CONVOLUCIÓN CONTINUA Y DISCRETA

Esta sección contiene problemas en los que se calcula la respuesta de un sistema continuo o discreto por medio de la integral o la suma de convolución.

Algunos de los problemas coinciden con problemas resueltos en otras secciones del libro, pero resueltos utilizando la integral de convolución en lugar de la trans­ formada de Laplace (para sistemas continuos), o la suma de convolución en lugar de la transformada en Z (para sistemas discretos).

La resolución de estos problemas suele realizarse según las siguientes fases: 1. Obtención de la función de transferencia del sistema.

2. Obtención de la respuesta impulsional mediante la transformada de Laplace (o transformada en Z) inversa.

3. Obtención de la respuesta del sistema mediante la aplicación de la integral de convolución (sistemas continuos) o la suma de convolución (sistemas discretos).

La teoría necesaria básica para resolver los problemas de este capítulo puede encon­ trarse en el capítulo 4 de [SalaOO].

También puede encontrarse la teoría necesaria en los libros [Meade93] (capítulo 2), [Solyman99] (capítulos 5 y 8), y [Oppenheim98] (capítulo 2).

186

PROBLEMAS RESUELTOS DE TEORÍA DE SISTEMAS

PROBLEMA 68. Respuesta de sistema continuo

Obtener la salida del sistema:

d 2y dy

— f + — = u

dt dt

en el instante t==4 segundos ante la entrada u definida como:

Solución

Este problema se puede resolver de 2 formas, por convolución, o mediante trans­ formada de Laplace.

Para hacerlo por convolución, hay que obtener en primer lugar la respuesta impul- sional. Laf.d.t. del sistema es:

G i s ) - ---r - ^ 7 = - - - ^ T ~ LhL~* =

s + s 5(5 + 1) S 5 + 1

La señal de entrada está definida por:

0 t < 1 u(t) = . 2 - 1 1 < t < 2

0 t > 2

Aplicando la integral de convolución:

y W - f u ( T ) g ( i - T ) d x .

- í “W s< 4 - T)dT + J u ir ) g i4 - x )d r + - T)dr =

= j u i r ) g i 4 - r ) d r = J^(2 - r)(l - e ^ - x))d r = - - e 1 + 2e~3 - 0.464

PROBLEMA 69. Respuesta de sistema continuo

Obtener la respuesta del sistema cuya ecuación diferencial es:

d2y

~ dy

CONVOLUCIÓN CONTINUA Y DISCRETA

187

ante la entrada u 0 . 1 O t < 1 1 <. t <. 3 t > 3

Solución

El problema se puede resolver por convolución o mediante la transformada de Laplace. Por convolución, habría que resolver la ecuación para cada tramo. Pre­ viamente se necesita la respuesta impulsional:

g m - 2 ‘ , - r - r r m - “ -

s + 2 s + 1 (»s1 +1)

t< l:

y(t) = f ou( r ) g ( t - r ) d r = ° 1< t<3:

y(t

)

= J^u(r)g(t - r ) d r

= J^w(r)g(í -

r ) d r + J fu(r)g(t - t ) d r

=

x»f-r

= 0 + J^(t-T )e~ ('~r)dT = f -xe~xdx = xe~xdx =

= [-xe~xY - j lo~ \ - e - x)dx = - ( t - l)eH,~l) - (e“*'"0 - 1) =

te3: y(t) - f QU (T)g(t-T)dT = = J^«(r)g(í - r )d r + j^u(r)g(t - r ) d r + j lu(r)g(t - r ) d r = X » í - T - 0 + - r)e~{,~x)d r + 0 i ^ - x e ~ xdx = = ^ x e - xdx = [~xe-x\_ \ e 'x)dx = = _ ( f _ + (, _ 3)e-('-3) _ (*-<»-» _ e-(*-3))

188

PROBLEMAS RESUELTOS DE TEORÍA DE SISTEMAS

PROBLEMA 70. Respuesta de sistema continuo

Mediante un computador se controla la entrada de un sistema de función de trans-

5 + 1

ferencia: G(s) = ---. El periodo con el que el computador actualiza la entra- sis + 2)

da es de 1 segundo. Se quiere que la salida valga y=l en el instante t=3 segundos. Para ello se decide dar a la entrada un valor de A durante el primer periodo, cambiándolo por un valor de A/2 en el segundo periodo, haciendo nula la entrada a partir de enton­ ces. Obtener el valor de A para que se cumpla lo anterior.

