Debemos apoyar su derecho de tomar decisiones acerca de su atención

H eujeÐa twn pragmatik¸n arijm¸n, san uposÔnolo tou migadikoÔ epipèdou, mporeÐ na ek- frasjeÐ san to sÔnolo twn migadik¸n arijm¸n me mhdenikì fantastikì mèroc, dhlad  {z :

z ∈ C kai Im z = 0} = R. Me to sÔnolo twn pragmatik¸n arijm¸n eÐnai epÐshc Ðso to sÔnolo {z : z ∈ C kai z = z}. Genik¸tera, uposÔnola tou migadikoÔ epipèdou m- poroÔn na ekfrasjoÔn me katˆllhlec algebrikèc sqèseic. 'Alla paradeÐgmata eÐnai to sÔnolo

{z : z ∈ C _{kai Re z > 0} pou paristˆnei to hmiepÐpedo sta dexiˆ tou fantastikoÔ ˆxona, kai}

to {z ∈ C : Re z > 0 kai Im z > 0} pou paristˆnei to pr¸to tetarthmìrio tou epipèdou. Ac jewr soume t¸ra touc migadikoÔc arijmoÔc z me thn idiìthta |z| = 1. 'Etsi eˆn

z = x + iy oi arijmoÐ autoÐ ikanopoioÔn th sqèsh px2_{+ y}2 _{= 1   x}2 _{+ y}2 _{= 1 pou eÐnai h}

exÐswsh tou kÔklou kèntrou (0, 0) kai aktÐnac 1. Epomènwc to uposÔnolo {z ∈ C : |z| < 1} eÐnai to eswterikì tou monadiaÐou kÔklou, en¸ to {z ∈ C : |z| > 1} eÐnai to exwterikì tou monadiaÐou kÔklou. To sÔnolo {z ∈ C : |z| < r} lègetai anoiktìc dÐskoc kèntrou (0, 0) kai aktÐnac r, en¸ to {z ∈ C : |z| ≤ r} lègetai kleistìc dÐskoc kèntrou (0, 0) kai aktÐnac

r. Eˆn w eÐnai ènac stajerìc migadikìc arijmìc tìte oi arijmoÐ z pou ikanopoioÔn th sqèsh

|z − w| = r, ìpou r eÐnai ènac mh arnhtikìc pragmatikìc arijmìc, eÐnai ìloi ekeÐnoi twn opoÐwn h apìstash apì ton w isoÔtai me r, ˆra to {z ∈ C : |z −w| = r} perigrˆfei ton kÔklo kèntrou

w kai aktÐnac r. 'Etsi ta {z ∈ C : |z − w| < r}, {z ∈ C : |z − w| ≤ r}, {z ∈ C : |z − w| > r}, kai {z ∈ C : |z| ≥ r} perigrˆfoun antÐstoiqa ton anoiktì dÐsko kèntrou w kai aktÐnac r, ton kleistì dÐsko kèntrou w kai aktÐnac r, to exwterikì tou anoiktoÔ dÐskou kèntrou w kai aktÐnac r, kai to exwterikì tou kleistoÔ dÐskou kèntrou w kai aktÐnac r.

Parˆdeigma 6.6. Eˆn z0 kai z1 eÐnai migadikoÐ arijmoÐ na perigrafeÐ to sÔnolo

L = {z : z = z0+ tz1, ìpou t ∈ R}.

'Estw ìti z1 = r(cos θ + i sin θ)me −π < θ ≤ π. Tìte Arg(tz1) = Arg(z1) = θ gia kˆje

t ∈ R, epomènwc to L0 _{= {z : z = tz}

1, ìpou t ∈ R} eÐnai h eujeÐa pou pernˆei apì ta

shmeÐa 0 kai z1 (tou migadikoÔ epipèdou). Gia kˆje t ∈ R ta shmeÐa 0, tz1 z0 + tz1 kai

z0 sqhmatÐzoun parallhlìgramo sto opoÐo oi pleurèc dia twn shmeÐwn z0, z0+ tz1 kai

twn 0, tz1 eÐnai parˆllhlec. 'Ara to sÔnolo L eÐnai eujeÐa pou pernˆ apì to z0 kai eÐnai

parˆllhlh sthn L0_{,   isodÔnama L eÐnai h eujeÐa pou pernˆ apì ta shmeÐa z}

0 kai z0+ z1,

  isodÔnama h eujeÐa pou perièqei to z0 kai eÐnai parˆllhlh sto duˆnusma z1.

Parˆdeigma 6.7. Eˆn z0 kai z1 6= 0 eÐnai migadikoÐ arijmoÐ na deiqjeÐ ìti to sÔnolo

E = ½ z : Imz − z0 z1 = 0 ¾

perigrˆfei thn eujeÐa pou pernˆ apì to z0 kai eÐnai parˆllhlh sto z1.

