Como se ha visto en la sección anterior, un cuerpo es un anillo conmutativo con identidad en el cual todos los elementos no nulos tienen inversa respecto al producto. En esta sección daremos una introducción a los teoremas y definiciones más importantes para nuestro caso, pero le lector que desee profundizar en el tema puede consultar [13, Capítulos 6-7] o [9, Chapters 21-22].
En el ámbito de los cuerpos, dados dos cuerpos E y K, diremos que E es unaextensión de K si K es un subcuerpo deE. Se denotará escribiendo que E/K es una extensión.
Una extensiónE se puede ver como un espacio vectorialsobreK. Si la dimensión de este espacio es finita, diremos queE/K es una extensión finita y escribiremos
|E :K| =dimK(E)
Ejemplo 1.6. Extensiones de cuerpos.
Como ejemplo se tiene, por ejemplo, que R es una extensión de Q, ya que tanto R como Q son cuerpos y evidentemente Q está contenido en R. Vemos que esta extensión no es finita, ya que tenemos que √p para cierto p primo esta en R y sin embargo este elemento no se puede representar como una combinación lineal de elementos de Q.
Ces a su vez una extensión deRpor la misma razón. Veremos más adelante en el apartado1.3.1
cómo construir Ccomo una extensión finita de R.
También se puede ver lo mismo con
Si tenemos cierto elemento a ∈ E en una extensión E/K, diremos que a es algebraico sobre K si existe cierto polinomio p ∈ K[x] de manera que p(a) = 0. En el caso contrario, diremos que a es
trascendental.
Una extensión diremos que es algebraica si todos los elementos de E son algebraicos sobre K. Si tenemos cierta extensiónE/K con {a1, ..., an}elementos de E, denotaremos como F(a1, ..., an) como
la extensión más pequeña que contiene a los elementos{a1, ..., an}. SiE=K(a)para ciertoa, diremos
queE es unaextensión simple.
Ejemplo 1.7. Tenemos queR/Qno es algebraica, ya queees trascendente sobreQ(véase [15, Chapter
21]). Del mismo modo,Ces una extensión algebraica sobre R, que se puede ver en [13, Teorema 8.16].
Definición 1.29. Se define el cuerpo primo de un cuerpo K como la intersección de todos los
subcuerpos deK. Esto es una manera formal de referirse a el subcuerpo más pequeño contenido enK.
Ejemplo 1.8. Subcuerpos de Zp y Q.
Vemos que Zp no tiene subcuerpos no triviales. Esto es fácil de ver usando el teorema 1.6, ya que todo subcuerpo S de Zp tendría que satisfacer que su cardinalidad divide a la cardinalidad
de Zp. Sin embargo, al ser la cardinalidad de Zp precisamente p, un número primo, las únicas posibilidades son 0 yp, que se corresponden con los subgrupos triviales{0} y el propio Zp.
Q tampoco tiene subcuerpos no triviales. Supongamos que tenemos cierto cuerpo K ⊆Q. Como
1, tenemos también que 1 + 1 ∈K, así como −1 + (−1). Al tener 1 + 1 = 2, tenemos también su inversa multiplicativa,1/2. Podemos ver que, en general, al tener la unidad tenemos todos los n1 y sus inversas respecto a la suma y el producto. Por lo tanto, se puede ver que K =Qy por
lo tanto Qno tiene subcuerpos propios.
Teorema 1.30. Sea K un cuerpo yE su cuerpo primo, entonces existen únicamente dos posibilidades
para E:
E = Zp.
E = Q.
Demostración. Consideremos la aplicación f : Z → K de manera que f(n) = n1 = 1 + 1 + 1.... Se
puede ver quef es un homomorfismo de anillos, y por lo tanto por el teorema 1.21,ker(f) es un ideal de Z.
Si ker(f) 6= 0, entonces por el ejemplo 1.5 tenemos que ker(f) = (n) para cierto n ∈ Z. Esto
n no es otro que la característica del cuerpo K, luego por el teorema 1.15 esta tiene que ser un numero primo. Por el teorema 1.21, tenemos que Z/(p) = Zp ⊂ K, luego K contiene un
subcuerpo isomorfo a Zp. Como hemos visto en el ejemplo 1.8,Zp no tiene subcuerpos propios,
Zp es el cuerpo primo.
Siker(f) = 0, tenemos entonces que todo elemento de Zse envía a un elemento de K, y por lo
tanto podemos definir la aplicacióng:Q→K de manera que:
g(mn−1= (m1)(n1)−1
Dondem1 = 1 + 1 + 1 +· · ·
| {z }
m veces
. Esta aplicación es un isomorfismo de cuerpos y por lo tantoQ⊂K.
Por el mismo razonamiento que en el caso anterior,Qno tiene subcuerpos propios y por lo tanto
es el cuerpo primo.
