Descripción del modelo

Para poder obtener alguna respuesta a las interrogantes expuestas en la introducción de este informe, se modelarán dos estructuras, un marco rígido y un marco arriostrado. Es importante aclarar que estos marcos no pretenden ser representativos de la gran variedad de estructuras existentes, por lo que los resultados y conclusiones que se obtengan no podrán ser extrapolados a todas las estructuras de similares características.

La estructuración y dimensión de cada estructura se muestra en la Figura 3.1. A continuación se comentan los aspectos más relevantes que describen ambos modelos.

a) Vista en elevación de marco arriostrado

b) Vista en elevación de marco rígido c) Vista en planta de ambas estructuras

Figura 3.1: Estructuras a modelar

8.0 m 8.0 m 8.0 m 6.5 m 6.5 m 4,0 m 4.0 m 4.0 m 6.5 m 4.0 m 4.0 m 4.0 m

3.1.1. Diseño de la estructura:

Para diseñar los elementos de ambas estructuras se utiliza la metodología de la norma NCh 2369. En particular, se asume que ambas estructuras están ubicadas en una zona sísmica 3, con suelo tipo II, con una razón de amortiguamiento ξ del 2% y un factor de reducción de la respuesta R igual a 5.

Las cargas estáticas son aplicadas uniformemente en cada viga. Se considerará una sobrecarga de uso de 500 [kgf/m2], una carga debida a las vigas internas de 30 [kgf/m2] y una carga asociada a una losa de espesor 15 [cm]. Como el modelo será bidimensional, se aplicarán estas cargas considerando un ancho tributario de 8 [m]. Por otro lado, las cargas sísmicas se obtienen mediante análisis estático o de fuerzas equivalentes.

Mediante el software SAP2000 se obtienen los esfuerzos en columnas, vigas y diagonales (en el caso de la estructura arriostrada) para las combinaciones de carga que pide la norma, y se verifica que las secciones escogidas sean capaces de resistir dichos esfuerzos. Además, se debe comprobar que no se superen las deformaciones sísmicas impuestas por la norma. Finalmente, se determina el dimensionamiento de la placa base y cantidad de pernos de anclaje usando el procedimiento que entrega la Guía de Diseño Nº 1 del AISC [5], considerando directamente las reacciones de los apoyos que entrega el análisis estructural.

En la Tabla 3.1 se resume el dimensionamiento de los elementos de ambas estructuras, así como también la cantidad y diámetro de los pernos de anclaje.

Tabla 3.1: Resumen del diseño de estructura

SECCIÓN ELEMENTOS BASE

Estructura Columna [mm] Viga [mm] Diagonal [mm] Nº pernos [-] Diámetro perno [mm] (in) Marco Rígido H 500 x 300 x 25 x10 H 600 x 300 x 25 x10 - 2 × 3 38,1 (1,5) Marco Arriostrado H 300 x 250 x 22 x 8 H 400 x 250 x 28 x 8 200 x 200 x 5 4 38,1 (1,5)

3.1.2. Modelación de los elementos:

Si bien se utilizó el software SAP2000 para determinar los esfuerzos en las vigas, columnas y diagonales para poder escoger sus secciones, los modelos no lineales de las estructuras a utilizar serán analizados mediante OpenSees [10]. Se escogió este software debido a que tiene una mayor variedad de herramientas que permiten modelar materiales con comportamiento no lineal, los que se usarán para modelar los apoyos de ambas estructuras.

En ambas estructuras los elementos (columnas, vigas y diagonales en el caso arriostrado) fueron modelados con un material Steel01, el cual considera el comportamiento del acero e incorpora su plastificación. Además, las masas se aplicaron en los nodos de cada

como una combinación lineal de las matrices de masa y rigidez:

[ ]

C =a0⋅

[ ]

M +a1⋅

[ ]

K . Para determinar los coeficientes a y 0 a , se asignó una razón de amortiguamiento igual 1

al 2% al primer y segundo modo.

