El desarrollo de la ecuación polinómica previo a la EDO lineal de primer orden

La rama de las matemáticas que tiene como papel determinante el estudio de las ecuaciones polinómicas es el Álgebra. Según Ortega (s.f) su progreso ha tomado el tiempo necesario, dividiéndose en álgebra retórica, álgebra sincopada y álgebra simbólica.

Para este autor, cada una está descrita de la siguiente forma:

a) álgebra retórica: no existen abreviaturas, ni símbolos especiales. Época paleobabilónica entre 2000 y 1600 a. n. e.

b) álgebra sincopada: este término lo ideó Nesselman en 1842. Se usan ya algunos términos técnicos y abreviaturas. Ejemplo la Aritmética de Diofanto. Siglo III.

c) álgebra simbólica: es ya un álgebra mucho más parecida a la que usamos hoy. Con símbolos especiales, incógnitas, etc. Siglos XVI y XVII, Vièta (p. 2).

Según él, los babilonios resolvieron ecuaciones cuadráticas mediante fórmulas, pero el desconocimiento de los números negativos los llevó a no tener en cuenta las raíces negativas de las ecuaciones y el

36 desconocimiento del cero les generó problemas al interpretar las cantidades. Por su parte, los egipcios trabajaron problemas con una incógnita, mientras que los chinos se preocuparon por problemas económicos y administrativos como por ejemplo la medición de campos, construcción de canales y cálculo de impuestos. Estos últimos reconocieron los números negativos gracias al uso de un procedimiento algorítmico para resolver sistemas lineales, similar al método de Gauss conocido hoy en día. Además, el desarrollo del álgebra en esta época dio lugar a la utilización del cero. Los indios al igual que las tres civilizaciones anteriores no tenían ningún tipo de formalismo teórico; sobre su actividad matemática se sabe que:

En los siglos “VIII y VII a.C” los indicios matemáticos se referían a aplicaciones geométricas para la construcción de edificios religiosos. Entre los siglos “V-XII d.C.” sus principales características se refieren al predominio de las reglas del cálculo, correcta utilización de los números negativos y la introducción del cero; además de “profundizar en la obtención de reglas de resolución de ecuaciones lineales y cuadráticas, en las cuales las raíces negativas eran interpretadas como deudas” (p. 5).

Por otro lado, el signo de igualdad aparece en el año 1557, debido a los trabajos de Recorde, mientras que en 1737 Descartes aporta a la escritura de potencias. Además, se puede ver que desde siglos XVI y XVII, se viene desarrollando el álgebra semejante a la que se conoce en la actualidad.

De ahí que el desarrollo de las fórmulas, el uso del cero, la resolución de problemas con una incógnita, la aparición del signo de igualdad, la escritura de potencias y el desarrollo de reglas usadas en la resolución de ecuaciones polinómicas fueron algunos de los fundamentos necesarios para que en el siglo XVII apareciera el Cálculo.

Una de las definiciones de ecuación polinómica es la que sigue:

Una ecuación polinómica es aquella que se puede expresar de la siguiente forma general:

Donde son coeficientes numéricos cualesquiera pertenecientes al dominio de los reales; es un número entero el cual indica el grado de la ecuación, siempre y cuando ; finalmente las raíces del polinomio son los valores que puede tomar , tal que al reemplazar en la ecuación polinómica se obtiene (Gustin & Avirama, 2014, p. 31).

37 Las ecuaciones diferenciales, a diferencia de las ecuaciones polinómicas, al contener derivadas requirieron de un estudio específico. Nápoles y Negrón (2002) resaltan un suceso determinante en la historia de las ecuaciones diferenciales cuando Newton le comunica a Leibniz el siguiente anagrama: el cual en latín quiere decir “Data aequetione quotcuntque fluentes quantitaes involvente fluxiones invenire et viceversa” (p. 36), que en español significa, “Dada una ecuación con cantidades fluentes, determinar las fluxiones y viceversa” (p. 36), en donde por “fluentes” se refiere a cada una de las cantidades variables y por “fluxiones” a sus respectivas velocidades ̇ ̇ , puesto que “Newton concibe las cantidades matemáticas como el movimiento continuo de un punto que traza una curva” (Lozano, 2011, p. 21). Según los autores anteriormente mencionados, fue Newton quien al profundizar en esta teoría dio la primera clasificación de las ecuaciones diferenciales. El término aequatio differentialis, “fue primeramente usado por Leibniz (en un sentido bastante restringido) en 1676 para denotar una relación entre las diferenciales y y dos variables e ” (Nápoles & Negrón, 2011, p. 33). Esta forma de escribir dicha relación se ha mantenido hasta la actualidad, conocida como “notación de Leibniz”.

Lo anterior hace parte del surgimiento de las ecuaciones diferenciales; el progreso en el estudio de las mismas, ha permitido que actualmente, una ecuación diferencial se defina así:

Se dice que una ecuación que contiene las derivadas de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes es una ecuación diferencial (ED).

Si una ecuación contiene sólo derivadas ordinarias de una o más variables dependientes con respecto a una sola variable independiente se dice que es una ecuación diferencial ordinaria (EDO).

El orden de una ecuación diferencial es el orden de la derivada mayor en la ecuación. (Zill, 2006, pp. 4-5)4

Teniendo presente que por variable dependiente se refiere a la función a determinar y por variable independiente a las variables en las que la función está indicada, se puede plantear que una ecuación diferencial de la forma es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden, en donde la variable dependiente es y la independiente es . Además, la ecuación es una ecuación lineal en la variable dependiente , puesto que según Zill (2006), dos propiedades características para que una EDO sea lineal son:

4

38 1. La variable dependiente y todas sus derivadas son de primer grado, es decir, la potencia de cada

término en que interviene es .

2. Los coeficientes de y sus derivadas dependen sólo de la variable independiente .

Luego, como la ecuación cumple estas dos propiedades, termina siendo una EDO lineal de primer orden. Con esto se tiene una aproximación a su solución, objeto de interés de esta investigación.

3.1.2 El objeto matemático función y su relación con la solución de una EDO lineal de primer