Solución

La entrada al sistema es constante en cada periodo, según la figura:

A /2

1 2 t

La salida del sistema en el instante t=3 se puede calcular por convolución. La respuesta impulsional es:

G(s) = —7 - ^ 7 = — + ——r => g(t) = 0.5u0(t) + 0.5e~2'--- 1---0.5 0.5

5 ( 5 + 2) 5 5 + 2

Aplicando la integral de convolución para t- 3 se tiene:

;y(3) =J^M(r)g(3-T )dx =

= J^A (0.5 + 0.5e-2<3-T))d r + ^ - ( o . 5 + 0.5e-2(3-T))dr =

= 0.5A + 0.5A<T6 (e..~ ]) + 0 . 5 - + 0 . 5 - e ' 6 ( e ~ e ^ = 0.7686A - 1

CONVOLUCIÓN CONTINUA Y DISCRETA

189

PROBLEMA 71. Respuesta de sistema continuo

Obtener la respuesta del sistema cuya ecuación diferencial es:

d 2y

. ,

dy

ante la entrada:

+ 3 — + 2y = 4w d t d t

Solución

La función de transferencia del sistema es:

4

G(s) =

s2 + 3 s + 2 (s + 2 )(s + 1) La respuesta impulsional es:

g{t) = Ae~21 + Be-'

Tomando transformadas, sumando e igualando los numeradores se obtiene: g (t) = -4e~2' + 4e~' La entrada es: 0 t < 1 2 1 ss / < 3 8 - 2 1 3 s í < 4 0 í a 4 u(t) = .

La salida se puede calcular por convolución, para lo cual se planteará la integral de convolución para cada intervalo:

t< l

y ( t ) = f ' u ( r ) g { t - T ) d r = 0

J T«0 l< t< 3

190

PROBLEMAS RESUELTOS DE TEORÍA DE SISTEMAS 3 < t < 4 t > 4 y(0 = j¡0U (T )g {t-t)d T = ‘ - r)d x + 2(4e'('"T) - 4 e~2('~T))dr = - ( r - r ) = 8 1 - - - e -2 0-1) = 4 - 8 ^ l" ,, +4^ y ( 0 = f o u ( T ) g ( t - T ) d r = = J ^ O g ( í - r ) í / r + j j * 2 ( 4 í f ('" T) - 4 e ~ 2(" r ) ) d T +

+f3(8-

2r)(4e-(,-T) - 4e-2(,-r))dr = = 8 1 + 32 -(f-T) T £ 8 k- ( / - 3 ) -2(1-3) - ( t - T ) 3 + 4 o í— - e~<,_3) + - — 2 j \ 2 2 -2(/-3) 8 |- t - 3 e ~ (l~3) + 3—

,2

2

2(1-3)

= 20 - 4í - Se’'"0 + 4e"2(,_1) - 8<f ('~3) + 4e'2(,‘3)

y ( 0 = j Jo u ( r ) g ( t - T ) d T =

= f Q0 g ( i - T ) d r + J ^ 2 ( 4 e - (' - T> - 4 e - 2('~T)) d T +

C0NV0LUC1ÓN CONTINUA Y DISCRETA

191

= 8| e '(t~3) - - -2 (/-3 ) + 40\ e

-(t-

4) - e -('-D -( r-3 ) -2 (i- 4 ) -2 (/-3 ) - 8l 4e~<,-4) - 4 - --- 3e”('"3) + 3

2

2

= .g*-«'-» + 4e-2('-1) - 8g-('-3) + 4<f2('-3) + 8îT('-4) - 4 ^ 2('-4)

PROBLEMA 72. Respuesta de sistema continuo

Obtener la salida en el instante 10 del sistema definido por la ecuación diferencial

y + y = ú + u ante la entrada definida por:

u(t)

