En este capítulo se describe el modelo que fue implementado en MATLAB, con la ayuda de la aplicación Simulink para simular el comportamiento de una centrífuga discontinua. Para ello se describe el proceso del ciclo de trabajo de una centrífuga discontinua. Además se explicarán las ecuaciones que fueron empleadas y los bloques que conforman el modelo estudiado.
2. 1. Ciclo de Trabajo de una Centrífuga Discontinua
La operación de una centrífuga discontinua en un central azucarero está regida por diferentes etapas de trabajo. Estas etapas se describen a continuación:
Etapas de Operación de una Centrífuga Discontinua:
1. Carga: se realiza a una velocidad entre 200 y 300 rpm y tiene una duración de 15 segundos durante este proceso la máquina recibe toda la masa cocida a procesar.
2. Aceleración: luego que la máquina ha sido completamente cargada, se incrementa la velocidad hasta 1200 rpm (velocidad máxima) para comenzar a purgar.
3. Centrifugado: este proceso ocurre a velocidad constante y máxima durante 50 segundos teniendo como objetivo la separación del azúcar de la miel.
4. Frenaje: ocurre después que el centrifugado ha terminado, dura aproximadamente 42 segundos y se subdivide de dos formas; hasta las 700 rpm el frenaje es eléctrico y partir de allí ocurre un frenaje mecánico.
5. Descarga: se realiza para descargar la máquina y retirar el azúcar en su forma comercial se ejecuta a 100 rpm y su tiempo de duración es de 15 segundos.
En el modelo empleado en este trabajo el proceso se controla directa o indirectamente mediante una señal de control de velocidad. Esta señal fue programada dentro de un bloque del tipo “Signal Builder” a partir de mediciones reales realizadas durante un ciclo de trabajo de una centrífuga.
Dichas mediciones fueron realizadas en el central José María Pérez ubicado en el municipio Camajuaní, en la provincia Villa Clara.
El bloque utilizado para la construcción de la señal de velocidad para un ciclo de trabajo de la centrífuga se muestra en la figura 2.1.
Figura 2.1 Bloque de señal de control de velocidad.
La señal de velocidad que fue programada en el mismo presenta todas las etapas del proceso descritas anteriormente y se muestra en la figura 2.2.
Figura 2.2 Señal de control de velocidad de una centrífuga discontinua.
La figura 2.2 muestra dos ciclos de trabajo completos del proceso de operación de la centrífuga.
La figura 2.3 muestra un bloque que trae implementado internamente el MATLAB, el cual usa una máquina de corriente directa con un convertidor completamente controlado el cual trabaja en dos cuadrantes, dicho bloque fue usado para la construcción del modelo.
Figura 2.3 Máquina de corriente directa con rectificador trifásico.
El bloque que representa una fuente trifásica usada para alimentar el convertidor y que forma parte del modelo implementado; se muestra en la figura 2.4.
Figura 2.4 Fuente trifásica.
Los osciloscopios permiten mostrar los diferentes parámetros que se quisieron medir durante un ciclo de trabajo completo de la centrífuga. Atendiendo a la necesidad de la cantidad de medidas que hicieron falta mostrar es la cantidad de entradas que se les asignan a los mismos, como a continuación lo refleja la figura 2.5.
Figura 2.5 Osciloscopio para graficar diferentes mediciones.
2. 2. Conformación del Modelo
En la conformación de las ecuaciones y de los modelos se toman en cuenta las leyes físicas del movimiento mecánico.
2.2. 1. Fundamentos Teóricos de la Mecánica del Movimiento Giratorio
En la mecánica clásica o newtoniana, la fuerza centrífuga es una fuerza ficticia que aparece cuando se describe el movimiento de un cuerpo en un sistema de referencia en rotación, o equivalentemente la fuerza aparente que percibe un observador no inercial que se encuentra en un sistema de referencia rotatorio. En efecto, un observador no inercial situado sobre una plataforma giratoria siente que existe una «fuerza» que actúa sobre él, que le impide permanecer en reposo sobre la plataforma a menos que él mismo realice otra fuerza dirigida hacia el eje de rotación. Así, aparentemente, la fuerza centrífuga tiende a alejar los objetos del eje de rotación. El término también se utiliza en la mecánica de LaGrange para describir ciertos términosen la fuerza generalizada que dependen de la elección de las coordenadas generalizadas [19].
