Definiciones y ejemplos

Uncamino

o

trayectoria

enR

n

_{es una funci´on}

_σ

_{: [a, b]→R}

n

_continua,

σ

: [a, b]

→

R

n

t

_→

(σ

1

(t), σ

2

(t), ..., σ

n

(t))

t V b y a x

(a) Camino en_R

2

_.

V b z a y t x

(b) Camino en

_R

3

_.

Caminos en

R

n

_.

Por tanto, un camino es una funci´on continua que a cadat∈[a, b] le asigna

un punto en el espacioR

n

_{.En el caso de dimensi´on 2 ´o 3, podemos imaginar un}

objeto movi´endose en el plano o en el espacio y podemos pensar en la variable

t

como el tiempo. Entonces,

σ(t) ser´a la posici´on del objeto, en el plano o en

el espacio, en cada instante

t.

Los puntosσ(a) yσ(b) son los extremos del camino;σ(a) es elpunto inicial

y

σ(b) es el

punto final.

Al conjunto de im´agenesσ(I)⊂R

n

_{se le llamacurvaotraza}

_{del caminoσ.}

V

a

V

b

b

a

Traza de

V

Elementos de una curva.

La funci´on

σ

es una

parametrizaci´on

de la curva y a

t

le llamaremos

par´ametro.

B. Campos/C. Chiralt

111

c  UJI

11 Cálculo integral - UJI

Diremos que

σ

es uncamino simplesiσ

es inyectiva en [a, b],es decir, si no

tiene autointersecciones;

σ

es un

camino cerrado

si

σ(a) =σ(b).

Finalmente,

diremos queσ

es un

camino cerrado simplesiσ

es inyectiva en [a, b] yσ(a) =

σ(b).

No simple

Cerrado y

simple

Cerrado

Distintos tipos de caminos.

’Ejemplo 3.1.

El segmento que tiene por extremos los puntospyqdeR

3

_es

la curva correspondiente al caminoσ

: [0,1]_→R

3

_{dondeσ(t) = (1−t)p+t q.}

’

Ejemplo 3.2.

Una circunferencia de radio

a

y centro (0,0) en el plano se

puede parametrizar mediante el camino:

σ

: [0,2π]_→R

2

_{, σ(t) = (acost, asint).}

Por otra parte,

µ: [0,4π]_→R

2

, µ(t) = (acost, asint)

tambi´en es un camino que parametriza la misma curva. Observemos que se

trata de una misma curva, la circunferencia, recorrida de dos veces.



’

Ejemplo 3.3.

(a) El caminoσ

:R→R

2

_{, σ(t) = (t, t}

2

_{) tiene asociada una}

curva que es la par´abolay=x

2

_,

_{es decir, coincide con la gr´afica de la funci´on}

f(x) =

x

2

_.

(b) El caminoσ

: [0,1]→R

2

_{, σ(t) = (t, t}

2

_{) tiene asociado el trozo de par´abola}

y=x

2

_{,con punto inicial (0,0) y punto final (1,1).}

Las gr´aficas de funciones continuas en el plano,

y=f(x),

son ejemplos de

curvas y podemos utilizar la parametrizaci´on

σ

:R→R

2

_{, σ(t) = (t, f(t)).}

’

Ejercicio 3.1.

Parametriza la curva que se obtiene como la representaci´on

gr´afica def(x) = 3x

3

₋2

x

3

+5 dondex∈[3,6]. (Soluci´on:σ(t) =

�

t,3t

3

₋

2 t3

+ 5



,

t∈[3,6]).

Dado un caminoσ

: [a, b]→R

n

_{,podemos expresar}

_{σ(t) como}

σ(t) = (σ

1

(t), σ

2

(t), ..., σ

n

(t)),

las funciones

σ

i

: [a, b]→Rse llamanfunciones coordenadasdeσ. Para curvas

en el plano o en el espacio utilizamos la siguiente notaci´on:

B. Campos/C. Chiralt

112

c UJI

11

Beatriz Campos / Cristina Chiralt - ISBN: 978-84-694-0641-0 Cálculo integral - UJI

Para curvas en

R

2

_{:σ(t) = (x(t), y(t)).}

Para curvas en

R

3

_{:σ(t) = (x(t), y(t), z(t)).}

Veamos a continuaci´on algunas nociones que aparecer´an a lo largo de este

tema.

Un caminoσ

esdiferenciablesi y s´olo si cada una de sus funciones coorde-

nadas es diferenciable (derivable).

Siσ

es un camino diferenciable,entonces el vector

σ



(t) = (σ

₁

(t), σ

₂

(t), ..., σ

_n

(t))

se llamavector velocidaddel caminoσent.Dicho vector es tangente a la curva

en cada punto deσ(t).

V’(t)

Vector tangente a una curva.

Se define la

rapidez

con la que se recorre el camino

σ(t) como el valor

σ



_(t).

