Cuestiones y comportamientos esperados.

En esta sección se analizarán las cuestiones planteadas tanto en el concurso como en el examen final y los comportamientos esperados, partiendo de la base de que algunos alumnos cometerán los errores y las dificultades comentadas en el capítulo 6 de esta memoria.

Antes de comenzar con ellas, señalar dos comportamientos genéricos esperados, que a mi modo de ver eran esenciales para la buena marcha del cuestionario-concurso, como son:

• Motivación por parte de los alumnos a la hora de realizar el concurso.

• Realización de la actividad previa recomendada, repaso de ecuaciones de recta genérica y recta tangente y normal en un punto a una función.

Las cuestiones que se les plantea y sus comportamientos esperados son las siguientes: Concurso

La primera cuestión que se les plantea a los alumnos es que interpreten la expresión que permite obtener la función derivada de una función. El objetivo de esta pregunta era que se fijasen en la escritura matemática de la misma y que entendiesen su significado ma- temático y geométrico. El comportamiento esperado después de las explicaciones dadas en clase era que al menos el significado matemático si lo supieran explicar. La variable que pretendería estudiar aquí sería: V01-manejo de la expresión algebraica de la fun- ción derivada.

Con la segunda cuestión se les pide que calculen sólo un término de la anterior defini- ción para una función dada, ya que como hemos explicado en el capítulo 6, tenían pro- blemas con las operaciones algebraicas. Tras las explicaciones realizadas en clase es- perábamos que esta pregunta no supusiera un problema. La variable que pretendería estudiar aquí sería la misma que en el punto anterior: V01-manejo de la expresión alge- braica de la función derivada

90 En la tercera pregunta se les solicita escribir la expresión de la derivada en un punto, dado que en la primera pregunta les facilitábamos la expresión de la función derivada, esperábamos que no les costara particularizarla para un punto cualquiera, por ejemplo $ -. La variable que pretendería estudiar aquí sería la misma que en el punto anterior: V01-manejo de la expresión algebraica de la función derivada

La cuarta pregunta pide describir lo que está ocurriendo en una gráfica realizada con el programa informático “Geogebra” en la que se representa una función parabólica y tres rectas dos secantes y una tangente. El objetivo de esta pregunta era que practicasen con la obtención de las ecuaciones de la recta dados dos puntos y que observasen la relación entre las pendientes de las rectas secantes y la de la recta tangente. Para ello se les re- cordó el día de antes del concurso que tenían que repasar esta parte en casa. El compor- tamiento esperado era que fueran capaces de sacar las ecuaciones de las tres rectas y que fueran capaces de entender el significado geométrico de la función derivada. Las varia- bles que pretendería estudiar aquí serían: V02-manejo de las ecuaciones de la recta que pasa por dos puntos y V03-manejo de la ecuación de la recta tangente a una función en un punto

Con la quinta cuestión, en la que se solicita identificar las rectas tangente y normal en un punto dado de una función conocida, se busca que practiquen con la obtención de las ecuaciones de ambas rectas. El comportamiento esperado era que fueran capaces de obtener ambas. Las variables que pretendería estudiar aquí serían: V03-manejo de la ecuación de la recta tangente a una función en un punto y V04-manejo de la ecuación de la recta normal a una función en un punto.

En la sexta cuestión se les pide que transformen dos funciones genéricas, una racional y la otra irracional, en exponenciales y que calculen su derivada como la derivada de una función exponencial, ya que durante las clases se había observado que les costaba traba- jar de esta forma. El comportamiento esperado es que les costase ya que sí que se les había explicado con funciones concretas pero no lo dominaban y el salto a funciones genéricas podía presentarles dificultad. Las variables que pretendería estudiar aquí ser- ían: V05-manejo de las funciones exponenciales (exponentes negativos y racionales) y V06-la aplicación de la regla de derivación correspondiente.

La séptima pregunta persigue que se den cuenta del significado de la letra “u” que apa- rece en las tablas de derivadas del libro, para que se den cuenta qué tipo de funciones se les puede pedir que deriven en el examen. El comportamiento esperado es que fueran capaces de poner la mayor parte de los ejemplos. La variable que pretendería estudiar aquí sería: V07-interpretación algebraica.

