Degeneraci´ on de tipo II

En este tipo de degeneraci´on, (al menos) un autovalor de Alfv´en coincide con uno o dos autovalores magnetos´onicos (v´ease la Fig. 4.5). Debemos resaltar que en MHD cl´asica, cuando uno de los autovalores de Alfv´en presenta esta degeneraci´on, le ocurre lo mismo al otro autovalor. Sin embargo, esto deja de cumplirse en RMHD y podr´ıamos tener este tipo de degeneraci´on en uno solo de los autovalores de Alfv´en.

Si recordamos la funci´on obtenida al sustituir un autovalor de Alfv´en en N4,

ec. (4.84), vemos que esta funci´on se puede anular por dos motivos, dependiendo de cu´al de los dos factores, a o bt, se anule. El primer caso, a = 0, implica que

λa = vx y corresponder´ıa a la degeneraci´on de tipo I ya estudiada. La otra

alternativa, el que el tetravector campo magn´etico transversal al frente de onda de Alfv´en, bt, sea nulo, es la que caracteriza la degeneraci´on de tipo II. Esta

condici´on se puede expresar en t´erminos de bn, imponiendo que bn= b, que es

equivalente a

b2= B

2

G + a2, (4.89)

donde todas las cantidades se han calculado para el autovalor de Alfv´en consid- erado, λa.

Geom´etricamente, la condici´on anterior significa que el tetravector campo magn´etico es paralelo a la direcci´on de propagaci´on de la onda de Alfv´en en el sistema com´ovil, lo que es equivalente a decir que los tetravectores velocidad, campo magn´etico y vector de ondas para la onda de Alfv´en son coplanarios.

Para concluir nuestro an´alisis sobre la degeneraci´on de tipo II, debemos discernir entre aquellos casos en los que el autovalor de Alfv´en se iguala al

Figura 4.5: Ejemplo de las funciones a2_AN

4 y N4 bajo la degeneraci´on de tipo

II. Se ha tomado el estado definido por ρ = 1.0,  = 1.0, vx_{= 0.0, v}y_{= 0.0, v}z₌

0.0, Bx_{= 100.0, B}y_{= 0.0, B}z_{= 0.0. Los autovalores son: λ}

f = λa= ±0.99987,

λs= ±0.6545, λe= 0.0. Los rombos marcan los autovalores magnetos´onicos y

Figura 4.6: Ejemplo de degeneraci´on de tipo II. Autovalores en funci´on de la energ´ıa interna espec´ıfica,  para el estado definido por ρ = 1.0, vx _{= 0.0,}

vy_{= 0.0, v}z_{= 0.0, B}x_{= 1.0, B}y_{= 0.0, B}z_{= 0.0. Los autovalores de Alfv´en se}

han representado con l´ınea continua, los magnetos´onicos lentos con rombos y los r´apidos con tri´angulos. Finalmente, el autovalor entr´opico se ha representado con cruces. Al aumentar la energ´ıa interna espec´ıfica se observa la degeneraci´on de los autovalores de Alfv´en primero con los magnetos´onicos r´apidos, luego con los r´apidos y los lentos y, finalmente, s´olo con los lentos.

magnetos´onico lento, al r´apido o a los dos simult´aneamente. A fin de realizar este an´alisis, estudiaremos primero el caso en el que la velocidad del fluido es cero, lo que nos permitir´a caracterizar en forma covariante los distintos subcasos y a continuaci´on estudiaremos el caso en el que el fluido se mueva con una cierta velocidad.

