59. a) El desplazamiento es positivo o negativo, según el sentido en que el móvil se desplace. b) Sí, en los instantes anteriores en el origen de tiempo se les asignan valores negativos. c) Un intervalo de tiempo es siempre positivo ya que el tiempo sólo transcurre en un sentido. 60. a) Un trasatlántico puede ser considerado un móvil puntual cuando atraviesa el océano
desde Europa hacia América.
b) Un automóvil no puede ser considerado un móvil puntual cuando hace un giro en una
rotonda o cuando aparca entre dos coches.
61. a) Dado que Δs = s – s0 y que los valores de s y s0 se intercambian por dos móviles que se desplazan sobre la misma recta en sentidos opuestos, el desplazamiento será de signo contrario.
b) El tiempo transcurrido tendrá el mismo signo para los dos móviles, dado que los va-
lores de t y t0 son los mismos.
c) La velocidad es una magnitud que tiene el mismo signo que el desplazamiento.
Así pues, las velocidades tendrán signos contrarios cuando los móviles se des-
placen en sentidos opuestos.
d) La rapidez es el módulo de la velocidad y tiene siempre valor positivo, por lo tanto la
62. El tercer gráfico posición-tiempo representa el movimiento del móvil.
El primer gráfico no puede representar el movimiento descrito ya que las posiciones
inicial y final no coinciden. La segunda no puede representar ningún movimiento dado que el tiempo inicial y final coinciden.
La tercera representa un movimiento uniforme entre dos puntos, posteriormente describe
una parada ya que se observa una recta paralela en el eje x (velocidad nula) y finalmente un
tercer tramo con velocidad constante volviendo a la posición inicial s = 0.
63. La velocidad constante se representa por una recta paralela en el eje x en el gráfico velocidad-
tiempo, el gráfico deberá tener un primer tramo con velocidad positiva, un segundo con ve- locidad nula y un tercero con velocidad negativa (ya que el móvil vuelve al punto de partida después de estar parado). El gráfico que describe el movimiento del móvil es el segundo.
64. La expresión de la aceleración media es:
am= vt= v −v0 t −t0 = 25 0 10 = 2,5 m/s 2 2,5 m/s2 = 2,5 m s2 1 km 1 000m 3 600 s 1 h 60 s 1 min=540 kmh min 65. 5 km/h s = 5 kmh s 1 000 m1 km 3 600 s1 h = 1,39 m/s2 3 000 m/min2 = 3 000 m min2 1 min 60 s 1 min 60 s = 0,83 m/s2
5 km/h s es mayor que 3 000 m/min2
66. El signo de la aceleración es el mismo que el del incremento de velocidad.
a) Positivo. Si el movimiento es acelerado Δv tiene el sentido del movimiento (positivo). b) Negativo. Si el movimiento es acelerado Δv tiene el sentido del movimiento (negativo). c) Negativo. Si el movimiento es retardado Δv tiene el sentido contrario al del mo-
vimiento (positivo).
d) Positivo. Si el movimiento es retardado Δv tiene el sentido contrario al del mo-
vimiento (negativo).
67. En los intervalos (0 < t < 1 s) y (2 s < t < 3 s) el módulo de la velocidad va disminu-
yendo: se trata de un movimiento retardado.
En los intervalos (1 s < t < 2 s) y (3 s < t < 4 s) el módulo de la velocidad aumenta
tratándose de un movimiento acelerado.
68. La velocidad del cuerpo cuando ha caído desde una altura h cumple:
v2 = 2 g h
Si la velocidad final es 2v, será:
4v2 = 2 g h’
Si dividimos la segunda igualdad por la primera, obtenemos: 4v2
Aislando h’ resulta: h’ = 4h 69. r = 4i + 9j (m); r0= −2 i + j (m); Δt = 7 s – 3 s = 4 s vm=r r0 t
=
4i +9j +2i −j 4= 1,5
i+ 2
j(m/s)
70. Si la velocidad inicial es nula o tiene la misma dirección que la aceleración, el movi-
miento es rectilíneo; en cambio, si la velocidad inicial tiene diferente dirección que la aceleración, el móvil describe una parábola en el eje de simetría de la que es paralelo al vector de aceleración. El móvil hace, en este caso, un movimiento parabólico.
Si la velocidad inicial es nula o tiene la misma dirección que la aceleración, el movi-
miento es rectilíneo; en cambio, si la velocidad inicial tiene diferente dirección que la aceleración, el móvil describe una parábola en el eje de simetría de la que es paralelo al vector de aceleración. El móvil hace, en este caso, un movimiento parabólico. a) Movimiento parabólico retardado. b) Movimiento parabólico acelerado. c) Movimiento parabólico retardado. b) Movimiento parabólico acelerado.
71. Utilizaremos la expresión del vector posición en función del tiempo para un movi-
miento uniforme: r (t) = r0 +v (t –t0) r (t) = 3 i + 7 j + (2 i − 3 j ) (t − 5) r (t) = (2t – 7) i + (−3t + 22) j (m) 72. v = v0 + a Δt =15i +20j+( 10j)t = 15 i + (20 − 10t)j (m/s) r=r0+ v0 t + 1 2a( t) 2= 8j + (15 i + 20j ) t – 5t2j = = 15ti + (8 + 20t – 5t2)j (m)
73. En el punto más alto de la trayectoria el componente vertical de la velocidad se anula,
ya que se trata de un movimiento parabólico simétrico respecto al eje vertical. El com- ponente horizontal de la velocidad se mantiene constante durante toda la trayectoria. Así pues, la velocidad del móvil en el punto más alto de la trayectoria es:
v = 30 i (m/s)
Se trata de un movimiento uniformemente acelerado, la aceleración se mantiene constante durante todo el movimiento por lo que en el punto más alto de la trayec- toria tiene un valor −10j (m/s2)
74. a) Radio de la trayectoria Diferente
b) Arco recorrido Diferente
c) Ángulo girado Igual
d) Tiempo transcurrido Igual
e) Velocidad lineal Diferente
75. ω = 40 rads 1 min60 s 2 rad1 rev = 382 rev/min
La velocidad lineal es:
v = ω r = 40 rad/s × 5m = 200 m/ s
76. En un movimiento circular uniforme no hay variación en el módulo de la velocidad
pero sí en su dirección. La aceleración puede modificar la velocidad, tanto en módulo como en dirección y sentido.
La expresión del módulo de la aceleración centrípeta es a = v2
r
Aislando v = a ×r = 10 m/s 4 m = 6,32 m/s
77. Inicialmente la aceleración centrípeta del móvil será a = v
2
r = 2,4 m/s2
a) Aumenta al doble la velocidad lineal del móvil
a1 = (2v) 2
r = 4 a = 9,6 m/s2
b) Trayectoria con radio triple
a2 = v 2 3r=
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