Derivación de la relación de dispersión para ondas circularmente

polarizadas

Supongamos un campo uniformeB~0 y una densidad uniformeρ0 en régimen incom- presible. Proponemos perturbaciones δv

v ∼ δB

B ∼e

i(−~k·~x+ωt)

Efecto Hall 69

Las ecuaciones para el caso son:

~k·δv~ = 0 ~k·δB~ = 0

Las mismas surgen del límite de incompresibilidad (∇·~v = 0) y ausencia de monopo- los magnéticos (∇ ·B~ = 0).

Se puede ver que, a partir de la ecuación de momento, las perturbaciones en la presión son del orden δP ∼ (δB ·B0) ∼ 0, así podremos escribir las ecuaciones de inducción y momento de la forma:

ρ0 ∂ ~δv ∂t = 1 µ0 (∇ ×δB~ )×B~0 (7.14)

Pues∇ ×B~ =∇ ×(δB~ +B~0)y se satisface∇ ×B~0 = 0por ser constante. De ahora en más omitiremos el factor µ0 ya que es irrelevante en el cálculo.

∂ ~δB ∂t =∇ ×( ~ δv×B~0) +ηH∇ × (∇ ×δB~ )×B~0 (7.15) donde ηH = 1 nee

se toma por unidad de campos magnético, al igual que en la im- plementación numérica.

Puede verse que∇ ×δB~ =i~k×δB~ y ∇ ×(δv~ ×B~0) = −i(~k·B~0)δv~. Por último, se sigue que:

∇ ×(∇ ×δB~ )×B~0 =i∇ ×(~k×δB~ )×B~0 =i∇ ×(~k·B~0)δB~

donde utilizamos la propiedad del producto vectorial A×(B ×C) = (B ·A)C −

(C ·A)B, junto a la relación B~0·δB~ = 0 (dado que la perturbación y el campo son ortogonales). Evaluando el rotor, se sigue para la inducción magnética:

iω ~δB = ∂ ~δB

∂t =−i(~k·B~0) ~

δv+ηH(~k·B~0)(~k×δB~ ) (7.16) en tanto, la ecuación de momento es:

ρ0iω ~δv=ρ0

∂ ~δv

∂t =−i(~k× ~

δB)×B~0 (7.17)

Efecto Hall 70 ~ δv=−kB0 ρ0ω ~ δB. (7.18)

Reemplazando esta relación en la ecuación 7.16 y multiplicando por−iω se obtiene:

ω2δB~ =k2v2_AδB~ −iωηHkB0(~k×δB~ ) (7.19)

donde v_A2 = B

2 0

ρ0

es la velocidad de Alfvén. Por último ~k ×δB~ = k(−δBy, δBx,0)

. Pero dado que en particular se estudian ondas circularmente polarizadas, se debe satisfacer la relación δBy = ±iδBx, lo que equivale a un desfasaje en π₂ entre ambas

componentes. Por lo tanto, si se escribe a la ecuación 7.19 en término de sus compo- nentes, por ejemplo la componentex, se sigue:

ω2δBx=k2vA2δBx−iωηHk2B0(±iδBx) (7.20)

Finalmente se obtiene la relación de dispersión para ondas circularmente polarizadas bajo el efecto Hall de la forma:

ω2−k2v_A2 =±ωηHk2B0 (7.21)

7.3

Verificación numérica de la relación de dispersión

Aquí presentamos el trabajo realizado para verificar la relación de dispersión 7.21. Primeramente hemos desarrollado una serie de simulaciones en donde inicializamos una onda circularmente polarizada con un número de onda k, luego, mediante un procedimiento numérico, calculamos el valor de las soluciones de la ecuación 7.21, para cada modo, ωR y ωL. Al final graficamos los valores obtenidos de ωR y ωL, con las

curvas analíticasωR(k) y ωL(k)para constatar que se superponen, de tal manera que

los valores numéricos sigan la tendencia de las curvas analíticas.

7.3.1 Análisis de datos

Las soluciones a la ecuación 7.21 corresponden a:

ω k = 1 2 ±ηHkB0 1 + s 1− 4v 2 A k2_B2 0ηH2 !! (7.22)

Efecto Hall 71

La solución positiva se conoce como modo de Whistler, rápido o izquierdo. La otra solución es la denominada modo lento o derecho. Esta denominación se debe al hecho de que los dos modos circularmente polarizados tienen sentido de giro opuestos, uno es en dirección horaria (derecho) y el otro modo es en dirección anti-horaria (Whistler).

Vamos a designar ωL al modo lento y ωR al modo rápido. Para poder encontrar

los valores deωR y ωL en las simulaciones que mostraremos a continuación realizamos

ajustes de los campos magnéticosBy y Bz con el fin de obtener las frecuencias tempo-

rales. Para ondas circularmente polarizadas se esperan soluciones de la forma:

By(x, t) =δBy0(cos(kx−ωLt) + cos(kx−ωRt)) (7.23)

Bz(x, t) =δBz0(sin(kx−ωLt)−sin(kx−ωRt)) (7.24)

Donde δBz0 y δBy0 son las amplitudes de los campos.