2.2. 2. Ecuación de Estado en una Centrífuga
Para entender mejor el proceso de obtención de la ecuación de estado es más conveniente hablar en términos comúnmente empleados en los libros de física. Dentro de los análisis realizados se partió de la segunda ley de Newton aplicada al movimiento giratorio.
∑T = dLdt =d(Idt∙ω) (2.1) Donde:
L = Momento angular del sistema. ω = velocidad angular (rad/s) I = momento de inercia
Y la sumatoria abarca todos los torques involucrados en el proceso.
Desarrollando la derivada que aparece en el miembro derecho de la ecuación anterior, la sumatoria de todos los torques queda de la siguiente manera:
∑T = ω∙ dI(t)dt + I(t) ddtω (2.2) Donde se puede apreciar que la derivada de la velocidad angular no es otra cosa que la aceleración angular.
α= acleración angular
Despejando el término de la aceleración angular se obtiene que
I∙α = ∑T− ω ∙ dtdI (2.3) Finalmente la aceleración queda como:
α=(∑T- ω∙ dI
dt)/I (2.4)
Donde los torques dentro de la sumatoria están dados por:
∑T=Te+ Tv+ Tc+Tf (2.5) Donde: Te = Torque eléctrico Tv = Torque viscoso Tf = Torque de fricción Tc = Torque de carga
Reescribiendo la ecuación 2.4 en función de la velocidad angular se obtiene: dω
dt (∑ T - ω ∙
dI
dt)/I (2.6)
Esta es la ecuación de estado para una centrífuga.
2. 3. Modelo de una Centrífuga
Para la implementación de un modelo que describa el comportamiento general de una centrífuga es necesario establecer claramente que variables intervienen en el mismo y que parámetros forman parte del modelo. En el modelo que se explica a continuación se considera que el torque electromagnético es una variable de entrada (variable independiente) y que la velocidad es una variable de salida (variable dependiente). Esto está en consonancia con lo que exigen los modelos del MATLAB para la simulación de sistemas de control de velocidad del Power System Block Set. La figura 2.6 muestra el modelo implementado.
Figura 2.6 Modelo general de una centrífuga discontinua.
Dentro del modelo de la centrífuga se debe implementar la ecuación de estado en función de obtener la velocidad angular como salida. Para ello se deben calcular internamente todos los torques que intervienen, considerando que el troque electromagnético se introduce por un puerto de entrada. Además se debe 29
considerar la forma en que se calcula el momento de inercia del conjunto motor- canasta-masa cocida.
Tomando en cuenta las consideraciones anteriores se propone la siguiente estructura que se representa en la figura 2.7
Figura 2.7 Modelo de la centrífuga.
Se observa claramente que existen tres subsistemas: El subsistema de control de la señal de freno, el subsistema de ecuación de estado y el subsistema de cálculo del momento inercia.
2.3. 1. Subsistema de la ecuación de Estado
De a cuerdo al modelo descrito por la ecuación 2.6 el subsistema de la ecuación de estado se puede conformar como se muestra en la figura 2.8.
Figura 2.8 Subsistema de la ecuación de estado.
Nótese que en este subsistema el torque motor es una variable que entra por el puerto de entrada 1 y que la velocidad es una variable que sale por el puerto de salida número 1. El torque de fricción mecánica se controla mediante la señal que entra por el puerto de entrada número 2. El torque de carga es nulo. El torque de fricción viscosa se calcula como el producto de un coeficiente constante por la velocidad angular. El torque que depende de la derivada del momento de inercia multiplicada por la velocidad angular necesita del valor del momento de inercia que entra por el puerto 3.
La sumatoria de todos los torques es dividida por el momento de inercia según plantea la ecuación 2.6, en el subsistema esto se implementa entonces en un bloque de función creada por el usuario. La salida de esta división da lugar al valor de la aceleración angular. La velocidad angular se obtiene entonces integrando la aceleración.