Imaginemos

σ(t) como la trayectoria de una part´ıcula que se mueve con

rapidez

_σ



_(t).

_{Podemos calcular la longitud de la curva que describe la}

part´ıcula, aproximando dicha longitud como suma de peque˜nos recorridos

donde la rapidez no var´ıa; por tanto, cada uno de ellos ser´a el producto de

la rapidez por el tiempo. Aplicando el concepto de integral de una variable,

llegamos a que la longitud de la curva, conocida comolongitud de arco, viene

dada por:

l(σ) =



b a



σ



(t)dt

’

Ejemplo 3.4.

Veamos que para la h´elice dada por

σ

:

R

_→

R

3

_{, σ(t) =}

(cost,

sint, t) la rapidez es constante y la velocidad no.

2 0 2 2 0 2 0 5 10 15

H´elice.

Soluci´on.El vector velocidad esσ



_{(t) = (−sint,cost,1) y la rapidez en cada}

punto es

σ



_(t)=√_{2,es decir, la rapidez es constante y la velocidad no.}



B. Campos/C. Chiralt

113

c UJI

114 Cálculo integral - UJI

’

Ejemplo 3.5.

Calculemos la longitud del trozo de h´elice definido por

σ

:

[0,2π]_→R

3

_{, σ(t) = (cost,}

_{sint, t).}

Soluci´on.

La longitud viene dada por:

l(σ) =



2π 0



σ



(t)_dt=



2π 0

√

2dt

= 2√2πu.l.



Un camino diferenciable

σ

:I

_→R

n

_es

_{regularsiσ}



_(t)=0,

_∀t∈I.

En ocasiones aparecen curvas que est´an formadas por la uni´on de curvas

regulares. Para representarlas trabajaremos con caminos regulares de claseC

1

o bien

_C

1

_{a trozos. Si}

_σ

_{es un camino}

_C

1

_{a trozos formado por los caminos}

regulares

σ

1

, σ

2

,· · ·

, σ

n

, utilizaremos la notaci´on:

σ

=σ

1

+, σ

2

+· · ·+σ

n

.



Nota 3.1.

Decimos que un camino es

_C

1

_{a trozos si su derivada existe}

y es continua salvo en una cantidad finita de puntos del intervalo donde

est´a definidoI.

V

V

V

Camino

C

1

_{a trozos.}

Podemos imaginar que una part´ıcula describe un camino no regular si se

produce alguna “parada” o “retroceso”.

Seaσ

:I

_→R

n

_{un camino enR}

n

_{y seah:J}

_{⊆R→Runa funci´on de clase}

C

1

_{, conh(J) =I,}

_{tal queh}



_{(s)= 0,∀s∈J,}

_{al caminoρ=σ◦h:J}

_⊆R→R

n

se le llama

reparametrizaci´ondeσ.

Podemos pensar en una reparametrizaci´on como un cambio en la rapidez

con que se mueve un punto a lo largo de la trayectoria. Por definici´on,

h

manda extremos deJ

a extremos deI,

distinguiremos, por tanto, dos tipos de

reparametrizaci´on:

Si

h



(s)

>

0

∀s

∈

J,

la reparametrizaci´on conserva la orientaci´on del

recorrido.

Sih



_(s)<0

_∀s∈J,

_{la reparametrizaci´on invierte la orientaci´on.}

Una reparametrizaci´on de inter´es es la que nos proporciona la trayectoria

opuesta a una dada, esto es, recorrida en sentido inverso. Dado un caminoσ(t),

con

σ

: [a, b]_→R

n

_{, la trayectoria opuesta se consigue mediante la funci´on}

h: [a, b]→[a, b], h(t) =

a+b−t.

El resultado es un nuevo camino



ρ: [a, b]_→R

n

,

donde

ρ(t) =σ(a+b₋t),

es decir, se cambia la variable

t

por

a+b−t

en las ecuaciones de

σ.

B. Campos/C. Chiralt

114

c

11

Beatriz Campos / Cristina Chiralt - ISBN: 978-84-694-0641-0 Cálculo integral - UJI

’

Ejemplo 3.6.

Dado el camino

σ

: [0,2]_→

R

2

_{, σ(t) = (t, t}

2

_{+ 1),}

_{vamos a}

obtener una parametrizaci´on que invierta la orientaci´on.

Soluci´on.

La traza de este camino se encuentra sobre la par´abolay=x

2

_{+ 1.}

El punto inicial de este camino esσ(0) = (0,1) y el punto final esσ(2) = (2,5).

La parametrizaci´on de la misma curva recorrida en sentido opuesto ser´a

ρ

:

[0,2]→R

2

_,

_donde



ρ=σ(h(t)) =σ(2₋t) = (2₋t,

(2₋t)

2

+ 1).

Curvas con orientaci´on inversa.

