Proposici´on 6.1.7.
1. SiFes un conjunto no vac´ıo de funciones, entonces∩F∈FF es una funci´on. 2. Si F es un conjunto de funciones tal que, para cada F, G ∈ F, existe un
H ∈ F tal queF∪G⊆H, entonces ∪F∈FF es una funci´on.
Demostraci´on. Es evidente que∪F∈FFes una funci´on. Ahora bien, para demostrar que Dom(∪F∈FF) =∪{Dom(F)|F∈ F }e Im(∪F∈FF) =∪{Im(F)|F ∈ F }, hemos de establecer previamente que existen los conjuntos {Dom(F) | F ∈ F } y {Im(F)| F ∈ F }, pero ´eso ya fu´e demostrado, en el caso de los conjuntos de relaciones, aplicando las instancias adecuadas del esquema axiom´atico de reemplazo.
Proposici´on 6.1.8. SeanF yGdos funciones. Entonces una condici´on necesaria y suficiente para que F∪Gsea una funci´on es que:
FDom(F)∩Dom(G) =GDom(F)∩Dom(G).
Corolario 6.1.9. SeanF yGdos funciones. SiDom(F)∩Dom(G) =∅, entonces F∪Ges una funci´on.
Demostraci´on.
Si F es una funci´on, entonces F−1 es, con toda seguridad una relaci´on, pero no es, en general, una funci´on. La proposici´on que sigue establece una condici´on necesaria y suficiente para que la relaci´on inversa de una relaci´on sea tambi´en una funci´on.
Proposici´on 6.1.10. SeaF una funci´on. Una condici´on necesaria y suficiente para queF−1sea una funci´on es queF sea inyectiva, i.e., que, para cadax, y∈Dom(F),
si x̸=y, entoncesF(x)̸=F(y).
Demostraci´on.
Proposici´on 6.1.11. Sean Ay B dos conjuntos. Entonces hay un ´unico conjun- to cuyos miembros son exactamente aquellas funciones F para las que se cumple que Dom(F) ⊆A e Im(F)⊆ B. Denominamos a tal conjunto el conjunto de las funciones parciales deAen B y lo denotamos porPfnc(A, B).
Demostraci´on. Es suficiente tomar como Pfnc(A, B) el conjunto definido como:
Pfnc(A, B) ={F ∈Sub(A×B)| ∀x∈A∃≤1y∈B((x, y)∈F)}
Ejercicio 6.1.12. Demu´estrese que hay cuatro conjuntosA, B,A′ yB′ tales que (A, B)̸= (A′, B′), pero que Pfnc(A, B)∩Pfnc(A′, B′)̸=∅.
En ciertos contextos matem´aticos, e.g., en la teor´ıa de la recursi´on, es necesaria una noci´on m´as fina que la de funci´on parcial, en la que ocurra expl´ıcitamente, tanto el conjunto que contiene al dominio de definici´on de la funci´on parcial en cuesti´on, como el que contiene a la imagen de la misma, debido a que hay funciones parciales recursivas que no admiten ninguna extensi´on hasta una funci´on recursiva, en la que el dominio de definici´on de la misma coincida con el conjunto en el que est´a incluido.
Definici´on 6.1.13. Sean A y B dos conjuntos. Una aplicaci´on parcial de A en B es un triplo ordenado f = (A, F, B), denotado porf:A /B, en el que F es una funci´on parcial deAenB, denominada lafunci´on parcial subyacentedef. Al conjunto de las aplicaciones parciales de AenB lo denotamos por Homp(A, B), y
es el conjunto
Homp(A, B) ={A} ×Pfnc(A, B)× {B}.
En particular, a las aplicaciones parciales de AenAlas denominamos endoapli- caciones parciales deA, y al conjunto de todas ellas lo denotamos por Endp(A)
Adem´as, siguiendo el h´abito categorial, al conjunto A de la aplicaci´on parcial f = (A, R, B) lo denominamos el dominio def y lo denotamos por d0(f), y alB
elcodominio def y lo denotamos por d1(f).