-2

0.5 1.5 2.5

Solución

La función de transferencia del sistema es:

y(s) s +1

G(s)

u(s) s2 + 1

Para aplicar convolución se necesita obtener la respuesta impulsional: g (t) = Asen(í) + £ c o s (0

Tomando transformadas, sumando e igualando los numeradores se obtiene: g{t) = sen(í) + cos(r)

192

PROBLEMAS RESUELTOS DE TEORÍA DE SISTEMAS

y(10) = j^«(r)g(10 -

x)dx =

= J^2(sen(10 -

x) +

cos(10 -

x))dx

+

+ (-2)(sen(10 - r) + cos(10 -

x ) ) d t

=

= 2[cos(10 -

x) -

sen(10 - r)]^ - 2[cos(10 -

x) -

sen(10 - r)]^ =

= 2(cos(8.5) - sen(8.5) - cos(9.5) + sen(9.5)) -

- 2(cos(7.5) - sen(7.5) - cos(8.5) + sen(8.5)) = -2.5752

PROBLEMA 73. Respuesta de sistema continuo

Dado un sistema cuya respuesta impulsional es:

fO 0 < t < 1

8(0

2

_{3 - t} 0 l < t < 2 2 < t < 3 t > 3

obtener la respuesta del mismo en el instante t=4 ante la entrada definida como: rl 0 < t < 2

u(t) =

0 t > 2

Solución

Utilizando la integral de convolución se tiene que:

Para calcular la integral hay que dividir el intervalo de integración en varios subintervalos, deforma que en cada uno la definición de las dos funciones sea única. En primer lugar se expresa la función u(4-r):

fl 0 < 4 - x < 2 => 2 < r < 4

u( 4 - x ) =

0 4 -t > 2 x < 2

Por lo que los intervalos de integración quedan [0,1], [1,2], [2,3],[ 3,4] y la inte­ gral final es:

CONVOLUCIÓN CONTINUA Y DISCRETA

193

y(4) = f*g(x)u(4 - x)dx - j j ) • O + j i • Odx + £ ( 3 - x) • ldr + fO ■ Idx =

= j ?2( 3 - x ) d x = - ( 3 - r ) 2 _3

= 0.5

La integral de convolución también se puede plantear de la forma:

y (4 ) = JJw (T )g(4 - x)dx

En este caso habría que plantear en primer lugar la función g(4-x):

fO 0 < 4 - r < l => 3 < r < 4 2 1 < 4 —t < 2 => 2

<

x

<

3

3 - ( 4 - t) 2 < 4 - t < 3 => 1 <t < 2

0 4 - r > 3 => t < 1

g(4 - r) = .

Por lo que los intervalos de integración quedan [0,1], [1,2], [2,3],[ 3,4] y la inte­ gral final es:

y(4) = j^u(x)g(4 - x)dx = j^(x - l)dx = 0.5

PROBLEMA 74. Motor de continua

Las ecuaciones de un motor de continua controlado por armadura son:

T = Km-ia £ = Kb - O) L a ~ ~ + R Ja + £ = U at ,do) J — + b-a) = T dt

Estando el motor inicialmente en reposo, se le somete a una entrada de la forma:

194

PROBLEMAS RESUELTOS DE TEORÍA DE SISTEMAS

Se ha medido la distancia angular total recorrida por el eje del motor, que ha sido de 20 rad.

Obtener el valor de u0 despreciando el efecto de la inductancia, y considerando la entrada exacta.

Datos: Km=0.028 Nm/A, Kb=0.0029V/rpm, J=23.5 gcm2, La=l .27mH, R*=l 1.4 Q, b =10_6Nm/rpm.