Para el marco rígido, cada elemento fue modelado como un elemento del tipo nonlinearBeamColumn, el cual considera elementos que pueden plastificarse y que pueden desarrollar tanto corte como momento y carga axial. Por otro lado, para el marco arriostrado, sólo las vigas y columnas fueron modeladas de esta forma, teniendo en cuenta que la viga se rotuló en sus extremos. A su vez, las diagonales se modelaron como elementos del tipo trussSection, elementos que permiten desarrollar solo cargas axiales.

Con respecto a estas últimas, se adoptó una relación fuerza – desplazamiento como la que se ilustra en la Figura 3.2, donde Py y Pc corresponden a la resistencia nominal a tracción y a compresión de las diagonales, respectivamente. En esta figura se muestra la relación fuerza – desplazamiento de un marco de un piso con dos diagonales en cruz, la que es sometida a una fuerza lateral creciente. Primero la fuerza aumenta linealmente con el desplazamiento lateral del marco hasta llegar a un valor igual a 2Pc (ya que es una relación para ambas diagonales). En este punto se pandea la diagonal comprimida, por lo que la resistencia del sistema cae hasta 1,0Pc +0,3Pc =1,3Pc. El por qué cae a este valor se puede explicar a partir del AISC 341-05 [1], donde se comenta que ensayos han demostrado que la resistencia mínima residual de una diagonal a la compresión después de haberse pandeado es alrededor del 30% de su resistencia a la compresión inicial (Hassan y Goel, 1991). Luego, al seguir aumentando la fuerza el desplazamiento lateral del marco aumenta en forma lineal, pero esta vez con una menor pendiente, pues una diagonal ya se ha pandeado, hasta el momento en que fluye la diagonal que está siendo traccionada, a una fuerza igual a Py +0,3Pc. Desde este punto, las deformaciones

laterales del marco aumentan mucho más ante menores aumentos de la fuerza lateral.

Figura 3.2: Relación fuerza – desplazamiento de ambas diagonales

F 2,0Pc P 1,3Pc Py + 0,3Pc Δ Δ Δ Δ -2,0Pc -1,3Pc -(Py + 0,3Pc)

Finalmente, la relación fuerza – desplazamiento ingresada en el modelo, la cual es válida para marcos con diagonales en cruz, corresponde a la recta azul segmentada de la Figura 3.2. Esta relación es una relación simplificada, ya que considera que se tiene el mismo comportamiento tanto para cargas positivas como negativas. De hecho, si se observa la relación fuerza desplazamiento de una sola diagonal (y no la del conjunto de las dos diagonales), la cual se tiene en la Figura 3.3, se puede ver que la relación es distinta cuando la diagonal es sometida a compresión, en donde se aprecia claramente la disminución de su resistencia una vez que se ha pandeado debido a la compresión.

Figura 3.3: Relación fuerza – desplazamiento de una diagonal en cruz [1]

3.1.3. Modelación de los apoyos:

En el análisis estructural de marcos, generalmente se asumen condiciones teóricas en los apoyos, es decir, las estructuras se modelan con apoyos perfectamente empotrados o perfectamente rotulados. Sin embargo, sólo estructuras sometidas a cargas gravitacionales y laterales moderadas (es decir, debidas al viento) pueden presentar un comportamiento en sus apoyos que permitan este análisis más simplificado. Para condiciones severas (es decir, cargas sísmicas), la conexión de la base de la columna se ve sometida a ciclos inelásticos y se comporta como una conexión semi – rígida. De hecho, se ha demostrado, tanto analítica como experimentalmente, que el comportamiento de la base de la columna queda mejor representado cuando los apoyos se modelan con una rigidez parcial, en vez de una rigidez nula (rotulado) o muy grande (empotrado) [6].

Como se comentó en el Capítulo 2 de este informe, las prácticas japonesa y europea utilizan una rigidez inicial en la conexión de la base de la columna (en vez de tener apoyos teóricos). Sin embargo, la práctica europea está desarrollada en detalle sólo para el diseño de apoyos en condiciones de servicio (entiéndase sólo para vibraciones de maquinarias o condición de viento, por ejemplo) y no para el caso sísmico; no así la práctica japonesa, que sí está desarrollada para eventos sísmicos. Es por esto que para modelar los apoyos de las estructuras se adoptará el planteamiento japonés, con el objetivo de no tener estructuras con apoyos teóricos.

