Descomposici´ on de Cartan

Para relacionar la descomposici´on en valores singulares con la teor´ıa de Lie, estudia- remos la descomposici´on de Cartan, que como ya dijimos generaliza la descomposici´on en parte herm´ıtica y parte antiherm´ıtica.

La relaci´on con la descomposici´on en valores singulares se establece mediante la for- ma polar, que se obtiene al aplicar el mapa exponencial a la descomposici´on de Cartan, convirti´endose la parte herm´ıtica en definida positiva y la antiherm´ıtica en ortogonal, as´ı mismo la suma de matrices se convierte en multiplicaci´on. Sin embargo esta corres- pondencia no es tan inmediata, ya que en este contexto no basta con sumar los exponentes para expresar el producto de dos exponenciales, en este caso se debe aplicar la f´ormula de Baker–Campbell–Hausdorff (ver [8, teorema 3.37, p´agina 39]), seg´un la cual, adem´as de sumar los exponentes deben sumarse infinitos t´erminos que se obtienen de los dos expo- nentes originales aplicando corchetes. En particular, como queremos aplicar la f´ormula con un exponente sim´etrico y otro antisim´etrico, podemos reagrupar los t´erminos convenien- temente ya que el corchete de dos elementos sim´etricos o de dos elementos antisim´etricos es siempre antisim´etrico, mientras que el corchete de un elemento sim´etrico con otro an- tisim´etrico es siempre sim´etrico (ver [7, p´agina 6]).

Cabe resaltar que mientras la descomposici´on de Cartan esta definida a nivel de ´alge- bra, la forma polar que se obtiene mediante el mapeo exponencial estar´ıa as´ı definida para los elementos del grupo, no obstante las matrices singulares tambi´en poseen forma polar, adem´as la descomposici´on de Jordan-Chevalley, con la que habr´ıamos de comparar la forma polar, si se presenta a nivel de ´algebra.

Para definir de manera general la descomposici´on de Cartan en ´algebras semisimples, primero debemos definir de manera precisa lo que es una forma real de un ´algebra de Lie compleja y lo que significa complexificar un ´algebra de Lie real.

de manera ´unica mediante el producto tensorial del ´algebra real y el campo complejo sobre los reales g ⊗_{RC, obteniendo as´ı un ´}algebra compleja.

Por otra parte, se dice que un ´algebra real g es una forma real de un ´algebra compleja h cuando, vistas como espacios vectoriales sobre los reales, cumplen la condici´on h = g ⊕ ig.

Observaci´on 3.1.3. Las formas reales no son ´_{unicas, por ejemplo para sl(2, C) existen} dos formas reales, una es sl(2, R), que no es compacta, mientras que la otra, su(2), si lo es. En particular, la forma de Killing sobre una forma real compacta es definida negativa.

Proposici´on 3.1.1. En el caso de las ´algebras de Lie complejas semisimples, esta ga- rantizada la existencia de una forma real compacta, ´unica m´odulo isomorfismos (ver [7, teorema 1, p´agina 3]). Vista el ´algebra compleja como un ´algebra real, cada involuci´on de Cartan corresponde justamente con la conjugaci´on compleja con respecto a una forma real compacta, lo cual asegura la existencia de las involuciones de Cartan en este contexto (ver [7, proposici´on 2, p´agina 3 y corolario 1, p´agina 5]).

Es decir, si u es una forma real compacta del ´algebra semisimple h = u ⊕ iu, al conside- rar h como un ´algebra real podemos definir una involuci´on de Cartan θ mediante θ(x) = x si x ∈ u y θ(x) = −x si x ∈ iu. As´ı se garantiza la existencia de una involuci´on de Cart´an dada la existencia de una forma real compacta.

Si en cambio empezamos con un ´algebra de Lie real semisimple g lo que hacemos es complexificarla para obtener un ´algebra compleja h, podemos hallar una involuci´on de Cart´an θ en h, pero esto no basta, adem´as debemos garantizar una tal θ que conmute con la conjugaci´on compleja de h con respecto a g (que es otra involuci´on), si lo hace define tambi´en una involuci´on de Cartan en g, es decir que θ puede restringirse a g; tal involuci´on siempre existe (ver [7, teoremas 2, p´agina 4]).

Proposici´on 3.1.2. As´ı, si g es un ´algebra de Lie real semisimple, entonces g posee una involuci´on de Cartan, de hecho, cualesquiera dos involuciones de Cartan en g son conjugadas v´ıa la ”componente de la identidad” Inn g ⊂ Aut_Rg (ver [7, teoremas 3, p´aginas 5]).

En este caso, si φ ∈ Inn h y u es una forma real compacta de h, φ(u) tambi´en lo es; si θ es la involuci´on de Cartan dada por la conjugaci´on compleja de h con respecto a u, φθφ−1 es la involuci´on de Cartan dada por la conjugaci´on compleja asociada a φ(u).

Por ´ultimo, si u es una forma real de h y θ es la involuci´on de Cartan definida por la conjugaci´on compleja de h con respecto a u, la forma de Killing es definida negativa en u, que es el espacio propio de θ asociado al valor propio uno; mientras que la forma de Killing es definida positiva en iu, el espacio propio de θ asociado al valor propio menos uno.

Observaci´on 3.1.4. La descomposici´on de Iwasawa est´a relacionada con la de Cartan, conserva la parte antiherm´ıtica (tal que θ(x) = x) de la descomposici´on de Cartan, pero remplaza la otra parte por una parte abeliana y otra nilpotente, tambi´en est´a definida para todas las ´algebras semisimples, la demostraci´on involucra espacios de ra´ıces restringidas. A nivel de grupo la descomposici´on de Iwasawa luce como el producto de una matriz diagonal definida positiva, una matriz unipotente y una matriz unitaria y representa todo elemento del grupo de manera ´unica.