Eˆn z ∈ E tìte Im[(z − z0)/z1] = 0, epomènwc (z − z0)/z1 = λ, gia kˆpoio λ ∈ R, opìte

z − z0 = λz1   z = z0 + λz1, dhlad  z ∈ L (Parˆdeigma 6.6). 'Etsi E ⊂ L. Epeid 

Ask seic

6.6.1 Na perigrafeÐ to sÔnolo twn migadik¸n arijm¸n pou antistoiqeÐ se kˆje mÐa apì tic peript¸seic: (i) z + z = 1, (ii) z − z = i, (iii) z + z = |z|2_.

6.6.2 Eˆn a kai b eÐnai pragmatikoÐ arijmoÐ kai a < b na perigrafoÔn gewmetrikˆ oi sqèseic: (i) a < Re z < b, (ii) a < |z| < b.

6.6.3 Na perigrafeÐ to sÔnolo twn migadik¸n arijm¸n z pou eÐnai tètoioi ¸ste |z −i| = |z +i|. 6.6.4 Na perigrafeÐ to sÔnolo twn migadik¸n arijm¸n z pou eÐnai tètoioi ¸ste |z − 4| ≥ |z|. 6.6.5 Na perigrafeÐ to sÔnolo twn migadik¸n arijm¸n z pou eÐnai tètoioi ¸ste π/4 < arg z <

3π/4.

6.6.6 Na perigrafeÐ to sÔnolo twn migadik¸n arijm¸n z pou eÐnai tètoioi ¸ste |z| = Im z + 1. 6.6.7 Pìte h exÐswsh az + bz + c = 0 paristˆnei eujeÐa?

6.6.8 H èlleiyh eÐnai o gewmetrikìc tìpoc twn shmeÐwn tou epipèdou twn opoÐwn to ˆjroisma twn apostˆsewn apì dÔo stajerˆ shmeÐa pou lègontai estÐec eÐnai stajerì.

(aþ) Na grafeÐ h exÐswsh thc èlleiyhc me estÐec touc migadikoÔc arijmoÔc z1 kai z2 kai

ˆjroisma apostˆsewn apì tic estÐec Ðso me 2c, ìpou c > 0.

(bþ) Eˆn z1 = −akai z2 = a, ìpou a eÐnai jetikìc arijmìc, na deiqjeÐ ìti h exÐswsh thc

èlleiyhc se kartesianèc suntetagmènec x kai y grˆfetai

x2

c2 +

y2

c2_{− a}2 = 1.

6.6.9 Eˆn z0 6= z1 eÐnai migadikoÐ arijmoÐ na brejeÐ o gewmetikìc tìpoc twn shmeÐwn z pou

ikanopoioÔn th sqèsh Im · z − z0 z1− z0 ¸ = 0.

6.6.10 Na brejeÐ o gewmetikìc tìpoc twn shmeÐwn z pou ikanopoioÔn th sqèsh Im · z − z0 z1 ¸ > 0.

Kefˆlaio 7

AkoloujÐec

7.1 OrismoÐ

Orismìc 7.1. Eˆn S eÐnai èna mh kenì sÔnolo tìte kˆje sunˆrthsh orismènh sto sÔnolo twn fusik¸n arijm¸n a : N → S lègetai akoloujÐa (sequence) tou S. AntÐ gia a(n) grˆfoume an. To a1 lègetai pr¸toc ìroc thc akoloujÐac, to a2 deÔteroc ìroc, ..., to an nostìc ìroc thc akoloujÐac. MÐa akoloujÐa grˆfetai san (an)∞n=1,   me parˆjesh twn ìrwn

thc a1, a2, . . . , an, . . ., n ∈ N. Eˆn S ⊂ R tìte h (an)∞n=1 lègetai akoloujÐa pragmatik¸n

arijm¸n.

Parˆdeigma 7.1. H akoloujÐa twn fusik¸n arijm¸n 1, 2, 3, . . . , n, . . . n ∈ N. Ed¸ an= n, n ∈ N.

Parˆdeigma 7.2. H akoloujÐa me ìrouc 1,1 2, 1 3, . . . , 1 n, . . . , n ∈ N eÐnai h a1, a2, . . . , an, . . . me an = 1/n, n ∈ N.

