Derivación de probabilidades

regresión lineal, y regresión de Poisson. Sin embargo, la distribución Weibull permite modelar los tiempos de vida de componentes como es este caso de predicción de los elementos metálicos de las Estaciones Reductoras de Presión (ERP). A continuación, se describirá brevemente la distribución Weibull y sus parámetros. Figura 12. Ecuación fundamental de distribución de Weibull

Fuente: NAVIDI, William. Distribuciones comúnmente usadas. En: Estadística para ingenieros

La función de densidad tiene tres parámetros: a es el parámetro de escala, b es el parámetro de forma y c es el parámetro de localización. a y b son dos constantes positivas, y c es una constante que puede ser negativa o positiva. Al variar los valores de a y b se puede generar gran variedad de curvas. Debido a esto último, se puede construir la distribución de Weibull para que se ajuste a gran variedad de conjuntos de datos22 _{como se puede observar en la figura 13.}

22 _{NAVIDI, William. Distribuciones comúnmente usadas. En: Estadística para ingenieros. México:} McGraw-Hill, 2006. p. 192-299.

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Figura 13. Función de densidad de probabilidad de Weibull para diversas opciones de los parámetros a(r) y b(λ)

Fuente: NAVIDI, William. Distribuciones comúnmente usadas. En: Estadística para ingenieros

5.2.3 Implementación. Antes de aplicar el modelo de Márkov se considerarán las siguientes suposiciones:

• El proceso de deterioro es continuo, es decir, la condición de deterioro va a empeorar con el paso de tiempo a menos de que sea intervenida la estructura. • Se analizará en periodos específicos para hacerlo un proceso discreto. Estos periodos coinciden con las inspecciones periódicas programadas por la EAB. • La condición de deterioro se clasifica con números discretos, utilizando la escala de 1 a 5.

• La condición futura de la estructura depende solamente del estado actual, el cual contiene la información relevante para descubrir probabilísticamente su estado futuro.

Para la implementación de la cadena de Markov, se debe tener en cuenta lo siguiente:

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La probabilidad de que el estado pase de i a j después de t periodos puede obtenerse multiplicando la matriz P por si misma t veces.

Si Qo es el vector representando el estado inicial:

Donde q1,q2,….,qm representan la distribución de probabilidades de condición, el vector Qt representando el estado después de t periodos se expresa como:

Por ejemplo, si la condición se encuentra en el primer estado al tiempo inicial, Qo se expresa como:

Lo que está indicando la probabilidad de que la condición que se encuentra en el primer estado es igual a 1 y la probabilidad de cualquier estado diferente al primero es igual a 0.

Si R es el vector de condiciones:

La condición después de t periodos se puede calcular de acuerdo a:

Donde R’ es el vector traspuesto de R.

De igual manera para la derivación de la matriz de probabilidades a través de la distribución de Weibull, se debe tener en cuenta lo siguiente:

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I.Se asume el parámetro de localización igual a cero y se ordenan los datos de menor a mayor. El criterio del orden se determina como tipo de daño.

II.Se calcula el rango de mediana para cada observación usando la siguiente ecuación:

𝑅𝑀(𝑥_𝑖) = 𝑖 − 0,3 𝑛 + 0.4

Donde:

RM (xi): rango de mediana,

i: orden de falla.

n: número total de datos de la muestra.

III.Se calcula el logaritmo natural del tipo de daño para cada observación.

IV.Se calcula el valor de la ordenada y, es decir, el logaritmo del logaritmo del inverso de uno menos el rango de mediana para cada una de las observaciones de la muestra.

V.Se genera el grafico con los datos de los pasos III y IV. Al trazar estos puntos se genera la recta de regresión.

VI.Se estima el valor del parámetro de forma y de escala. El parámetro de forma es la pendiente de la recta de regresión y el parámetro de escala se determinada mediante la siguiente ecuación:

𝜃 = 𝑒− 𝑏 𝛽

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6. METODOLOGÍA

El diseño metodológico utilizado en la presente monografía es la investigación cuantitativa, también conocida como enfoque matemático, caracterizado por la interpretación de datos, estadísticas, números, tablas, entre otros. Dentro de la ejecución de dicha investigación se analizaron los datos y registros de varias Estaciones Reductoras de Presión (ERPs) de las zonas 1 y 4 del Acueducto y Alcantarillado de Bogotá, con las cuales se buscó comprobar que a través de los dos métodos propuestos: la lógica difusa y la cadena de Markov, se puede evaluar de manera confiable el estado actual y predecir el estado futuro de los elementos metálicos de dichas estaciones.

La recolección de los datos se hizo a través de la observación detallada de personal especializado de la Empresa de Acueducto y Alcantarillado de Bogotá.

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7. DESARROLLO DE LA PROPUESTA

7.1 RECOLECCIÓN DE DATOS

Para este estudio se utilizaron registros y reportes de mantenimientos efectuados en las ERPs de las zonas de servicio 1 y 4 de la Empresa de Acueducto y Alcantarillado de Bogotá. Estas zonas comprenden las localidades del norte: Suba y Usaquén; localidades del sur de la ciudad: San Cristóbal, Usme, Tunjuelito, Kennedy, Puente Aranda, Rafael Uribe Uribe y Ciudad Bolívar. Se revisaron y analizaron 41 registros de manteamientos, a continuación, se muestra una de las estaciones que se analizaron. (ver anexo A)

Figura 14. Estación reguladora de presión ubicada en la Zona 1.

Fuente: Empresa de acueducto y alcantarillado de Bogotá (2014)

ERP # 33

Año de Instalación 2005 Año de Mantenimiento 2014 Tipo de Daño Leve(3) Años de servicio 9

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7.2 EVALUACIÓN DE CORROSIÓN

Para evaluar la condición de deterioro en las estructuras metálicas se utilizó modelo de lógica difusa mediante la aplicación Fuzzy Logic Toolbox TM _{complemento del} software Matlab®.

7.2.1 Ajustes iniciales. Se configura el FIS Editor como se muestra en la siguiente figura:

Figura 15. Configuración inicial del sistema de inferencia difusa

Fuente: Propia