Desarrollo del modelo empírico de oferta laboral discreta con transferencias

Para estimar el impacto del BDH sobre la oferta laboral de sus beneficiarios se requiere contar con un modelo que determine la magnitud y significancia del efecto (si lo hubiere) y que permita demostrar relaciones de causalidad. Por este motivo, el modelo a aplicar se basará en el estudio de Creedy y Kalb (2003) sobre la estimación de la oferta laboral medida como horas discretas trabajadas. El modelo de Creedy y Kalb (2003) permite incluir políticas y cambios de políticas en la estimación para conocer sus efectos. Este modelo se basa en la derivación econométrica que parte de los supuestos teóricos de la oferta laboral. Como resultado se establece una forma funcional que permite estimar los efectos en la oferta de laboral, donde las horas trabajadas se definen de forma discreta. En este sentido, los efectos estimados representan relaciones causales, ya que la ecuación de estimación es una derivación directa del modelo teórico de oferta de trabajo, por lo que tiene un carácter estructural.

3.1.1 Supuestos Teóricos del Modelo

Este modelo se basa en la maximización de utilidad de las personas para determinar la oferta laboral. En este sentido, el primer supuesto de Creedy y Kalb (2003:1) se refiere a que cuando las personas maximizan su utilidad escogen un número discreto de horas para trabajar y que las horas trabajadas no varían de forma continua. Para el caso ecuatoriano, este supuesto es especialmente importante ya que la información de las encuestas del INEC presenta el número de horas de manera discreta, por lo que es más adecuado utilizar una técnica de modelización que recoja la naturaleza propia de los datos y no imponga un supuesto de continuidad innecesario que puede sesgar los resultados.

Creedy y Kalb (2003:1-2) utilizan el enfoque de horas discretas porque presenta mayores ventajas que el enfoque continuo. En primer lugar el enfoque discreto es más realista, porque un individuo escoge trabajar un número de horas discreto, no puede escoger un número de horas continuo para trabajar. Además el enfoque discreto simplifica la naturaleza de la restricción presupuestaria, la cual se basa en el salario que recibe por hora. En un modelo de horas discretas se facilita el análisis de maximización de la utilidad, porque se evalúa la utilidad de un número pequeño de puntos. Adicionalmente, se asume que todas las personas podrían trabajar la misma cantidad de horas.

49 Adicionalmente, Creedy y Kalb (2003:1) establecen que para la aplicación del modelo se debe contar con la información por persona de la política que se busque analizar

3.1.2 Desarrollo del Modelo

Para comenzar el desarrollo del modelo se parte de un individuo i con un conjunto de características medibles X. Este individuo maximiza su utilidad escogiendo el número de horas que trabaja. Se define h

como el número discreto de horas que puede trabajar. El nivel de utilidad de este individuo está determinado por el número de horas de ocio y su ingreso neto. Sin embargo, se utilizan las horas trabajadas y no las horas de ocio como argumento de la función porque es la variable de interés (Creedy y Kalb 2003:3).

La utilidad asociada con cada nivel de horas trabajadas es , y es una función de la medida de la utilidad más un término de error . De esta forma encontramos la ecuación 3.1

(3.1)

El término de error surge de factores como errores de medición en las variables de X, errores de especificación que se generan por características no observadas de los individuos y factores puramente aleatorios que inciden sobre la decisión de trabajar. De este modo, la utilidad de individuo está asociada a posibles cambios de las variables aleatorias en función de sus respectivas distribuciones. En este sentido, existe una probabilidad de que el cambio de las horas h dependa de las propiedades de . Sin este termino de error, el modelo sería determinístico y bastaría con conocer la forma de la utilidad y el vector X para encontrar el número de horas de trabajo que maximizan la utilidad (Creedy y Kalb 2003:3). La ecuación 3.1 señala que existe una distribución de utilidad para cada hora discreta de trabajo que depende de la distribución de . Con este marco conceptual, el problema de elección del consumidor se reduce a escoger el número de horas que presente una mayor . Es decir, un número de horas se escogerá solo si representa una utilidad mayor que cualquier otro número de horas . La probabilidad de que que se escoja es igual a la probabilidad conjunta de que la utilidad obtenida de todas las otras extracciones de sean menores a la utilidad de . Si los errores son independientes, esta probabilidad conjunta es igual al producto de las áreas dadas por cada extracción (Creedy y Kalb 2003:4). Formalmente, para encontrar la probabilidad de que se escoja frente a cualquier , es necesario considerar todos los valores de . Es decir, que una persona maximiza su utilidad cuando:

para todo j (3.2) Si se reemplaza la ecuación 3.1 en la ecuación 3.2, y se reacomodan los términos se tiene:

para todo j (3.3)