Consideremos una onda propag´andose en la direcci´on del eje x. Si la veloci- dad del fluido es cero, la condici´on de degeneraci´on de tipo II (4.89), conduce a

bµ= (0, bx, 0, 0). (4.90)

Como en el caso cl´asico, el campo transversal a la direcci´on de propagaci´on de la onda es nulo y los dos autvalores de Alfv´en sufren degeneraci´on. Adem´as, las expresiones de todos los autovalores son expl´ıcitas, obteni´endose el autovalor entr´opico

λe= 0, (4.91)

los autovalores de Alfv´en

λa = ±

r (bx₎2

E , (4.92)

donde E = ρh + b2_{. Finalmente, los cuatro autovalores magnetos´onicos los}

obtendremos resolviendo la ecuaci´on bicuadrada

λ4− λ2  Ω2+(b x₎2_c2 s E  +(b x₎2_c2 s E = 0, (4.93) con Ω2_{= c}2

s+ c2a− c2sca2, siendo c2a= b2/E y csla velocidad del sonido. As´ı, los

dos autovalores magnetos´onicos lentos son

λs= ± r 1 2d 2_{− (d}4_{− 4v}2 ac2s)1/2  (4.94) y los dos autovalores magnetos´onicos r´apidos

λf = ± r 1 2d 2_{+ (d}4_{− 4v}2 ac2s)1/2, (4.95) donde d2_{= c}2 s+ c2a+ c2s(v2a− c2a) y va2= (bx)2/E.

Analizando las expresiones anteriores llegamos a las siguientes condiciones que permiten discernir entre los diferentes subcasos de degeneraci´on de tipo II (ver Fig. 4.6):    Subcaso 1: ca> cs, entonces λf = λa Subcaso 2: ca< cs, entonces λs= λa Subcaso 3: ca= cs, entonces λf = λa= λs. (4.96)

Las condiciones que hemos escrito involucran magnitudes escalares y, por tanto, son condiciones manifiestamente covariantes que nos permiten saber en qu´e caso de degeneraci´on nos encontramos independientemente de cu´al sea la velocidad del fluido.

Hay que se˜nalar, sin embargo, que si la velocidad del fluido es cero, lo que ocurra con un autovalor de Alfv´en ocurrir´a con el otro ya que todos los auto- valores se distribuyen sim´etricamente con respecto al entr´opico, que vale cero. Esto no ocurrir´a en el caso en que dicha velocidad no sea cero como veremos a continuaci´on.

El que el campo magn´etico transversal a la direcci´on de propagaci´on de la onda medido por el observador com´ovil sea nulo es condici´on necesaria para que un autovalor magnetos´onico est´e degenerado con un autovalor de Alfv´en. Para ver en qu´e condiciones dicho campo magn´etico puede anularse recordaremos su definici´on (ecuaci´on (4.74)) bµ_t = u 0_{− λu}x α11α22− α212  (g2α22− g1α12) αµ1+ (g1α11− g2α12) α2µ  . (4.97)

En la expresi´on anterior, los coeficientes g1 y g2 son

g1= bz(u0− λux_{) + b}x_uz_{λ − b}0_uz u0_{− λu}x = B z₊ v z_λ 1 − λvxB x_{, (4.98)} g2= by_(u0_{− λu}x_{) + b}x_uy_{λ − b}0_uy u0_{− λu}x = B y₊ vyλ 1 − λvxB x_{. (4.99)}

La ecuaci´on que plantea la anulaci´on de bt es lineal en λ, por lo que s´olo para

un autovalor magnetos´onico el observador com´ovil medir´a campo magn´etico transversal a la direcci´on de propagaci´on de la onda nulo. Por otro lado, del an´alisis de la ecuaci´on anterior se sigue tambi´en que la ´unica posibilidad para que btse anule para las cuatro ondas magnetos´onicas es que By= Bz= vy =

vz_{= 0.}

Hasta aqu´ı, simplemente analizando el cumplimiento de la condici´on nece- saria referida a la anulaci´on del campo magn´etico transversal, hemos podido concluir que para el caso general de un fluido en movimiento habr´a degen- eraci´on para un ´unico autovalor de Alfven. Consideremos ahora la ecuaci´on que define N4, ec. (4.41), para el autovalor magnetos´onico con bt= 0. Tras algunas

manipulaciones algebraicas, dicha ecuaci´on puede escribirse en t´erminos de bt

como N4= 1 c2 s A(a2_{− (a}2_{+ G)c}2 s) − b2ta2(a2+ G)(1 − c2s) . (4.100)

