Definición del área de soporte

En principio se realizan ciertas definiciones que ayudan a establecer los tipos de caminado. Se define el área de soporte G como el más grande Polígono formado por las esquinas exteriores de la región que se encuentra en contacto con el piso (los pies), donde: y

[

2

G⊂ ℜ

]

0, 0 T ⊂G.

Definiremos tres tipos: el simple soporte, el doble soporte y no apoyo.

El simple soporte considera el contacto de un solo pie sobre el piso y cuya área de soporte se define como a’ * a tal y como se muestra en la siguiente figura. Nótese que el pie del robot en un principio se diseño cuadrado con una dimensión de a como lado. Sin embargo en las pruebas experimentales los pies chocaban entre sí. Para solucionar este problema se cortó material del pie quedando con una geometría rectangular.

Figura 92. Área de Simple Soporte.

El doble soporte considera el contacto de ambos pies separados por una distancia b y donde el área de soporte doble es calculada como (2a + b)a’ según se muestra en la siguiente figura. La distancia b es la separación estructural que existen entre los dos pies de MAYRA.

Figura 93. Área de Doble Soporte con los pies alineados.

También existe otra forma de área de soporte doble denominado como Desfasado y se construye cuando los pies no están alineados como se mostró en la figura anterior. En este caso el área de soporte es (2a' + c)(2a + b) y se obtiene de la siguiente figura, en donde c es la distancia de separación entre los dos pies al pretender caminar hacia adelante.

Figura 94. Área de Doble Soporte con los pies desfasados.

La tercera es conocida como de no apoyo en donde los 2 pies pierden por un instante de tiempo el contacto con el suelo por ejemplo al correr. Este tipo de soporte no será utilizado en este trabajo de tesis.

Existen varias posturas que permiten lograr que la proyección normal del centro de masa

del robot se encuentre en el centro del área de la región de soporte. La primera de esas posturas es la de erguido y en la siguiente figura se muestra en dos vistas, del lado izquierdo a) como frontal y del lado derecho b) como lateral.

Figura 95. Postura Erguida en vista frontal y lateral.

La siguiente postura se denomina como balanceada lateralmente y se genera cuando se levanta una de las piernas para caminar. En la siguiente figura se muestra dicha postura en dos vista, del lado izquierdo a) la frontal y del lado derecho b) como lateral:

Figura 96. Postura de Balance Lateral en vista frontal y lateral.

La siguiente postura se denomina balanceada lateralmente con el pie adelante y como se puede apreciar en la siguiente figura, la proyección normal del centro de masa también cae sobre el área de simple soporte ubicada en el pie izquierdo. La parte izquierda a) muestra la vista frontal y la derecha b) la vista lateral.

Figura 97. Postura de Balance Lateral con el pie adelante en vista frontal y lateral.

La siguiente postura muestra una posición de área de soporte doble desfasada con el pie adelantado. Se puede observar en la vista frontal a) y la lateral b) que la proyección normal del centro de masa cae sobre el área de soporte.

Figura 98. Postura de doble soporte con el pie adelante en vista frontal y lateral.

7.2. Modelado del bípedo como un péndulo invertido simple

Un robot de tipo humanoide se puede representar (de forma muy simplificada) como un

péndulo invertido simple cuya masa total está concentrada en su centro de masa, el cual permanece a una cierta distancia d del piso. En la siguiente figura se puede observar desde una vista lateral dicha representación, donde del lado izquierdo se observa el robot con sus parámetros correspondientes y a la derecha se muestra la representación final.

Figura 99. Representación lateral del robot como péndulo invertido.

La distancia d se mide desde el piso hasta el centro de masa del robot. Esta distancia puede cambiar en función de la postura que adquiera por ejemplo, se puede bajar el centro de masa si se flexionan las rodillas. Por otro lado, si el robot se inclinara ligeramente un cierto ángulo hacia adelante entonces existiría una componente del peso w que podría volcar al robot. En la siguiente figura se muestra θ que es el ángulo que forman el centro de masa CM y el centro geométrico del área de soporte. De esta forma podemos decir que la torca que provocaría la volcadura del robots es: Ts=wdsin(θ)

Para entender la locomoción de un robot bípedo se define x como el desplazamiento que realiza la proyección normal del centro de masa PNCM del robot hacia la derecha o izquierda sobre el área de soporte del pie. Se define y como el desplazamiento que realiza la

PNCM del robot hacia arriba o abajo sobre el área de soporte del pie tal y como se muestra en la siguiente figura.

Figura 101. Representación de los desplazamientos x,y sobre el área de soporte del pie.

Decimos que el robot estará en equilibrio estático si Ts tienden a cero (es decir que el centro de masa no sufre un par que lo haga volcarse). Intuitivamente sabemos que existe una región V alrededor del centro del área de soporte, V , dentro de la cual la PNCM

debe permanecer para que el robot se encuentre en equilibrio estático.

G

⊂

Definimos a S(V) como la frontera del espacio V. Intuitivamente sabemos que si la PNCM

se aproxima a la frontera S(V) entonces el robot está críticamente equilibrado (es decir, a punto de caer). Si la PNCM se ubica fuera de la región V entonces el robot tiende a caer porque Ts ya no es cero. En las siguientes figuras se muestra el área de soporte del pie y la región hipotética de V en donde se puede ubicar la PNCM.

Figura 102. Representación frontal de la distancia recorrida por el robot.

