C L(H,Y). Es d ecir, la d in am ica del siste m a viene dada por
z = Az + Bu , z(0) = Zq
11.56
y = Cz
y a i siste m a lo re s p re se n ta re m o s por (A,B,C). Se llam a siste m a dual del a n te rio r al definido por la dinam ica
X = A* X + C * V , x(0) = X g
w = B * x
y lo re p re se n ta re m o s por (A *,B *,C *). T riggiani, en (9), considéra c u a tro con cep to s de observabilidad y ha probado que
- (A,B,C) es in icialm en te o b serv ab le si y solo si (A *,C *,B *) es
ap ro x im ad am en te co n trô la b le . U tilizando la proposicion 11.8 e sto équivale a e s ta b le c e r que Ker (C Tt) = 0
- (A,B,C) es in ic ia lm e n te o bservable con continuidad si y solo si (A *,C *,B *) e s e x a c ta m e n te c o n trô lab le; e s d e c ir, si e x is te a > 0 ta l que
2.5. Sim ulaciôn d el siste m a
Com o ya se indicé en el ap a rta d o a n te r io r , en rnuchas o casiones, el estad o del siste m a solo se co n o ce a tr a v é s de un espadio de salida Y, de form a que el siste m a es gobernado por
* = Az + Bu , z (0) = Zg
y = C z
Si (A,B,C) es o b serv ab le y Zg es conocido podem os, a p a rtir d e la salida o b serv ad a, d é te rm in â t con ayuda de un op erad o r de re c o n s tru c c io n co n tin u o el e sta d o z{t) del siste m a , p ero si Zg no es conocido, es im posibie s e m e ja n te a ite rn a tiv a . No o b sta n te podem os sim ular el fu n cio n am ien to del siste m a dado an alizan d o o tro siste m a , gobernado por la m ism a d in a m ic a , p e ro del que conozcam os su situ acio n in icial, es d e c ir,
? = Az + Bu Y = C z
con z(0) co n o cid o . Si u tiliz a m o s z(t) p a ra e s tim a r z(t) c o m e te re m o s un e rro r e(t) = z(t) - z(t)
que s a tis f a c e la ecuacion
ê(t) = A e(t) o lo que es igual
e(t) = Tt e(0)
por lo que la m agnitud del e rro r a u m e n ta ra o no en funcion de la n a tu ra le z a del sem igrupo Tt sobre el que no podem os e je rc e r ningûn c o n tro l. Si el sem igrupo e s ta l que todos sus a u to v a lo re s tie n e n p a rte re a l n e g a tiv a , el e rro r d e c re c e r a ex p o n en cialm en te y el m odèle se ra ca d a v ez m ejor. Si no es asf, podriam os in te n tâ t a p ro v ech ar la salida y p ara c o m p a ra rla con la salida y, de la cual disponem os, u tilizan d o la d ife re n c ia (y-y) com o té rm in o c o r r e c to r en una re tro a lim e n ta c io n por m edio d e un o p e ra d o r N ad ecu ad o , tal com o se re f le ja en el d ia g ra m a de bloques, de la figura 11.2, que c o rresp o n d e a un siste m a en bucle c e rra d o definido por
z = Az + N(y-y) + Bu 11.57
y = C z
donde el e rro r v en d ra gobernado por
N ( y - y )
dependiendo su evoluciôn de la n a tu r a le z a del operador (A -N C). Si podemos e n c o n tra r un o p erad o r N ta l que el sem igrupo asociado a (A-NC) ten g a sus au to v alo res con p a rte real n e g a tiv a ten d rem o s un estim ad o r c a d a v ez m as preciso y ello su ced era si et sistem a
X = Ax + Cu
e s ex p o n en cialm en te e sta b iliz a b le y el o perador C ad m ite inverso. Supuesto é sto , tenem os el d iag ram a de un e stim a d o r a s in to tic o de e stad o s u o bservador d e sc rito en la fig u ra II.3.
O b s e r v a d o r
U— =0»
Si el sistem a (A,B,C) es o b serv ab le, a p a rtir de la salida y de! sim uiador, y dado que conocem os su e sta d o in icial, podem os d e te rm in a r su e sta d o z(t) y o b se r/a r z(t) con precision c re c ie n te con el tiem p o .
En el caso de n u e stro m odelo ten em o s, para e l co n tro l ôptim o, z(t) = A z(t) - B G '^B * (S(t) z(t) + m(t)) 11.58 y(t) = C z(t) o bien 11.59 z(t) = (A -B G -iB *5(t)) z(t) - B G -lB *m (t) y(t) = C z(t)
El siste m a sim uiador s e ra en to n ce s
z(t) = (A -B G -iB *S(t)) z(t) - B G -lB *m (t) + N (y(t)-y(t)) y(t) = C z(t)
con z(0) = Zq conocido, y e l fu n cio n am ien to del o bservador ven d ra gobernado por la
d in am ica re p re se n ta d a en el d ia g ra m a de bloques de la figura 11.4.
En la p r â c tic a , p a ra llevar a cabo la sim ulaciôn ex p u e sta p recisarem o s la u tilizaciô n de un ordenador analôgico, pues la u tilizaciô n de un d ig ita l, al no poder tra b a ja r de form a co n tin u a, d arfa re su lta d o s menos fiab les.
- B G B
S i s t e m a
r
- B G B
F ig. 11.4
0 ( - FO b s e r v a d o r
A - B G B S - N G o - J
2
.
6.
C aso de siste m a s a sta b le s y e sta b iliz a b le sAunque desde el punto de v lsta co n cep tu al el analisis de la estab ilid ad del sistem a es idéntico en les casos fin ito e infinito-dim ensional, vamos a ver una p rim era gen eralizaciô n de c ie r ta s propiedades bien conocidas de los sistem as finito-dim ensionales. A ta l e f e c to , considerem os una vez m as el sistem a
z = Az + Bu y = Cz
Supongamos que, por in te n ta r o b te n e r un operador m as m anejable que el
inicial A o por e sta b iliz a r el siste m a , caso que éllo sea posible, p retendem os su b stitu ir el gen erad o r A por o tro de m as sim ples propiedades. Si estam o s en condiciones de a c c é d e r al estado z del siste m a , ex iste en to n ce s un operador K con el que re tro a lim e n ta r el sistem a para conseguir el resu ltad o a p e te c id o que es el clasico de la te o rfa de la estab ilizaciô n (figura 11.5)
La gen eralizaciô n no a p a re c e ta n c la r a en e l caso de que el estad o z del siste m a no se a conocido o a c c e sib le , aunque se puede o b te n e r una aproxim aciôn en el caso de que los operadores A y B sean au to ad ju n to s y positives y C sea au to ad ju n to y ad m ita op erad o r inverso. C o n siste en diseUar un estim ad o r del tipo v isto en el a p artad o a n te rio r, ta l y com o se re p ré se n ta en e l d iag ram a de bloques de la fig u ra 11.6.
Tenem os asf un siste m a cuya dinam ica viene gobernada por
11.60
z = Az + BKz + Bv
I
= NCz + (A-NC+BK) z + Bvy = Cz
variable
Para a n a llz a r las propiedades de e s te siste m a considérâm es el cam bio de