En la sección 2.4 del presente informe se mencionó un artículo [12] en donde se deduce el comportamiento histerético (relación momento – curvatura) que tienen las bases de columnas expuestas. Este comportamiento se pretende ocupar para desarrollar un modelo que capture la no linealidad de los apoyos de estructuras. A continuación se explica cómo se utilizará en cada estructura.

a) Marco rígido:

El objetivo es modelar un apoyo que tenga una curva momento – giro en la base que siga la ruta mostrada en la Figura 2.12.b. Para esto, habrá que determinar una rigidez inicial

b

K , una rigidez asociada al endurecimiento por deformación de los pernos luego de haber fluido K , un momento resistente asociado a la carga estática bst M , y un n momento asociado a la fluencia de los pernos My.

Para determinar Kb y Kbst se utilizarán las fórmulas (2.22) y (2.23), respectivamente. Lo bueno de esta formulación es que ambas rigideces están en función de parámetros como la cantidad, área y largo de los pernos, parámetros que a priori resultan interesantes de tener en cuanta para estudiar su influencia en la respuesta de la estructura.

Por otro lado, utilizando las fórmulas (2.21) y (2.24) se obtendrán My y Mn, respectivamente. Como My está en función de la tensión de fluencia de los pernos, entre otros parámetros, se podrá estudiar el efecto que tiene en la respuesta de la estructura ocupar pernos de fluencia temprana o tardía, por ejemplo. Además, como Mn depende de la carga estática de la estructura, se podrá ver también cómo influye en la respuesta de la estructura.

La modelación de los apoyos en OpenSees se hará mediante la creación de elementos con longitud nula (zeroLength element), los cuales se ubicarán entre los nodos de los apoyos (teóricos) y la base de las columnas. Estos elementos se construirán como una combinación en paralelo de materiales tipo ElasticPPGap y tipo SelfCentering en el grado de libertad asociado al giro. Con el material ElasticPPGap se logra obtener la ruta histerética de la Figura 2.12.a, y con el material SelfCentering se consigue “desplazar”

esta curva hasta M (o hasta n −Mn en el lado negativo), lográndose finalmente la curva de la Figura 3.4.

Figura 3.4: Relación momento – rotación de apoyo modelado para marco rígido

b) Marco arriostrado:

Para modelar el apoyo de esta estructura se ocupará la misma filosofía, pero en vez de querer lograr la ruta histerética ya mencionada para una curva momento – rotación, se modelará una curva fuerza axial – deformación, debido a que en un apoyo rotulado no se desarrollarán momentos sino fuerzas axiales y corte.

Se asumirá que el hormigón del pedestal es lo suficientemente fuerte como para resistir las cargas axiales a compresión y se despreciará su deformación, por lo que se tendrán exclusivamente deformaciones positivas asociadas a la tracción de los pernos de anclaje. Cuando el apoyo es sometido a tracción, los pernos se deforman elásticamente hasta que fluyen ante una tracción Py – fórmula (3.1a). Al descargarse quedan con una deformación remanente y, si son sometidos a tracción nuevamente, los pernos no comienzan a trabajar sino hasta que lo que se levante la placa base sea mayor a la deformación remanente de los pernos. Los pernos trabajarán hasta que se corten, lo cual ocurre para una deformación unitaria del 20% (εu =0,2, valor mínimo que exige la norma NCh 2369 [8]), y para una tracción dada por la fórmula (3.1b). Finalmente, el comportamiento que debe cumplir este apoyo es el que se muestra en la Figura 3.5.