Al fijar la coordenada espacial, por ejemplo en x = 0, obtenemos la evolución temporal de ambas cantidades y podemos ajustarle una función de la forma 7.23 y 7.24. Dado que tantoBz como By oscilan como la misma frecuencias basta elegir alguna de

ellas para obtener las frecuencias,ωRy ωLa partir de un ajuste de cuadrados mínimos.

Para ello es necesario primeramente estimar el valor de las amplitudes δBz0 y δBy0.

En las simulaciones que mostraremos a continuación se cumple la condición:

q δB2

z0 +δBy20 =< δB(t)>t= 10−4 (7.25)

y dado que se satisface la relación :

δB2(t) = δB_z2₀+δB_y2₀+ 2δBz0δBy0cos ((ωR+ωL)t) (7.26)

Se puede estimar numéricamente el producto:

δBz0δBy0 = 1 2 max[δB(t) 2_{]− hδB(t)}2_i t (7.27) De esta forma las relaciones 7.25 y 7.27 entregan un sistema de ecuaciones que al resolverse devuelve los valores de las amplitudes, δBz0 y δBy0, necesarios para los ajustes de las frecuencias.

El error cuadrático medio del ajuste sobre la componenteBy corresponde a:

σ2 = N X l=1 N X j=1 (By(0,0,0, t)−δBy0(cos(ωLjt) + cos(ωRlt))2 (7.28)

Efecto Hall 72

En la figura 7.1 mostramos el ajuste obtenido para las frecuencias para una de las simulaciones que detallaremos a continuación y en la figura 7.2 mostramos el error cuadrático medio para todos los ajustes realizados sobre By en este caso de la figura

7.1. 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 t −0.00015 −0.00010 −0.00005 0.00000 0.00005 0.00010 0.00015 By (t ); Bz (t ) B_y B_z

Figure 7.1: Ajuste de cuadrados mínimos para Bz (curva negra, puntos amarillos) y

paraBy (curva roja, puntos azules). Aquí se observan algunos de los períodos mapeados

para obtenerωR y ωL. La resolución corresponde a ₃₂λ.

5.5 6.0 6.5 7.0 7.5 ωR 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 ωL −10.8 −10.4 −10.0 −9.6 −9.2 −8.8 −8.4 log( σ)

Figure 7.2: Curvas de nivel del error cuadrático medio, log(σ(ωR, ωL) , para el ajuste

de las frecuencias ωL y ωR. El error es mayor para la frecuencia rápida ωR dado que

Efecto Hall 73

7.3.2 Simulaciones y resultados

Para encontrar las relaciones 7.22 y determinar si la implementación del término de Hall en la ecuación de inducción magnética en FARGO3D es correcta, construimos el siguiente setup siguiendo a Bai (2014).

Elegimos tres números de onda, k= π

2, π, 2π, espaciados convenientemente para

mapear la solución 7.22. Se define una caja cartesiana de dimensiones físicasL= [0 : λ], para las tres direccionesx, y, z, de tal forma de utilizar toda la caja para mapear un período espacial. Para los tres valores de k se realizan dos simulaciones con resolución de 32 y 16 celdas por longitud de onda. Las condiciones de contorno son periódicas en todas las direcciones. La difusividad de Hall se fija en η_fH = 0.5 para todas las

simulaciones y se adopta una ecuación de estado isoterma. Se incializaρ= 1.0,~v = 0.0

y el campo magnéticoB~ = (B0, δBcos(kx), δBsin(kx)) con B0 = 1.0 y δB = 10−4. Realizados los ajustes detallados en el análisis de datos 7.3.1, para todas las sim- ulaciones, se pueden comparar los resultados numéricos para las distintas frecuencias como función del número de onda k. Se grafica las solución analítica y los valores obtenidos numéricamente en la figura 7.3.

0 2 4 6 8 10

k

ω/k

Figure 7.3: Relación de dispersión para ondas circularmente polarizadas bajo el efecto Hall. La curva azul corresponde al modo de Whistler ωR, la curva verde corresponde

al modo lento o derecho ωL. Con círculos se representan las soluciones numéricas para

la resolución de 32 celdas por longitud de onda, y con puntos las soluciones para la resolución de16celdas por longitud de onda. Notar que FARGO3D es capáz de resolver grandes números de onda incluso con una resolución de16celdas por longitud de onda. La línea de puntos corresponde al modo de Alfvén del caso ideal.

Efecto Hall 74

Como se observa en la figura 7.3, la consecuencia del efecto Hall sobre una onda cir- cularmente polarizada es dividir al modo de Alfvén en dos nuevos modos, uno rápido (Whistler) y otro modo lento (derecho). Es claro que la implementación ha sido satis- factoria dado que se reproduce el comportamiento analítico de la relación de dispersión 7.21.