En la octava cuestión se les pide en el apartado a) derivar dos tipos de funciones con las que se ha observado que tienen problemas, la primera es una polinómica que siempre confunden con un cociente de funciones y la segunda, es un producto de funciones y en una de ellas tienen que aplicar la regla de la cadena. En el segundo apartado se pretende que operen con paréntesis y fracciones, ya que durante mi etapa como observadora aprecie errores con este tipo de ejercicios. El comportamiento esperado es que los dos

91 grupos fueran capaces de realizar correctamente las operaciones ya que en la formación de los grupos se puso especial cuidado en que estuviesen integrados por persona con distintas habilidades. Las variables que pretendería estudiar aquí serían V06-la aplica- ción de la regla de derivación correspondiente y V08-facilidad para la realización de operaciones numéricas.

Con la novena pregunta se pretendía que conectaran con la parte de monotonía y máxi- mos y mínimos, del tema 11 y vieran la relación con la exigencia de que la derivada en un punto que es máximo o mínimo sea igual a 0. También se buscaba que el alumno se familiarizara con la expresión “maximizar”. El comportamiento esperado es que fueran capaces de ver los signos de las pendientes de las rectas y calcular la ecuación de la re- cta tangente. La variable que pretendería estudiar aquí sería: V03-manejo de la ecuación de la recta tangente a una función en un punto.

En la decima y última cuestión se les pide que establezcan una correspondencia entre los distintos métodos vistos en clase y su objetivo. El comportamiento esperado es que sean capaces de establecer esa correspondencia. La variable que pretendería estudiar aquí sería: V09-compresión o identificación metodología o procesos

Examen

La primera cuestión que se les plantea a los alumnos es que apliquen la definición de derivada para calcular la función derivada de una función concreta y que la particulari- cen para un punto dado. A continuación se les solicita las ecuaciones de las rectas tan- gente y normal. El comportamiento esperado tras las explicaciones dadas en clase y la corrección del cuestionario es que la mayoría de ellos fueran capaces de contestar co- rrectamente a esta primera pregunta. Las variables aquí serían: V01-manejo de la expre- sión algebraica de la función derivada y V03-manejo de la ecuación de la recta tangen- te a una función en un punto y V04-manejo de la ecuación de la recta normal a una función en un punto.

En la segunda pregunta se les pide que apliquen las reglas de derivación para la función exponencial a 4 funciones, racionales e irracionales. El comportamiento esperado tras las explicaciones dadas en clase y la corrección del cuestionario es que la mayoría de ellos fueran capaces de contestar correctamente a esta segunda cuestión. En este caso las variables serían: V05-manejo de las funciones exponenciales (exponentes negativos y racionales) y V06-aplicación de la regla de derivación correspondientes.

En la tercera cuestión se les solicita que apliquen reglas de derivación y que simplifi- quen cuando sea necesario. El comportamiento esperado es que sean capaces de contes- tar correctamente a la aplicación de las reglas de derivación de la mayoría de apartados y que tuviesen problemas a la hora de simplificar, por ello se desglosaba la puntuación de cada uno de los apartados teniendo en cuenta ambas cosas. Las variables en esta oca- sión serían: V06-aplicación de la regla de derivación correspondientes y V08-facilidad para la realización de operaciones matemáticas.

92 En la cuarta pregunta se les solicita la representación gráfica de una función concreta. El comportamiento esperado es que tengan problemas con las asíntotas, a pesar de haber corregido un ejercicio similar el día de repaso del último tema, pero que no tuvieran problemas para el resto de apartados, también esperábamos que hubiese corresponden- cia entre los resultados analíticos y su representación gráfica.V10-coherencia entre re- sultados analíticos y representación gráfica de funciones.

En la quinta cuestión se les plantea un problema de optimización El comportamiento esperado es que les costase entender el enunciado y plantear el problema, para ello hab- íamos acordado que durante el examen les íbamos a decir si estaba bien planteado o no lo estaba. Pero que no iban a tener problema en su resolución. V11-compresión lectora y planteamiento problemas.

8.5. Resultados.

Tal y cómo comentaba al comienzo de este capítulo el tamaño de la muestra que pude observar hace que los resultados obtenidos no sean representativos, por lo que voy a realizar una enumeración de las variables apuntadas en el apartado 8.4 y explicar en general los resultados obtenidos y también indicaré los resultados observados durante la explicación de la materia.

• V01-manejo de la expresión algebraica de la función derivada.

De los 8 alumnos sólo tres aplicaron en el examen correctamente la definición.

• V02-manejo de las ecuaciones de la recta que pasa por dos puntos.