Si los errores son independientes la probabilidad conjunta es el producto de las probabilidades de cada j, P( . Por lo tanto para cualquier la probabilidad de que maximice la utilidad es igual a: (Creedy y Kalb 2003:5)

50 (3.4)

Para facilitar el análisis de cómo generar la distribución de probabilidad de un número de horas trabajadas, se puede comenzar por asumir que v toma solo valores discretos ( para ). En este sentido, se puede generalizar indicando que (densidad) denota la proporción de valores iguales a , mientras que (acumulada) denota la proporción de valores iguales o menores a . El valor p (la probabilidad de que h sea el número de horas que maximice la utilidad) se obtiene como la sumatoria de los términos de la ecuación 3.4, condicionado a la probabilidad de que v tome el valor (Creedy y Kalb 2003:6)

(3.5)

La ecuación 3.5 muestra que la distribución de la probabilidad de las horas trabajadas depende de la distribución del término de error. Creedy y Kalb (2003:8) derivan la distribución de la probabilidad de horas trabajadas para un caso especial de la distribución del término de error. Esta distribución especial resulta en la probabilidad de que h, sea el número de horas que maximice la utilidad se reduce a un modelo logit multinomial25. El modelo logit multinomial ha sido utilizado ampliamente en modelos de elección discreta. Anteriormente se asumió que el término de error v tomaba solo valores discretos, sin embargo en la práctica v es una variable continua y aleatoria. Por lo tanto , y son la densidad y la función de distribución acumulada de v. Por lo tanto, se debe convertir a la ecuación 3.5 en una ecuación que incluya la forma continua de v, manteniendo el número de horas discretas.

(3.6)

La ecuación 3.6 toma todas las probabilidades condicionadas representadas por e integra con respecto a para obtener la distribución marginal de . Para continuar con la derivación del modelo, se debe asumir una forma determinada de la distribución. Se asume que la distribución de

, está descrita por la siguiente función de densidad de la ecuación 3.7

(3.7) Para la ecuación 3.7 la función de la distribución es:

(3.8)

La elección de esta distribución de colas delgadas tiene la ventaja que no se necesitan estimar parámetros adicionales. Esta distribución se conoce como distribución de valores extremos tipo I. Las características de esta distribución justifican que sea utilizada en este contexto. (Creedy y Kalb 2003:9) Si se reemplazan las ecuaciones 3.7 y 3.8 en la expresión del integral de la ecuación 3.6 se obtiene: (3.9)

25

51 Para simplificar la ecuación 3.9, se obtiene el logaritmo de la segunda parte de la expresión y se toma en cuenta que se puede utilizar la igualdad .

(1+ )) (3.10)

Para reducir esta expresión, se denomina a como , por lo tanto la ecuación 3.10 puede ser escrita de la siguiente manera (Creedy y Kalb 2003:10):

(3.11)

Se reemplaza la ecuación 3.11 en la ecuación 3.6 y se obtiene:

(3.12)

Por simplicidad, se define la variable , de esta manera , y . Reemplazando estas expresiones en la ecuación 3.12, se obtiene:

(3.13) Se reemplaza la ecuación 3.7 en la ecuación 3.13

(3.14) Como la integral de la función de densidad de una probabilidad es igual a 1, la ecuación 3.14 se convierte en:

En este caso, la probabilidad de que una persona elija un determinado número de horas depende de los niveles de utilidad medidos asociados con cada nivel de horas. El modelo de elección discreta basado en la distribución de valores extremos se llamalogit multinomial.

Como se mencionó anteriormente, la utilidad de una persona depende de su ingreso y de sus características personales. Por lo tanto la forma explícita de la utilidad se expresa en la ecuación 3.15. (3.15)

52 Donde X representa las características de cada persona que pueden afectar la oferta de trabajo y Y el ingreso de la persona.