7. Formulaci´ on Anal´ıtica y Comp Din´ amico del Control
8.6. Control por Pasividad
Desde hace algunos a˜nos, ha habido un fuerte desarrollo en la teor´ıa de control de los sistemas no lineales. Una de esas teor´ıas denominada ’Control por Pasividad’, es considerada en este trabajo de tesis a los efectos de establecer reglas de control que permitan, a las granjas, contribuir a la estabilidad de las redes el´ectricas.
El Control por Pasividad, permite realizar el tratamiento no lineal de los sistemas el´ectricos pero incorporando los elementos disipativos dentro del an´alisis. De esta manera, evita las restricciones que, sobre los mencionados elementos, tienen las funciones de Lyapunov ya estudiadas en cuanto a que los mismos establecen integrales que son dependientes del camino de integraci´on el cual es desconocido. En general, en los sistemas el´ectricos, esta restricci´on es superada al considerar que las resistencias de las l´ıneas de transmisi´on son despreciables. En contraposici´on con lo anterior, el control por pasividad puede incorporar las conductancias de la red.
El control basado en Pasividad es un nombre gen´erico para definir una metodolog´ıa de dise˜no de un controlador que alcanza la estabilizaci´on haciendo pasivo al sistema con respecto a una funci´on de energ´ıa deseada e inyectando amortiguamiento [74]. Se pueden definir dos maneras de realizar lo anterior [71]:
La manera cl´asica, que involucra definir una funci´on de energ´ıa y dise˜nar el controlador correspondiente [73]. Esta metodolog´ıa es, claramente, similar a la realizada en la primera parte de este cap´ıtulo.
A partir de considerar una estructura de lazo cerrado deseable del sistema, se obtienen todas las funciones de energ´ıa, de las cuales debe elegirse la funci´on adecuada, compatible con la estructura [75].
Considerando el segundo de los ´ıtems, las aplicaciones m´as importantes se encuentran asociadas a los m´etodos de Asignaci´on de Interconexi´on y Amortiguamiento (IDA). Luego, a partir de las matrices elegidas por el dise˜nador, se deben resolver ecuaciones en derivadas parciales que permiten la obtenci´on del controlador.
8.6.1. El modelo del sistema y el balance de energ´ıa
El modelo de par´ametros concentrados de un sistema f´ısico con elementos de almacenamiento independientes puede ponerse en la forma del modeloHamiltoniano [75]:
˙
x = (J −R)∂ν
∂x+g(x)u=f(x) +g(x)u (8.46) y = gT(x)∂ν
∂x(x), (8.47)
con x ∈ ℜn las variables de energ´ıa, la funci´on suave ν(x) : ℜn → ℜ representa la energ´ıa total almacenada y u, y∈ ℜm son las variables de potencia. Estas variables son conjugadas en el sentido que su producto tiene unidades de potencia. La estructura de la interconexi´on se tiene a trav´es de las matrices antisim´etrica J(x) = −JT(x) de n×n y g(x) de n×m con R(x) = RT(x) ≥ 0 representando la disipaci´on.
La derivada de la energ´ıa para los sistemas pasivos es: ˙
ν =−∇νT(x)R(x)∇ν(x) +uTy, (8.48)
donde el primer t´ermino representa la disipaci´on. Al integrar la expresi´on anterior se tiene:
Z t 0 uT(s)y(s)ds = ν[x(t)]−ν[x(0)] + Z t 0 · ∂ν ∂x[x(s)] ¸T R(s)∂ν ∂x[x(s)]ds, (8.49)
la energ´ıa entregada = la energ´ıa almacenada + la energ´ıa disipada,
que se mantiene para t≥0. La expresi´on (8.49) indica que un sistema pasivo no puede almacenar m´as energ´ıa que la proporcionada por la fuente externa, siendo la diferencia disipada en el sistema. Tambi´en puede observarse en la expresi´on (8.49) que−Rt
0uT(s)y(s)ds≤ν[x(0)] lo cual indica que
se puede extraer ´unicamente una cantidad finita de energ´ıa de un sistema pasivo. Adem´as, por efecto de la disipaci´on, la energ´ıa del sistema no se incrementa para el sistema sin control (u= 0), o sea, ν[x(t)]≤ν[x(0)] lo que, a su vez, indica que, si la energ´ıa se encuentra acotada por debajo, el sistema se detendr´a en el m´ınimo. As´ı, se puede aumentar la velocidad de convergencia de la energ´ıa al equilibrio haciendo u = −Kvy con Kv = KvT > 0 en lo que se denomina inyecci´on de
amortiguamiento [71][73].