Durante la ejecución del concurso ningún equipo manejó correcta- mente las ecuaciones de la recta que pasa por dos puntos. Tras el re- paso específico que se realizó tras su corrección los dos equipos fue- ron capaces de obtener correctamente las ecuaciones de las rectas so- licitadas.

• V03-manejo de la ecuación de la recta tangente a una función en un punto. Durante el concurso ningún equipo manejó correctamente la ecuación de la recta tangente a la función dada en el punto solicitado. Tras el repaso específico sólo un equipo resolvió correctamente el ejercicio. En el examen miembros de los dos equipos resolvieron correctamen- te el ejercicio en el que había que aplicar este conocimiento.

• V04-manejo de la ecuación de la recta normal a una función en un punto.

Durante el concurso ningún equipo manejó correctamente la ecuación de la recta tangente a la función dada en el punto solicitado. Tras el repaso específico sólo un equipo resolvió correctamente el ejercicio. En el examen miembros de los dos equipos resolvieron correctamen- te el ejercicio en el que había que aplicar este conocimiento.

• V05-manejo de las funciones exponenciales (exponentes negativos y racionales) Durante el concurso aunque ambos equipos fueron capaces de trans- formar las funciones racionales e irracionales en exponenciales con

93 exponentes negativos o racionales, ninguno supo aplicar correcta- mente la regla de derivación correspondiente. En el examen sólo un alumno hizo correctamente dos apartados del ejercicio en el que se solicitaba aplicación de estos conocimientos.

• V06-la aplicación de la regla de derivación correspondiente.

Sólo un par de alumnos supieron aplicar correctamente las reglas del cociente de funciones y de funciones irracionales.

• V07-interpretación algebraica.

Durante el concurso sólo un equipo supo resolver correctamente el ejercicio en el que se solicitaba este tipo de conocimiento.

• V08-facilidad para la realización de operaciones numéricas.

Durante el concurso sólo uno de los dos grupos sabe operar correc- tamente.

• V09-compresión o identificación metodología o procesos.

Ambos grupos saben identificar correctamente los procesos descritos en el concurso en la última pregunta.

• V10-coherencia entre resultados analíticos y representación gráfica de funcio- nes.

En el examen sólo un alumno realiza correctamente todos los pasos contemplados en el formulario dado en clase necesarios para la ob- tención de la representación gráfica de la función. Otros 3 siguen los pasos pero no los aplican correctamente, no existiendo coherencia en- tre lo obtenido y lo representado.

• V11-compresión lectora y planteamiento problemas.

En el examen sólo un alumno plantea correctamente el problema. La mayor parte de ellos no lo llegan ni a intentar.

En cuanto a la impartición de las clases observé:

• Que los alumnos no tomaban apuntes durante la exposición proyectada. Están acostumbrados a la técnica del dictado.

• Falta de implicación por parte de los alumnos. En varias sesiones se mandaron tareas para casa pero muy pocos eran los que las realizaban.

• Buena predisposición para hacer el concurso. 8.6. Discusión de los resultados.

Una vez resumidos en el apartado anterior los resultados obtenidos y comparados estos con los resultados esperados, podemos concluir que existe una gran diferencia entre ambos.

En cuanto a la actividad del concurso-repaso, por un lado se cumplió mi expectativa de alta motivación e implicación por parte de ellos, pero por otro los resultados demuestran que no hubo un estudio previo en casa, a pesar de que se advirtió que era necesario. Esto

94 lo constata el hecho de que una vez se les recuerda la ecuación de la recta dados dos puntos y la ecuación de la recta tangente y normal a la función en un punto y se les da una segunda oportunidad para volver a realizar los tres ejercicios relacionados con estos objetos, se obtiene una mejor puntuación final. Este mal resultado inicial se podía haber evitado con algún tipo de bonificación en la nota del examen final.

Los malos resultados tanto en el concurso como en el examen de:

V05 y V06 responde a que a los alumnos les cuesta trabajar con exponentes racionales y negativos y a la dificultad que tienen para aplicar las reglas de derivación.

V08, responde a la dificultad que tienen los alumnos para realizar operaciones numéri- cas.

V10, en la resolución de la cuarta pregunta del examen, representación gráfica de la función, lo que más me llamó la atención, fue la incoherencia que había en los exáme- nes entre los resultados analíticos y la representación gráfica.