Solución

En primer lugar se obtiene la función de transferencia del motor de continua tomando transformadas de Laplace y despejando:

Lasia{s) + Raia(s) + e(s) = u(s) => ia( s ) - u(s) - K bsO(s) L„s + R. Js26(s) + bsd(s) = T(s) = K J a(s) = K,

G(s) =

L a* + R a

m K m

U(s)

(Js2 + bs)(Las + Ra) + K mK bs

Si se desprecia el efecto de la inductancia (La=0), la función de transferencia queda:

m K m

G(s) =

u(s) s(JRas + bRa + K mK b)

0.028 1045

5(2.679• 10 í + 8.8426• 10^) s(s + 33)

Como las condiciones iniciales son nulas (el motor parte del reposo), la salida del sistema se puede obtener por convolución. Para ello se obtiene en primer lugar la respuesta impulsional:

1045 31.67 -31.67 , x 01 _33?x

G is) - ... — --- + --- — =* g (0 = 3 1 . 6 7 ( 1 - , - )

s(s + 33) s 5 + 33

CONVOLUCIÓN CONTINUA Y DISCRETA

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El ángulo total recorrido es el límite cuando el tiempo tiende a infinito: lim d(t) = /í'm|31.67«0|o.01 - e~331 J™' e33tdrj^ = 0.3167«0 Como el ángulo total recorrido ha sido de 20 rad, el valor de u0 es:

0.3167w0 = 20 => m0 = 63.15 V

PROBLEMA 7 5 .Temperatura de jamón

Obtener por convolución la temperatura del jamón en el instante t=2000 seg, si partiendo de temperatura ambiente se le da un calor de entrada de 5000 W durante

1000 segundos, pasando después a cero.

Datos: Te=25°C, m,=100 W/°C, m2=20 W/°C, ca=4000 J/kg°C , c¡=6000 J/kg°C,

m = 2 0 kg , m¡=5 kg

Solución

Las ecuaciones de transmisión de calor son: dTi

^ ( T , - T,)

Como Te es constante, se toman incrementos (AT¡=T¡-Te, ATa=Ta-Te), y se obtiene un sistema lineal. Esto es equivalente a linealizar el sistema alrededor del punto de funcionamiento Qe()=0, Ta0=Tj0=25°C. El resultado es:

196

PROBLEMAS RESUELTOS DE TEORÍA DE SISTEMAS

donde se ha puesto Qe por ser Qe=AQe, al ser Qe0=0. Tomando transformadas de Laplace se tiene:

mjCjsATjis) = HyWa(s) - ^ATj(s)

macasATa(s) = Qe(s) - (/U, + fx2)ATa(s) + jU,A Tj(s)

ya que las condiciones iniciales de las variables incrementóles son nulas. Despejan­ do de las ecuaciones se obtiene la función de transferencia entre Qe y AT¡.

G(s) = A Tj(s) QeW 1 Mi + ^2 maca + —--- - m jCj Vi S + [¿ 2

que, sustituyendo valores queda:

G(s) = 4167-10-

s 2 + 4.833 ■ 10-3 s + 8.333 • 10-7

Aplicando la integral de convolución se tiene que

2000 1000

A7}(2000) - f 0Qe(r)g (2000 - r ) d r - Jo5000g(2000 - r ) d r

ya que la entrada vale 5000 hasta el instante 1000 seg y después vale 0. Para resol­ ver la integral anterior es necesario obtener la respuesta impulsional:

4 .1 6 7 -10~8

G (s) =

Qs + 4.654 • 10 -3)(s + 1.7905 • lO”4)

-4.654-10 ~31 + g e ~l.l905'10^t => g (t) = A e'

Tomando transformadas, sumando e igualando los numeradores se obtiene A= -9.31*10 *, B=9.31*10~6, por lo que la integral queda:

AT/2000) = 5000^ 000(-9.3M O -6^-4-65410"3(2000-r) +9.3M O -6e -1'7905l°"(2000-r))¿/T = 0.04655 -9 .3 0 8 ^4.654-10“3t e-0 3 5 8 1 1.790510 “4 r 4.65 4-10"3 ~ ' 1.7905-10"4

Por lo que la temperatura en el instante t=2000 seg será:

7; (2000) = Te + ATjdOOO) = 60.54°C 1000

CONVOLUCIÓN CONTINUA Y DISCRETA

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In document Problemas resueltos de Teoría de Sistemas (página 179-191)