2.3. 2. Subsistema del Momento de Inercia
El momento de inercia sufre variaciones en dos momentos del ciclo de funcionamiento de la centrífuga: carga y descarga. Durante la carga se parte de un valor nulo de masa cocida dentro de la canasta. La masa cocida se introduce a razón de flujo constante durante el tiempo en que ocurre la carga. Se supondrá que en este proceso se va conformando un cilindro cuyo radio interior decrece hasta que el proceso de carga termine. Durante la descarga este radio crece hasta igualar el radio interior de la canasta cuando se haya descargado todo el azúcar. El volumen de maza cocida aumenta mediante una razón constante. Esto quiere decir que el volumen que entra a la canasta está dado por un flujo constante de maza cocida. Matemáticamente el volumen en función del tiempo está dado por:
𝑉𝑉(𝑡𝑡) = 𝑉𝑉𝑡𝑡 ∙ Δ𝑡𝑡 (2.7) Donde:
Vt es el flujo de masa cocida dado en metros cúbicos por segundo.
Δ𝑡𝑡 es el tiempo transcurrido desde el inicio del proceso de carga. El volumen del cilindro formado está dado por:
𝑉𝑉(𝑡𝑡) = π ∙ 𝐻𝐻 (𝑟𝑟22 − 𝑟𝑟12) (2.8)
Donde:
H es la altura de la canasta en metros
r2 es el radio exterior del cilindro de maza cocida en metros
r1 es el radio interior del cilindro de maza cocida en metros
Es fácil apreciar que el volumen total es calculado como área de la base por la altura. El área es la resultante de la diferencia de área de dos círculos (uno interno y otro externo).
La expresión para calcular la masa en función del tiempo es la siguiente:
𝑀𝑀 (𝑡𝑡) = 𝑀𝑀𝑉𝑉 ∙[π ∙ 𝐻𝐻�𝑟𝑟22 − 𝑟𝑟12 (𝑡𝑡)�] (2.9)
Donde:
𝑀𝑀𝑉𝑉 es la masa del material por unidad de volumen (densidad) dada en kilogramos por metros cúbicos.
Los parámetros restantes fueron explicados en la fórmula anterior. Solo es necesario aclarar que el r2 se mantiene constante e igual a la mitad del diámetro
interior del canasto de la centrífuga; mientras que el r1 varía con el tiempo en
función del volumen de masa cocida que se ha formado dentro de la canasta. Matemáticamente sería:
𝑟𝑟1 = �𝑟𝑟22− 𝑉𝑉π𝑡𝑡∙∙𝐻𝐻Δ𝑡𝑡 (2.10)
Para cálculos posteriores es más beneficioso trabajar con el cuadrado del radio interior según la siguiente expresión derivada de la anterior:
𝑟𝑟12 = 𝑟𝑟22− 𝑉𝑉π𝑡𝑡∙∙𝐻𝐻Δ𝑡𝑡 (2.11)
El momento de inercia de la masa cocida está dado por:
𝐽𝐽𝐽𝐽 (𝑡𝑡) = 12 𝑀𝑀 (𝑡𝑡)∙ [𝑟𝑟22+ 𝑟𝑟12 (𝑡𝑡)] (2.12)
El momento de inercia total se calcula por:
𝐽𝐽𝐽𝐽=𝐽𝐽𝐽𝐽 +𝐽𝐽𝐽𝐽 (2.13) Donde:
JC es el momento de inercia de la centrífuga dado por todas las partes mecánicas del conjunto canasta-eje-motor.
JW es el momento de inercia de la masa cocida (expresión 2.12)
Las ecuaciones anteriores fueron implementadas en el subsistema del cálculo del momento de inercia tal y como se muestra en las figuras 2.9 y 2.10 respectivamente.
Figura 2.9 Vista exterior del subsistema del modelo de la centrífuga.
Figura 2.10 Vista interior del modelo de la centrífuga. Es imprescindible hacer los siguientes comentarios:
1. El puerto de entrada de la velocidad angular no se emplea directamente en esta versión del modelo. Sin embargo la velocidad puede ser empleada en la señal de control del proceso de carga-descarga en versiones futuras.
2. El bloque “CD time signal” es el encargado de brindar la señal de tiempo correspondiente al Δ𝑡𝑡 para el cálculo del volumen de masa cocida y de todos los parámetros subsiguientemente derivados.
3. Los puertos de salida 1 y 2 se colocaron para si el usuario quiere monitorear sus valores durante la simulación. En la modelación del comportamiento de la centrifuga discontinua es más conveniente emplear el valor del momento de inercia total que se brinda por el puerto de salida número 3.
4. El valor del radio r1 tiene como valores límites el valor del radio r2 como
máximo y un valor mínimo de 7 pulgadas (pulg) según las recomendaciones de las normas técnicas de explotación de las centrífugas.