En general, d0(f) ser´a distinto del dominio de definici´on de la funci´on parcial
F deA enB, subyacente de la apicaci´on parcial f, y tambi´en d1(f) lo ser´a de la
imagen de F.
Proposici´on 6.1.14. SeanA,B,A′ y B′ cuatro conjuntos. Si (A, B)̸= (A′, B′), entonces Homp(A, B)∩Homp(A′, B′) =∅
Proposici´on 6.1.15. Sean Ay B dos conjuntos. Entonces hay un ´unico conjun- to cuyos miembros son exactamente aquellas funciones F para las que se cumple que Dom(F) = A e Im(F)⊆ B. Denominamos a tal conjunto el conjunto de las funciones deAen B y lo denotamos porFnc(A, B)o porBA.
Demostraci´on. Es suficiente tomar como Fnc(A, B) el conjunto definido como: Fnc(A, B) ={F ∈Pfnc(A, B)|Dom(F) =A}
As´ı pues, el conjunto de las funciones deA enB consta precisamente de todos los subconjuntos F deA×B tales que para cadax∈A, hay un ´unicoy ∈B tal que (x, y)∈F
Ejercicio 6.1.16. Demu´estrese que hay cuatro conjuntosA, B,A′ yB′ tales que (A, B)̸= (A′, B′), pero que Fnc(A, B)∩Fnc(A′, B′)̸=∅.
Definici´on 6.1.17. SeanA yB dos conjuntos. Una aplicaci´on de A en B es un triplo ordenadof = (A, F, B), denotado porf:A //B, en el queFes una funci´on
deAenB, denominada lafunci´on subyacente def. Al conjunto de las aplicaciones
deA enB lo denotamos por Hom(A, B), y es el conjunto Hom(A, B) ={A} ×Fnc(A, B)× {B}.
En particular, a las aplicaciones de A en A las denominamos endoaplicaciones
deA, y al conjunto de todas ellas lo denotamos por End(A).
Adem´as, siguiendo el h´abito categorial, al conjunto A de la aplicaci´on f = (A, R, B) lo denominamos el dominio de f y lo denotamos por d0(f), y al B el
codominio def y lo denotamos por d1(f).
En general, d1(f) ser´a distinto de la imagen de la funci´onF deAenB, subya-
cente de la aplicaci´onf.
Observemos que una aplicaci´on deAenBtambi´en se puede definir, alternativa, pero equivalentemente, como un par ordenadof = (F, B) en el queFes una funci´on
deA enB, ya queA= Dom(F).
Proposici´on 6.1.18. SeanA,B,A′ y B′ cuatro conjuntos. Si (A, B)̸= (A′, B′), entonces Hom(A, B)∩Hom(A′, B′) =∅
Demostraci´on.
Observemos que una aplicaci´on deAenB tambi´en podr´ıa ser definida, simple- mente, como un par ordenado f = (F, B), denotado por f:A //B, en el queF es una funci´on deAenB, debido a queA coincide con Dom(F).
Proposici´on 6.1.19. SeanA y B dos conjuntos. Entonces se cumple que: 1. Fnc(A, B)⊆Pfnc(A, B).
2. Pfnc(A, B)⊆Rel(A, B). 3. Hom(A, B)⊆Homp(A, B).
4. Homp(A, B)⊆Homnd(A, B).
Adem´as, en general, las inclusiones inversas no se cumplen.
Demostraci´on.
Proposici´on 6.1.20. Si F yG son dos funciones. Entonces: 1. G◦F es una funci´on.
2. Dom(G◦F) ={x∈Dom(F)|F(x)∈Dom(G)}. 3. Para cada x∈Dom(G◦F),G◦F(x) =G(F(x)).
Ejercicio 6.1.21. Demu´estrese que siF yGson dos funciones, entonces Dom(G◦F) = Dom(F)∩F−1[Dom(G)].