Determinación de paralelismo en una superficie constante

Aproximadamente desde el año 300 antes de nuestra era, hasta más o menos el año 1832 se cree que hay una única geometría: la de Euclides. Esta geometría, desarrollada en el plano tiene como uno de sus elementos las rectas y dentro de su estudio es importante el análisis de cómo estas se relacionan (Figura 2–1): hay pares de rectas que se intersecan (con un punto en común), y hay pares de rectas que no tienen puntos comunes que son denominadas rectas paralelas.

Euclides en Elementos da la definición de rectas parales e inclusive los teoremas 27, 28 y 29 del libro I, tratan sobre ellas. Pero dado que no logra establecer la unicidad en ciertos casos requeridos tiene que postularla por lo tanto enuncia el quinto postulado12 _{para garantizar lógicamente la}

unicidad de la paralela.

Figura 2–1: Posición relativa de dos rectas en el plano euclídeo

Después del trabajo de muchos geómetras en el intento de eliminar el quinto postulado, llegaron a enunciados equivalentes a éste, algunas de dichas equivalencias son:

 La suma de [las medidas de] los ángulos de cualquier triángulo es igual a [la suma de las medidas de] dos ángulos rectos. Elementos, I, 32. (Proposición ya conocida en tiempos de Aristóteles, siglo IV a. C.)

 Por un punto exterior a una recta dada sólo cabe trazar una paralela. Esta formulación es la más conocida y es debida al matemático griego Proclo. Se la conoce también como «postulado de las paralelas» (o axioma de Playfair).

Sobre una superficie plana el quinto postulado parece obvio en el sentido de que prácticamente no se entiende cómo podría ser de otra manera, es decir, cómo se puede trazar más de una recta o cómo no trazar ninguna. Se ve la perspicacia de Euclides al darse cuenta de que la unicidad no podría ser establecida por demostración.

En 1829, Lobachevski, sin postular unicidad de la paralela logra otra geometría que no es la euclidiana.

Riemann en 1854, sugiere una geometría donde no hay paralela alguna.

En 1868, Eugenio Beltrami (1835-1900), se da cuenta que hay tres tipos especiales de superficies, es decir, de multiplicidades con dos dimensiones:

1. La primera es una superficie plana constantemente, es decir, que no se curva en ninguna parte de su extensión.

2. El segundo tipo de superficie es la que se curva constantemente hacia afuera. Un ejemplo de este tipo de superficie es la superficie esférica.

3. El tercer tipo corresponde a una superficie constantemente curva hacia adentro, se le llama superficie pseudoesférica. Un ejemplo de este tipo de superficie lo podemos encontrar en un instrumento musical como la trompa que va desde la embocadura hasta el pabellón. El tercer tipo de superficie de Beltrami es como un tubo que por un extremo termina en un pabellón y por el otro no termina sino que se adelgaza cada vez más. (ver figura 3–2)

Sobre cada una de estas superficies se construye una geometría, sobre la primera superficie, la constantemente plana, se tiene ya la geometría de Euclides. Desde luego, cabe construir sendas geométricas sobre las superficies esférica y pseudoesférica, basta para ello tratar de construir una geometría como la de la superficie plana.

Figura 2–2: Superficies constantes según Beltrami.

Superficie Esférica

La distancia más corta sobre dos puntos en el plano euclídeo se mide sobre la recta. La distancia más corta entre un par de puntos de una superficie esférica se mide sobre la geodésica13. En la superficie esférica las líneas que tienen la misma función que las rectas en el plano de Euclides son los círculos máximos14. En geografía, el Ecuador y todos los meridianos son círculos máximos; es más, cualquier par de puntos diametralmente opuestos determinan un círculo máximo.

Figura 2–3: Superficie esférica con círculo máximo y puntos diametralmente opuestos.

13_{En geometría, la línea geodésica se define como la línea de mínima longitud que une dos puntos en una}

superficie dada, y está contenida en esta superficie. Las geodésicas de una superficie son las líneas "más rectas" posibles (con menor curvatura) fijado un punto y una dirección dada sobre dicha superficie. En línea. Noviembre de 2014, disponible en http://es.wikipedia.org/wiki/Geod%C3%A9sica

En la geometría euclidiana se comparan las posibles posiciones entre dos rectas: o se intersecan o no tienen puntos comunes. En la geometría esférica lo que sucede con dos círculos máximos es que solamente se intersecan: exactamente en dos puntos; es decir que no hay paralelas sobre la superficie esférica, lo que implica que a partir de un punto exterior a una recta no pasa ninguna paralela, además si se quiere ver el axioma equivalente al del quinto postulado: la suma de las medidas de los ángulos internos de un triángulo es igual a 180°; se tiene que en la superficie esférica es falso dado que esta suma es mayor a 180° y para ello es necesario analizar cómo son los triángulos en esta superficie: un triángulo en la superficie esférica es la porción de la superficie esférica limitada por tres círculos máximos (ver figura 2-4).

Figura 2–4: Intersección de dos rectas y triángulo en la superficie esférica.

Es posible construir en la superficie esférica un triángulo con tres ángulos rectos mientras que en el plano euclídeo un triángulo puede tener a lo más un solo ángulo recto.

Superficie Pseudoesférica

Como se mencionó anteriormente, de acuerdo con el trabajo de Beltrami, el tercer tipo especial de superficie con dos dimensiones corresponde a una superficie constantemente curva hacia adentro, denominada superficie pseudoesférica; sobre esta superficie es posible construir una geometría no euclidiana en la que la distancia más corta entre dos puntos no es una línea recta. La superficie de una pseudoesfera se puede representar como un plano hiperbólico, es decir, un plano con una curvatura negativa; sin embargo, en un plano hiperbólico se satisfacen todos los postulados de Euclides excepto quinto.15

El trabajo geométrico en la superficie de una pseudoesfera es más complicado que en las dos superficies anteriores. Hay líneas sobre la pseudoesfera que cumplen la misma función que las rectas en la superficie plana o que los círculos máximos en la superficie esférica: sobre ellas se miden las distancias mínimas; las líneas geodésicas sobre la superficie pseudoesférica, son de dos tipos: curvas que parten del ecuador y suben hasta el infinito, y curvas que rodean el “cuello” de la pseudoesfera.16 No se cumple el quinto postulado en el sentido de que, dada una geodesia L1 y un punto P exterior a ella, pasa por P más de una paralela que no cortan a L1, como se trata de mostrar en la figura 2–5. Pero si se quiere ver cuánto suman la medida de los ángulos interiores a

15 _{En línea. Noviembre de 2014, disponible en http://ike-darwin.blogspot.com/2011/06/que-es-una-}

pseudoesfera.html

16 _{En línea. Noviembre de 2014, disponible en http://www.epsilones.com/epsiclas/paginas/t-geometria/geo-}

un triángulo, ésta es menor a 180° (Ver figura 2–5), caso contrario al de la superficie esférica y al de la superficie plana.

Figura 2–5: Triángulo y rectas que pasan por un punto exterior a otra recta dada en la

pseudoesfera.17