Parˆdeigma 7.3. Oi ìroi thc akoloujÐac (an)∞n=1, ìpou an= (−1)n, n ∈ N eÐnai oi −1, 1, −1, . . . , (−1)n_{, . . . , n ∈ N.}

Parˆdeigma 7.4. Eˆn c eÐnai ènac pragmatikìc arijmìc tìte mporoÔme na orÐsoume thn akoloujÐa c, c, c, . . . , c, . . . . Ed¸ eÐnai an = c, n ∈ N. H parapˆnw akoloujÐa lègetai sta-

jer  akoloujÐa.

Parˆdeigma 7.5. H akoloujÐa (an)∞n=1, ìpou an = n/(n + 1), n ∈ N èqei ìrouc

1 2, 2 3, 3 4, . . . , n n + 1, . . . , n ∈ N

Parˆdeigma 7.6. H akoloujÐa twn migadik¸n arijm¸n an = in, n ∈ N ìpou i eÐnai h

fantastik  monˆda èqei ìrouc

i, −1, −i, 1, i, −1, −i, 1 . . . , n ∈ N,

blèpe 'Askhsh 7.2.8, miˆc kai in ₌            1 eˆn n = 4k i eˆn n = 4k + 1 −1 eˆn n = 4k + 2 −i eˆn n = 4k + 3 , ìpou k = 0, 1, 2, 3, . . . .

Eˆn (an)∞n=1 kai (bn)∞n=1 eÐnai akoloujÐec pragmatik¸n (  migadik¸n) arijm¸n, tìte • _{Ja lème ìti oi akoloujÐec (a}n)∞n=1 kai (bn)∞n=1 eÐnai Ðsec eˆn an = bn, ∀n ∈ N.

• To ˆjroisma twn akolouji¸n (an)∞n=1 kai (bn)∞n=1 orÐzetai na eÐnai h akoloujÐa (cn)∞n=1,

ìpou cn= an+ bn, n ∈ N. Grˆfoume (an)∞n=1+ (bn)∞n=1= (an+ bn)∞n=1.

• To ginìmeno twn akolouji¸n (an)∞n=1 kai (bn)∞n=1 orÐzetai na eÐnai h akoloujÐa (cn)∞n=1,

ìpou cn= anbn, n ∈ N. Grˆfoume (an)∞n=1(bn)∞n=1 = (anbn)∞n=1.

•Eˆn λ eÐnai pragmatikìc (  migadikìc) arijmìc mporoÔme na orÐsoume thn akoloujÐa (λan)∞n=1

me ìrouc λa1, λa2, . . . , λan. Aut  eÐnai to ginìmeno twn akolouji¸n (an)∞n=1 kai (bn)∞n=1 me bn = λ, ∀n ∈ N. 'Etsi èqoume λ(an)∞n=1 = (λan)∞n=1. Eˆn µ eÐnai pragmatikìc (  migadikìc)

arijmìc h λ(an)∞n=1+ µ(bn)∞n=1 eÐnai h akoloujÐa me ìrouc λan+ µbn, n ∈ N. Gia λ = 1 kai µ = −1prokÔptei h diaforˆ thc akoloujÐac (an)∞n=1 apì thn (bn)∞n=1 pou eÐnai h akoloujÐa

(cn)∞n=1, ìpou cn = an− bn, n ∈ N. H akoloujÐa λ(an)∞n=1+ µ(bn)∞n=1 lègetai grammikìc

sunduasmìc (linear combination) twn (an)∞n=1 kai (bn)∞n=1.

• Eˆn f eÐnai mÐa sunˆrthsh tètoia ¸ste to f(an) na orÐzetai gia kˆje fusikì arijmì n, tìte

mporoÔme na orÐsoume thn akoloujÐa (cn)∞n=1 me th sqèsh cn= f (an), n ∈ N. Gia parˆdeigma

eˆn (an)∞n=1 eÐnai tètoia ¸ste an ≥ 0, ∀n ∈ N, tìte mporoÔme na orÐsoume tic akoloujÐec

1. (√an)∞n=1, me ìrouc √ a1, √ a2, √ a3, . . . , √ an, . . ..

en¸ eˆn an > −1, ∀n ∈ N, tìte mporoÔme na orÐsoume tic akoloujÐec

2. (1/(an+ 1))∞n=1, me ìrouc 1/(a1 + 1), 1/(a2+ 1), 1/(a3+ 1), . . . , 1/(an+ 1), . . ..

3. (ln(an+ 1))∞n=1, me ìrouc ln(a1+ 1), ln(a2+ 1), ln(a3+ 1), . . . , ln(an+ 1), . . ..

Eˆn bn 6= 0, ∀n ∈ N orÐzoume to phlÐko (an)∞n=1 dia (bn)∞n=1 me th sqèsh

(an)∞n=1 (bn)∞n=1 = (an)∞n=1 µ 1 bn ¶_∞ n=1 = µ an bn ¶_∞ n=1 .