2. 4. Subsistemas de Señales de Control
2.4. 1. Señal de Control de Tiempo de Carga y Descarga
En la figura 2.10 como parte del bloque que contiene el modelo de la centrífuga se emplea un subsistema que brinda una señal de control de tiempo de carga y descarga (“C&D Time Signal”). El interior de este bloque se muestra en la figura 2.11.
Figura 2.11 Interior del bloque carga y descarga.
La señal de carga se obtiene restándole al tiempo de simulación el tiempo de comienzo del proceso de carga (t1_2). Esta diferencia resultará un valor negativo siempre que el tiempo de simulación sea menor que t1_2, lo que es erróneo pues durante este período el Δ𝑡𝑡 que se pasa como señal de tiempo de carga debe ser nulo. Esto se corrige colocando un bloque de saturación a la salida del bloque de suma con límite inferior nulo y límite superior igual a la duración del proceso de carga (dt_1). Con esto se garantiza que la señal de tiempo (Δ𝑡𝑡) esté acotada entre cero y el tiempo de duración del proceso de carga.
La señal de descarga se obtiene de manera similar pero el bloque de saturación se acota entre cero y el tiempo de duración del proceso de descarga (dt_5). Ahora la señal tomará valores positivos solamente después de que el tiempo de simulación supere el tiempo de comienzo del tiempo de carga.
La señal final (carga /descarga) se obtiene restando la señal de descarga a la señal de carga. Esto hace que la señal suba de cero hasta su valor máximo (dt_1) a partir del inicio del proceso de carga y se mantenga al máximo hasta que comienza el proceso de descarga cuando comienza a descender paulatinamente hasta cero con el tiempo de simulación. Esto se puede apreciar en la figura 2.12.
Figura 2.12 Señales de control.
Estas señales se obtuvieron a partir de un modelo de prueba conformado con un bloque de la señal de velocidad y los diferentes bloques de señales de control usados en el modelo. Este modelo se muestra en la figura 2.13.
Figura 2.13 Modelo de prueba.
2.4. 2. Señal de Control del Freno:
En la figura 2.2 se emplea un subsistema para introducir una señal de control del freno por fricción mecánico empleado en el proceso. El interior de este bloque se muestra en la figura 2.14.
Figura 2.14 Interior del bloque control del freno mecánico.
La señal de control de freno se conforma con la multiplicación de dos expresiones lógicas que controlan la velocidad y el tiempo.
La señal de velocidad es verdadera siempre que la velocidad real de la centrífuga esté entre los valores de encendido y apagado de la señal de freno mecánico. Estos valores se almacenan en las variables WB_on y WB_off.
La señal de tiempo es verdadera siempre que el tiempo de la simulación esté entre el valor del tiempo de encendido y el valor del tiempo de apagado del freno mecánico. Estos valores se almacenan en las variables tb_on y tb_off.
La señal de velocidad angular entra al subsistema en radianes por segundo y se convierte a revoluciones por minuto mediante un bloque de ganancia con el valor de conversión apropiado.
Se puede apreciar que aunque existen puertos de salida en los diferentes bloques usados para la descripción del modelo, que no se usan los mismos pueden ser conectados en versiones posteriores del modelo si así fuera requerido.
Con el modelo completamente descrito, se puede decir que el mismo puede ser usado en cualquier central para analizar el comportamiento de una centrífuga siempre que la misma sea del tipo discontinua. Cabe resaltar que aunque en algunos centrales existen centrífugas discontinuas de mayor capacidad; es decir 38
que procesan mayor cantidad de masa cocida y su motor tiene una potencia mayor, el modelo es aplicable, solo abría que cambiarle en el bloque que contiene la máquina de corriente directa los datos pertinentes de potencia, resistencia, reactancia de armadura y demás y si es necesario construir una nueva señal de velocidad que cumpla con los parámetros de trabajo de la centrífuga en estudio.
2.5. Conclusiones del Capítulo
Hasta el momento el software MATLAB no contaba con un modelo que ejemplificara el funcionamiento de una máquina centrífuga. Es necesario decir que con la realización de este capítulo se puede analizar el comportamiento de una máquina de corriente directa partiendo de la gráfica de velocidad brindada por las especificaciones técnicas de esta. Además se pudo lograr implementar el frenaje regenerativo aspecto fundamental, ya que es la última etapa de operación eléctrica de la centrífuga.