N4= 1 c2 s Aa2_{− (a}2_{+ G)c}2 s , (4.101)

de la que podemos concluir que el autovalor magnetos´onico en cuesti´on puede estar degenerado con el autovalor de Alfven (si verifica A = 0) o puede, incluso, no estar degenerado (si verifica a2_{− (a}2_{+ G)c}2

s= 0). Es decir, la condici´on de

que btsea nulo para un autovalor magnetos´onico es condici´on necesaria pero no

suficiente para que dicho autovalor est´e degenerado con un autovalor de Alfven. Finalmente, dado que acabamos de probar que, en general, s´olo podr´a haber un autovalor magnetos´onico degenerado, cabe preguntarse si en el caso de un fluido en movimiento, podr´a darse la doble degeneraci´on descrita por el subcaso 3 para un fluido en reposo. Para que esto pueda darse, el mismo autovalor deber´a anular a la vez A y a2− (a2_{+ G)c}2

s. S´olo as´ı el autovalor ser´a una ra´ız

doble de N4. Consideremos un autovalor magnetos´onico para el que bt = 0 y

que cumple A = 0. Entonces, puede deducirse que

a2= b 2_G ρh . (4.102) Sustituyendo el valor de a2 en a2− (G + a2_)c2 s = 0 y recordando la definici´on de E, llegamos a: c2_s=b 2 E(≡ c 2 a), (4.103)

condici´on que coincide con la encontrada en el caso del fluido en reposo. Llegados a este punto merece la pena recapitular y recordar los elementos esenciales del an´alisis de la degeneraci´on de tipo II que acabamos de hacer:

• Para que se d´e una degeneraci´on de tipo II, el campo magn´etico tangencial al frente de onda de Alfv´en medido por el observador com´ovil debe ser cero. Por contra, la degeneraci´on de tipo I se da cuando se anula la componente normal.

• Desde un punto de vista geom´etrico, la degeneraci´on de tipo II se caracter- iza por el hecho de que los tetravectores u, b y φ son coplanarios (mientras que en la degeneraci´on de tipo I, b es ortogonal al plano definido por u y φ).

• Para que un autovalor magnetos´onico presente degeneraci´on de tipo II es condici´on necesaria que el campo magn´etico tangencial al frente de onda medido por el observador com´ovil sea cero, aunque no es condici´on suficiente.

• La degeneraci´on de un autovalor de Alfv´en no implica la degeneraci´on del otro autovalor de Alfv´en, salvo que estemos en el caso en que el campo y las velocidades s´olo tengan componentes en la direcci´on x.

• En el caso de que el campo magn´etico y las velocidades s´olo tengan com- ponentes en la direcci´on x (es decir, By = Bz = vy = vz = 0), habr´a, en

general, dos autovalores magnetos´onicos degenerados. Adem´as, los otros dos no degenerados verificar´an

a2− (G + a2_)c2

s= 0. (4.104)

• La degeneraci´on de los vectores magnetos´onicos puede caracterizarse me- diante la comparaci´on de las velocidades del sonido, cs, y de Alfv´en, ca, en

el estado correspondiente de forma que: si ca> cs, entonces el autovalor

magnetos´onico degenerado con el de Alfv´en es un autovalor magnetos´onico r´apido; si ca < cs, entonces el autovalor magnetos´onico degenerado con el

de Alfv´en es uno lento; y si, finalmente, ca = cs, entonces hay una triple

degeneraci´on.

Para acabar, s´olo nos resta comprobar que no existe ning´un caso de de- generaci´on m´as all´a de los tipos I y II ya discutidos. Seg´un la ordenaci´on de autovalores vista en la secci´on anterior, el ´unico caso que restar´ıa por analizar es aquel en el que λs = λe. Sin embargo, como hemos visto, ello s´olo puede

ocurrir si Bx_{= 0, con lo que estar´ıamos en la degeneraci´on de tipo I.}