Figura 103. Región Intuitiva de V en Doble Soporte.

Bajo estas consideraciones se define que una postura es estáticamente estable si Ts es nulo

PN . Decimos también que una postura es estáticamente estable si la PNCM del robot cae exactamente dentro del área V. Finalmente decimos que una postura es

estáticamente inestable si PNCM

( )

CM →S V

V

∉ pues existe una componente del peso, Ts no nulo,

que podrá volcar al robot.

Cuando el robot comience a caminar existirá una torca inercial, Td, no nula que también

afectará al centro de masa y que depende de la velocidad a la que se desplaza el robot. Velocidades elevadas produciran esfuerzos elevados que tenderán a volcar al robot. Inversamente, velocidades muy lentas produciran esfuerzos pequeños que dificilmente podrán volcar al robot.

Un tercer esfuerzo que afecta al CM del robot es el producido por los propios motores del robot, Tm.

En resumen, sabemos que existen tres tipos de esfuerzos que afectan al CM, unos estáticos

Ts, debidos al peso del robot, y otros dinámicos (Td, Tm), debidos a la inercia causada por el

movimiento y los motores. El esfuerzo total es la suma algebraica de ellos. Podemos entonces decir que:

m d

Jθ T T T

••

s

= + +

donde: J es la masa inercial del robot dependiente de su masa total y θ es la posición angular del CM respecto al centro del área de soporte

Según la investigación realizada en este trabajo de tesis, existen cuatro diferentes tipos de caminado para un robot bípedo [19, 20, 40, 41, 50, 51, 52]: estático, dinámicamente pasivo, quasi-dinámico y puramente dinámico. A continuación se realiza una breve descripción de cada uno de ellos.

En el caminado estático, conocido también como estáticamente estable, el movimiento del robot es muy lento de tal manera que los esfuerzos que afectan el CM son mayoritariamente debidos al peso [19, 20, 41,51]. Este es el caminado más sencillo de construir y por lo tanto el que se utiliza para el prototipo MAYRA. Más adelante se describen a detalle las características de este caminado.

El caminado dinámicamente pasivo utiliza la fuerza de gravedad además de las inercias para mover sus articulaciones y desplazarse. No requiere de ningún tipo de intervención tanto de actuadores como del sistema de control.

En los caminados dinámicos, generalmente se hace referencia a un concepto llamado punto de cero momentos “ZMP” (Zero Moment Point) [50] y es el punto donde la combinación de fuerzas de gravedad e inercia que actúan sobre el cuerpo del robot intersectan con el piso. Durante un movimiento dinámico normalmente este punto puede estar en las afueras del área de soporte sin que el robot se caiga. Este tipo de caminado es muy similar al estático a excepción de pequeños periodos de tiempo en los que el robot tiende a ser inestable [50].

De forma simplificada podemos decir que el robot está cayendo durante instantes cortos. El robot podrá volcarse a menos que los pies estén posicionados correctamente y a tiempo para impedir la caida.

En el caminado puramente dinámico (sin pies ni tobillos) el área de contacto durante la fase de simple soporte se reduce a un punto eliminando la posibilidad de lograr un caminado estático. Es decir, lo utilizan robots que no tienen ni pies ni tobillos como por ejemplo los robots brincadores del MIT [22].

Un bípedo dinámicamente estable es aquel que se mueve por posiciones inestables conforme da sus pasos y deberá planear y corregir inteligentemente sus movimientos para asegurar una estabilidad. Durante su locomoción el ZMP [50] puede moverse fuera del área de soporte por un periodo finito de tiempo.

Un caminado se denomina flexible [20] si no requiere de pausas intermedias entre diferentes tipos elementales de caminado (hacia delante, hacia atrás, girando a la izquierda, pivotando sobre su eje, etc). Estos caminados requerirán de técnicas de control predictivo

para anticiparse a posturas requeridas. Para ejemplificar esta idea, considerese el caminado que una persona realiza para girar en una esquina, ella mueve su centro de gravedad hacia la parte central del giro anticipadamente. A continuación se muestran dos secuencias de caminados, una rígida y otra flexible:

Caminado recto Pausa Giro Pausa Caminado Recto Caminado recto Giro Caminado Recto

Antes de comenzar de lleno con el caminado estáticamente estable es necesario señalar las fases de las que se compone un caminado. Según las fuentes revisadas, se compone de dos fases alternadas: fase de simple soporte y fase de doble soporte.

La primera se presenta cuando solo un pie está en contacto con el piso. El pie que se encuentra en contacto con el piso recibe el nombre de Pie de Soporte y es de primordial importancia para evitar que el robot se caiga. Al otro pie se le denomina como el Pie Que Realiza Un Swing. Durante esta fase el área V es pequeña por lo que se busca en todo momento que NPCM →

[ ]

La segunda se denomina fase de doble soporte y se presenta cuando ambos pies se encuentran en contacto con el piso. El área de soporte se incremeta y por lo tanto el área V

es más grande. Durante esta fase se tienen mayores posibilidades de mover la PNCM sin que el robot se caiga, por lo tanto se buscará mover la PNCM desde un punto inicial Pi

hasta otro punto final Po, ambos dentro de V. El punto inicial debe coincidir con la posición

del centro geométrico de una fase previa de simple soporte y el punto final debe coicidir con el centro geométrico de una fase posterior de simple soporte.

Figura 104. Recorido del PNCM desde un punto Pi hasta Po.