8.6.2. Procedimiento de dise˜no
A los efectos de direccionar la teor´ıa a la aplicaci´on del control de las granjas, se presenta, ´
unicamente, el procedimiento de dise˜no a ser empleado en este trabajo de tesis.
En este procedimiento, a partir de fijar las matrices de amortiguamiento e interconexi´on para obtener una estructura adecuada se deriva una ecuaci´on matricial en derivadas parciales cuyas soluciones caracterizan a todas las funciones de energ´ıa que pueden ser asignadas. Finalmente, se elige la funci´on que cumple con los requerimientos de estabilidad del sistema lo que da lugar a la elecci´on de la acci´on de control. As´ı, el objetivo es determinar una realimentaci´on est´atica de los estadosu=β(x) tal que la din´amica del lazo cerrado es otro sistema hamiltoniano de la forma
˙
donde la nueva funci´on de energ´ıaνd(x) tiene un m´ınimo local estricto en el equilibrio deseado (x∗)
y Jd(x) y Rd(x) son las nuevas matrices deseadas (fijadas para determinar la funci´on de energ´ıa)
del sistema.
El siguiente resultado se encuentra directamente relacionado con los objetivos de control de este trabajo de tesis:
Proposici´on 1[71]. Para el sistema (8.46)
˙
x=f(x) +g(x)u, (8.51)
asumiendo que Jd(x) =−JdT(x),Rd(x) =RTd(x) ≥0 y νd(x) :ℜn→ ℜ de manera que verifican la
siguiente ecuaci´on en derivadas parciales:
g⊥(x)f(x) =g⊥(x)[Jd(x)−Rd(x)]∇νd (8.52)
con g⊥(x) el aniquilador de rango completo a izquierda de g(x), es decir, g⊥(x)g(x) = 0, y νd(x)
tal que
x∗= arg m´ınνd(x) (8.53)
con x∗ ∈ Rn el equilibrio a ser estabilizado. Entonces, el sistema de lazo cerrado con u = β(x) siendo
β(x) = [g⊤(x)g(x)]−1g⊤(x){[Jd(x)−Rd(x)]∇νd−f(x)} (8.54)
toma la forma
˙
x= (Jd(x)−Rd(x))∇νd, (8.55)
con x∗ el equilibrio estable local que ser´a asint´oticamente estable si el mayor conjunto invariante de la din´amica de lazo cerrado (8.55) contenido en
©
x∈Rn|[∇νd(x)]TR(x)∇νd(x) = 0ª (8.56)
es, precisamente,x∗. Un estimado del dominio de atracci´on est´a dado por el conjunto de nivel m´as grande que verifique{x∈Rn|νd(x)≤c}.
Demostraci´on. Haciendo u = β(x) en (8.51) e igualando con el miembro derecho de (8.55) se
tienef(x) +g(x)β(x) = [Jd(x)−Rd(x)]∇νd.
Multiplicando la anterior a izquierda porg⊥se tiene la expresi´on en derivadas parciales que da lugar a la funci´on de energ´ıa del sistema. Por otra parte, si en lugar del ´ultimo paso (multiplicar por g⊥) se despeja β(x) y se multiplica por la pseudo-inversa deg(x) se obtiene la ley de control. La estabilidad se obtiene advirtiendo que, a lo largo de las trayectorias de (8.55):
˙
ν =−[∇νd]T(x)R(x)∇νd(x)≤0, (8.57)
por lo anterior, νd(x) califica como funci´on de Lyapunov del sistema. Adem´as, la estabilidad se
R + jXL2 L2 0+jXT V= 690 V V 3 0+jXT Generador sincrónico Granja eólica carga Bus infinito 0.082+j0.017 0.002+j0.017 j0.0586 R+ jX j0.0586
Figura 8.8: Generador sincr´onico, granja e´olica, carga y bus infinito.