y p p y n A P = ⋅ ⋅σ (3.1a) u p p u n A P = ⋅ ⋅σ (3.1b) M θ θθ θ My Mn -My -Mn

Donde P_y = Tracción a la que fluyen los pernos de anclaje [N]

u

P = Tracción última de los pernos de anclaje [N]

p

n = Cantidad de pernos de anclaje total (en ambos lados del apoyo)

p

A = Área del perno de anclaje [mm2]

y

σ = Tensión de fluencia de los pernos de anclaje [MPa]

u

σ = Tensión última de los pernos de anclaje [MPa]

Figura 3.5: Relación fuerza axial – deformación de apoyo modelado para marco arriostrado

Esto se logrará modelando el apoyo de forma similar al marco rígido, es decir, mediante un elemento de longitud nula (zeroLength element) asociado al grado de libertad vertical, pero esta vez será de un material tipo Hysteretic. Este material cumple con la misma ruta histerética de la Figura 2.12.a, pero permite construir curvas distintas para el lado positivo (tracción) y el lado negativo (compresión), situación que se ve en la Figura 3.5.

3.1.4. Alcances del modelo:

- Como ya se mencionó, el modelo supone que el hormigón del pedestal es lo suficientemente resistente y rígido como para no sufrir daños ni deformaciones. - La flexibilidad o rigidez de los apoyos no considera el aporte de la placa base ni de

la silla de anclaje, que se asumen rígidos.

- Para el marco rígido, como los apoyos están modelados mediante un resorte rotacional con propiedades histeréticas, el cálculo de las deformaciones en los pernos de anclaje se deberá obtener a partir del ángulo de rotación de dichos resortes, los

F Δ Δ Δ Δ Py -N

cuales se construyeron bajo el supuesto de que la placa base es rígida y que al girar lo hace como cuerpo rígido (Figura 3.6). Esto permitirá simplificar el cálculo del estiramiento de los pernos de anclaje al usar la fórmula (3.2). De esta manera, se podrá detectar la potencial fractura de los pernos al verificar si el alargamiento unitario calculado está cercano o no al valor del alargamiento de rotura.

Figura 3.6: Esquema de rotación de placa base

(

t c

)

tan

( )

θ p ≈ d +d Δ  ε

(

)

tan

( )

θ 0 0 L d d L c t p p + ≈ Δ = (3.2)

Donde Δp = Estiramiento del perno de anclaje [mm]

θ = Ángulo de rotación del apoyo [rad]

εp = Alargamiento unitario del perno de anclaje [%]

L0 = Largo efectivo del perno [mm]

- Para el marco rígido, el cálculo de las tensiones de los pernos de anclaje se obtendrá

despejando el valor de la tensión de la fórmula (2.21).

- Con respecto a las masas sísmicas aplicadas en el modelo de OpenSees, éstas se

aplicaron en la dirección horizontal para el marco rígido, y en las direcciones horizontal y vertical para el marco arriostrado. El hecho de incluir una masa sísmica vertical para esta estructura se debe a que el modelamiento de sus apoyos sólo permite que se muevan verticalmente (movimiento asociado al estiramiento de los pernos debido a las cargas axiales en los apoyos), por lo que la estructura además de moverse horizontalmente, tenderá a levantarse o “saltar” alternadamente en sus apoyos. Debido a la estructuración de un marco arriostrado típico donde sólo algunos

vanos estánefectivamente arriostrados, se aplicó una masa sísmica horizontal igual a

tres veces la masa sísmica del vano arriostrado. Para el caso de la masa sísmica

vertical, se aplicó la masa sísmica del vano arriostrado, es decir, mh =3m y mv =m.

- El paso de tiempo tΔ usado en el análisis de los modelos dependerá del registro de

terremoto que se esté evaluando (sección 3.4): para Llolleo y para Kobe el paso de tiempo será igual a 0,0005 [s] y 0,001 [s], respectivamente. La respuesta de las estructuras entre estos pasos de tiempo se integrará mediante el método de Newmark.

- No se considera el efecto P−Δ en la modelación de las columnas.

dt dc

Δ Δ Δ

In document Apunte de AISC Placas Bases ASD LRFD (página 49-57)