7.1.2. Caso general
Notemos que tanto los caracteres de Hecke como las representaciones de Artin de dimen- sión 1 tienen como espacio de llegada a C×. Sabemos que el conjunto de los complejos se obtiene tomando la clausura algebraica de R, que es la completación de Q en el lugar del infinito. Esto nos dice que si uno reemplaza al lugar del infinito por uno generado por un pri- mop, debería reemplazar aCporQp. Cabe destacar que, a diferencia deC,Qpno es completo. Recordemos que cuando introdujimos la noción de representación de Galois, tomábamos un espacio vectorial V sobre un cuerpo topológico k. En el caso de representacion de Artin tomábamosk=C. El Teorema 2.1.1 nos dice que la representaciones de Artin son interesantes
pero que si trabajamos con ellas, sólo vamos a obtener información de las extensiones finitas de Q. Es por eso que hay que considerar también representaciones en espacios vectoriales sobreQp. Eso da lugar a la siguiente definición.
Definición 7.1.1. Unarepresentaciónp-ádicaes una representación de Galois conk=Qp.
Al igual que con las representaciones de Artin, nos vamos a concentrar en las representa- ciones p-ádicas de dimensión 1.
Ejemplo 7.1.2. Para K=Q ypprimo vamos a definir una representanción p-ádica
ρp :GQ →Z×p ⊆Q×p.
Para cada n ≥ 1 sea Kn = Q(ζpn), donde ζpn es la raíz pn-ésima primitiva de la unidad.
Sabemos que Gal(Kn/Q)∼= (Z/pnZ)×. Más aún, el mapa
Gal(Kn+1/Q)−−→rest Gal(Kn/Q)
está dado por la reducción módulo pn de (Z/pn+1
Z)× a (Z/pnZ)×. Luego, para cada n ≥1
tenemos definido el morfismo
ρp,n:GQ−−→rest Gal(Kn/Q)−→=∼ (Z/pnZ)×.
Por lo dicho antes, estos morfismos se “pegan” bien, i.e, ρp,n+1(σ)≡ρp,n(σ) (m´od pn) y por
lo tanto mediante ellas podemos construir una representaciónp-ádicaρp :GQ →Z×p dada por
ρp(σ)≡ρp,n(σ) (m´od pn) ∀n≥1.
Esta representación se llama caracter ciclotómico p-ádico y otra manera equivalente de definirla es la siguiente.
Notemos que dada σ ∈ GQ,σ(ζpn) es otra raíz pn-ésima primitiva de la unidad y por lo
tanto σ(ζpn) =ζpann, para algún entero an tal que 1≤an< pn con (an, p) = 1. Esto nos dice
que an es una unidad módulopn y además
σ(ζpn−1) =σ(ζppn) =ζppann =ζpann−1.
Por lo tanto, an≡an−1 (m´od pn−1). Así, podemos definir
7.2. CORRESPONDENCIA DE LANGLANDS EN DIMENSIÓNN 77
No es sorprendente que definamos comocaracter de Heckep-ádicoa un morfismo con- tinuoχ:IK →Q×p tal queχ(K×) = 1.
El Ejemplo 7.1.2 nos muestra que existen representaciones p-ádicas que no son de orden finito, aunque sí pueden definirse como límite de caracteres de orden finito. En general, si
ρ : GK → Q×p es una representanción p-ádica entonces como GK es compacto, Im(ρ) está
contenida en O×F para alguna extensión finita F/Qp (Ver [Con, Teorema 1]). Como O×F es
profinito, las representancionesp-ádicas son límites de caracteres de orden finito (al igual que antes). Por otro lado, la imagen de caracteres de Heckep-ádico también está contenida enO×F
para alguna extensiónF/Qp finita. Luego, al igual que antes tenemos una correspondencia
{Representaciones de Galoisp-ádicas de dimensión 1} ←→ {Caracteres de Heckep-ádicos}
Más información se puede ver en [Sno10]. A pesar de que Qp no es completo, cualquier representación continua cae en una extensión finita, y dichas extensiones sí son finitas, por eso no es preciso trabajar con cuerpos más generales. Lo mismo vale para espacios de dimensión finita sobreQp.
7.2.
Correspondencia de Langlands en dimensión
n
La correspondencia antes descripta da una biyección entre representaciones de Galois irreducibles de dimensión 1 (que son abelianas) y ciertas funciones del grupo de idèles. La pregunta natural es qué pasa con representaciones irreducibles de dimensión más grande. El programa de Langlands predice una correspondencia (muy explícita) para cualquier tipo de representaciones. En particular, si miramos una representación ρ : GQ → GLn(k), donde k=CoQp, entonces las mismas están en correspondencia con las llamadas “representaciones automorfas”. Éstas, son representaciones irreducibles del grupo GLn(AQ) en espacios vecto-
riales (complejos) de dimensión infinita, que satisfacen varias propiedades. Una propiedad importante, es que dichas representaciones se obtienen (por medio de un producto restringi- do) a partir de representaciones de GLn(Qv) para cada lugar v de Q. La correspondencia de
Langlands no sólo dice que ambos mundos están relacionados, sino que da información preci- sa que caracteriza unívocamente los objetos de un lado con los del otro (en el caso abeliano, el caracter local de Hecke está determinado unívocamente por su valor en el uniformizador local). Así, para dimensiones más grandes, dado un primo p no ramificado de ρ, el polino- mio característico de ρ(p,Q/Q)
determina univocamente a la representación de GLn(Qp)
correspondiente (dondepes cualquier primo que esté sobrep).
El primer caso no abeliano corresponde a mirar representaciones de dimensión 2, es decir,
ρ : GQ → GL2(k), las cuales corresponden a formas automorfas del grupo GL2, también llamadas “formas modulares”. En el caso en que la representaciónρes “impar” (esto es que la imagen de conjugación compleja tiene determinante−1), dicha correspondencia está demos- trada gracias a los trabajos de Wiles, Taylor-Wiles y la demostración de Khare-Wintenberger de las conjeturas de Serre (ver [Wil95], [Wil03] o [Win04]). El caso de representaciones pares, está completamente abierto (y debería corresponder a las llamadas formas de Maass).
Si queremos considerar grupos reductivosGgenerales (en lugar del grupo GLn), la conje-
turas de Langlands también predicen qué formas automorfas hay que considerar, pero ya las representaciones automorfas no son del grupo G(AQ), sino del grupo de Langlands asociado
78 CAPÍTULO 7. CORRESPONDENCIA DE LANGLANDS
aG(cuyo grupo de Lie subyacente es el grupo dual, obtenido al mirar el dual del retículo de raíces). Esto fue notado ya por Langlands al describir la correspondencia.
Por último, queremos mencionar que podemos reemplazar C o Qp por un cuerpo finito
k =Fq, y existe una correspondencia de Langlands en este caso también, aunque al día de
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Los abajo firmantes, miembros del Tribunal de Evaluación de tesis, damos Fe que el presente ejemplar impreso, se corresponde con el aprobado por este Tribunal