Observamos que la segunda coordenada es el cuadrado de la primera coor-

denada m´as uno, por tanto estamos sobre la par´abola y que el punto inicial es



ρ(0) = (2,5) y el final es

ρ(2) = (0,1).



Una curva admite diferentes parametrizaciones ya que diferentes caminos

pueden definir una misma curva y nos planteamos en qu´e casos se trata de

reparametrizaciones de un mismo camino o no. Los siguientes ejemplos nos

ser´an de utilidad para entender esta idea.

’

Ejemplo 3.7.

Comprobemos que el camino

σ

: [0,1]

_→

R

2

_{, σ(t) = (t, t}

2

₎

y el camino

µ: [0,1]→R

2

_,

_{son caminos opuestos.}

Soluci´on.

El caminoσ

y el camino

µ

definen la misma curva, la porci´on de

par´abola

y

=

x

2

_{con extremos en (0,0) y (1,1);}

_{puesto que}

_µ

₌

_{σ(1−t) se}

tiene queµes una reparametrizaci´on de

σ,

de hechoµ

es el camino opuesto a

σ.

’Ejemplo 3.8.

Veamos que el caminoσ

: [−π, π]→R

2

_{, σ(t) = (−sin(}

t

2

),cos(

t 2

))

y el caminoµ: [−π, π]→R

2

_{, µ(t) = (−cos(}

t2 π

),sin(

t2

π

)),definen la misma cur-

va pero el caminoµ

no es una reparametrizaci´on del caminoσ.

Soluci´on.

El camino

σ

y el camino

µ

definen la semicircunferencia

y

=

√

1−x

2

_.

_{Pero el camino}

_σ

_{recorre la curva una vez en sentido antihorario}

desde el punto inicial (1,0) hasta el punto final (₋1,0) mientras que el camino

µ

recorre dos veces la curva, en sentido antihorario de ida desde (1,0) hasta

(−1,0),all´ı se produce una parada anul´andoseµ



,y vuelve desde (−1,0) hasta

(1,0) en sentido horario. El camino

µno es una reparametrizaci´on del camino

σ.

B. Campos/C. Chiralt

115

c

116 Cálculo integral - UJI

’

Ejemplo 3.9.

Veamos que el caminoσ

: [0,2π]_→R

2

_{, σ(t) = (cost,sint) y}

el caminoµ: [0,4π]_→R

2

_{, µ(t) = (cost,sint),}

_{definen la misma curva pero}

_µ

no es una reparametrizaci´on del camino

σ.

Soluci´on.

El camino

σ

y el camino

µ

definen la circunferencia

x

2

_+y

2

_{= 1.}

Pero el caminoσ

recorre la curva una vez y el camino

µ

la recorre dos veces.

El camino

µno es una reparametrizaci´on del camino

σ.

’

Ejercicio 3.2.

Obt´en una reparametrizaci´on de

σ

: [₋1,2]_−→R

2

, σ(t) = (t, t

2

+ 2)

que invierta la orientaci´on. (Soluci´on:µ(t) = (1−t, t

2

_{−2t+ 3),}

_−1≤t

_≤2).

Se llama

campo vectorial

a una funci´on



F

:U

⊆R

n

_−→

_R

n

x= (x

1

, ..., x

n

)

−→

F(x) = (F

1

(x), ..., F

1

(x))

que a cada vector

x

= (x

1

, ..., xn)

∈

U

le asocia un vector

F(x)

∈

R

n

,

de

modo que podemos expresar su imagen como

F(x) = (F

1(

x), ..., F

1(

x)).

Las

funcionesFi

:U

_⊆R

n

_→R

_{son lasfunciones coordenadas}

_{deF .}

R

3

F (

X

)

X

Representaci´on de un campo vectorial en

R

3

Representaremos los campos vectoriales mediante flechas correspondientes

a cada vector

F(x) con punto inicial en

x.

Este tipo de visualizaci´on es muy

´

util para representar campos de velocidades, campos de fuerzas, campos elec-

trost´aticos y otros. Por ejemplo, un fluido movi´endose por una tuber´ıa.

(c)Campo de velocidades

+

-

(d)Campo el´ec-

trico

Ejemplos de campos vectoriales.

B. Campos/C. Chiralt

116

c

117

Beatriz Campos / Cristina Chiralt - ISBN: 978-84-694-0641-0 Cálculo integral - UJI

Se llama

campo escalar

a una funci´on

f

:A

_⊆

R

n

_→R

_{que a cada vector}

x= (x

1

, ..., xn)∈A

le asocia un valor escalar,

f

:U

⊆R

n

_−→

_R

x= (x

1

, ..., xn)

−→

f(x).

Este tipo de campos nos permite representar matem´aticamente la tempe-

ratura o la densidad en cada punto de un alambre o de una l´amina, la presi´on

dentro de un fluido, el potencial electrost´atico, etc.

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