Dado un polinomio p(x)∈K[x]irreducible, nos gustaría saber si existe alguna extensión E deK de manera que exista α∈E que sea una raíz dep(x), esto es, quep(α) = 0. Consideremos el cuerpo
E =K[x]/(p(x))
Que sabemos que es un cuerpo por teorema1.24 ya que(p(x))es un ideal maximal por teorema1.28. Nuestra propuesta es que este es el cuerpo que estamos buscando.
Proposición 1.31. E contiene una raíz dep(x)
Demostración. Vemos primero queE es efectivamente una extensión de K, ya que podemos definir el homomorfismo φ :K → K[x]/(p(x)) donde φ(a) = a+ (p(x)). Denotaremos a+ (p(x)) como a¯. Por teorema 1.21, la imagen deK es un subcuerpo de K[x]/(p(x)), y entoncesE es una extensión de K. Recordamos que la imagen de K es isomorfa a K, por teorema1.23.
Para ver que nuestro polinomiop(x) =a0+a1x+· · ·+anxntiene una raízα∈E, consideremosα= ¯x.
Entonces:
p(α) =a0+a1x¯+· · ·+anxn=a0+a1x+· · ·+anxn=p(x) = 0.
Recordamos que p(x) es 0 en E porque p(x) + (p(x)) = (p(x)), ya que sumar un múltiplo de p(x) a otro múltiplo de p(x) nos da a su vez un resultado que es múltiplo dep(x). Esto prueba quex¯es una raíz dep(x) en E, como queríamos demostrar.
1.3.1. Cuerpos de escisión
Hemos visto que para un polinomio irreduciblep(x)∈K[x], podemos añadir una raíz al construir una extensión de K mediante el ideal generado por p(x). Cabe preguntar si podríamos añadir todas las
raíces dep(x), esto es, encontrar un cuerpoE de manera quep(x) se descomponga en factores lineales de la forma(x−r1)(x−r2)...(x−rn)sobre el cuerpo E.
Diremos queE es elcuerpo de escisiónosplitdep(x)si existen elementosr1, ..., rnenEde manera
queE =K(r1, ..., rn) y
p(x) = (x−r1)(x−r2)...(x−rn).
Teorema 1.32. Todo polinomio f(x) tiene un cuerpo de escisión, y este es único salvo isomorfismo.
Demostración. Si el polinomio con el que trabajemos no es irreducible, lo descomponemos en factores
y reducibles y operamos sobre cada uno de ellos. De este modo, podemos suponer que el polinomio es irreducible.
Hemos demostrado anteriormente que, dado cierto polinomio p(x) ∈ K[x], podemos construir una extensión E de manera que hay un elemento r1 ∈ E que satisface que p(r1) = 0. Esto implica que, sobre E,p(x) =f(x)(x−r1) para cierto polinomiof(x), que satisfará quedeg(f(x))<deg(p(x)). Fijándonos en un factor irreducible de f(x) podremos realizar el mismo procedimiento para crear una extensión de E que contenga al menos una raíz r2 de f(x). Por lo tanto, tendremos que p(x) = f(x)(x−r1) =g(x)(x−r1)(x−r2), también condeg(g(x))<deg(f(x)).
Se puede ver que, siguiendo este proceso iterativo, vamos añadiendo raíces y reduciendo el grado del polinomio irreducible. Luego en algún momento llegaremos a cierto cuerpo en el cual nuestro polinomio se descomponga en factores de grado 1. Este será nuestro cuerpo de escisión.
Ejemplo 1.9 (C como extensión de R). Consideremos el polinomio irreducible f(x) = x2 + 1 con
coeficientes enR. Por teorema1.32, tenemos quef tiene un cuerpo de escisiónE. Evidentemente, con que añadamos una raíz de f a Rya tendremos el cuerpo de escisión, ya que deg(f) = 2.
Consideremos entonces E = R[x]/(f). Por lo que hemos visto en el teorema 1.31, E es un cuerpo y
los elementos de E tendrán la forma a+ (f) = a. Además, x es la raíz de nuestro polinomio, luego x2 =−1.
Los elementos de E no son otros que los restos de dividir por f, esto es, todos los polinomios de la formaAx+B con coeficientes en R. La multiplicación de estos elementos se realizaría de la siguiente
manera. Sean f =Ax+B yg=Cx+D, tenemos que
f g= (Ax+B)(Cx+D) =ACx2+ADx+BCx+BD
=ACx2+ (AD+BC)x+BD= (AD+BC)x+BD−AC.
Se observa que esto es idéntico a la multiplicación de números complejos, lo que no es casualidad ya que podemos ver que son cuerpos isomorfos. Consideremos la aplicación ϕ : E → C de manera que
ϕ(x) = idonde i=√−1. Es fácil ver entonces que esta aplicación es un isomorfismo de cuerpos. De este modo, C=E es una extensión sobre Ry {1, i} es una base, luego |C:R|= 2.
Para otras propiedades interesantes de los cuerpos de escisión, véase [9, Chapter 21].