V11, esta variable corresponde a la quinta pregunta del examen. La explicación a la falta de respuestas a esta pregunta es que muchos alumnos venían presuponiendo que no iban a ser capaces de resolverlo, ya que durante su impartición en clase fueron numero- sas las quejas en cuanto a la dificultad de este tipo de problemas.

En cuanto a la impartición de las clases concluyo que se pueden emplear las proyeccio- nes para hacer resúmenes de una forma más rápida que empleando la pizarra pero que si esta técnica se emplea para impartir clases habría que completarla con la entrega de la teoría en papel, para facilitarles el estudio en casa los puntos vistos en clase. En cuanto a la falta de responsabilidad por parte del alumno, esta puede tener múltiples causas, des- motivación hacia la asignatura, esto puede venir por la falta de contextualización de los ejercicios vistos en clase por lo que es más difícil encontrar por ellos mismos la utilidad de los nociones vistas durante la unidad didáctica, otra explicación es que no obtienen “recompensa” directa, es decir, ni con la realización de la tarea para casa ni con el con- curso obtienen bonificación para el examen por lo que al final la realización o no de los mismos es una decisión personal de cada alumno.

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Síntesis, conclusiones y cuestiones abiertas.

Síntesis

Con este trabajo fin de máster se ha pretendido hacer un análisis del tema derivadas y aplicación de las derivadas en 1º de Bachiller, desde el punto de vista del alumno. Para ello se ha realizado en la primera parte, para únicamente estas dos unidades didác- ticas, un análisis del currículo vigente así como un estudio acerca de cómo los libros de textos empleados en el centro en los cursos 3º, 4º de la ESO y 1º y 2º de bachiller, cum- plen con la legislación actual.

En la segunda parte de este trabajo, se ha analizado el caso concreto de 1º de Bachiller, opción Ciencias, y cómo afrontan los alumnos los problemas que se encuentran en estos dos temas. Analizando dos pruebas que los alumnos realizaron y extrayendo las con- clusiones que nos fue posible tanto de ellas como de las clases impartidas.

Conclusiones

Como primera conclusión es la predisposición que alcanzan los alumnos ante la nove- dad, como ha sido el caso de la realización del concurso-repaso. A pesar de los malos resultados obtenidos, creo que es algo que podría funcionar con algunas mejoras, como por ejemplo que la puntuación obtenida cuente para la nota del examen final, o realizar varios concursos durante el curso con los mismos equipos para normalizarlo en cierta forma.

La segunda conclusión es la necesidad de detectar desde el inicio los errores más fre- cuentes y comunes como eran en este caso los problemas que tenían para realizar opera- ciones numéricas, ya que para afrontar correctamente este tema es necesario que el alumno tenga cierta soltura a la hora de realizar simplificaciones.

Como tercera conclusión apuntar que estas unidades dejan de manifiesto el problema que hay con a la atomización de contenidos, ya que es un tema que se nutre de otras áreas de las matemáticas como son la geometría, el análisis, la teoría de números o el álgebra. Y durante mi observación e impartición de las clases pude constatar que les es difícil relacionar o asociar conceptos.

La cuarta conclusión es la observación de una dejación por parte del alumno a la hora de hacer actividades o tareas en casa. Considero que la principal causa como ya apuntaba en apartados anteriores es que en este centro al menos, en bachiller sólo puntúa la nota de los exámenes y no las actividades extra que se les manda a los alumnos. Es un salto

96 que se da respecto a ESO, para el que no parece que estén todos los alumnos prepara- dos, por lo que sería un aspecto a revisar.

Como última conclusión y en referencia a la primera parte de este trabajo, destacar la importante labor de análisis que ha de realizar el profesor ante el contenido de los libros elegidos en su centro.

Cuestiones abiertas

La principal cuestión es cómo se puede conseguir que el alumno se haga responsable de sus tareas, y cómo se puede conseguir que realice un estudio continuo de la asignatura. Quizá una forma sea aumentando su motivación y esto puede conseguirse a través de ejemplos de situaciones reales.

La segunda cuestión es cómo hacer que superen los errores que tienen de base, como son la operación numérica o las nociones algebraicas, para poder afrontar con éxito es- tas dos unidades.

La tercera cuestión es la conveniencia o no de atomizar los contenidos matemáticos ya que la consecuencia de la atomización es que el alumno pierda la relación que existe entre las distintas áreas.

La última cuestión es la adecuación del uso o no de proyecciones en clase a alumnos que están acostumbrados al uso de la pizarra tradicional o a la técnica del dictado, ya