En la siguiente aplicación, se comprueba la interpretación geométrica de determinantes des- crita en la introducción de este capítulo. Aunque en el capítulo 6 se hará un análisis general de longitud y distancia en ⺢n, aquí se supone que los conceptos euclidianos usuales de longitud, área y volumen ya se entienden para ⺢2 y ⺢3.
Sean a1 y a2 vectores diferentes de cero (no nulos). Luego, para cualquier escalar c, el área del paralelogramo definido por a1 y a2 es igual al área del paralelogramo determi- nado por a1 y a2 ⫹ca1.
Si A es una matriz de 2 ⫻ 2, el área del paralelogramo definido por las columnas de A es 冷det A冷. Si A es una matriz de 3 ⫻ 3, el volumen del paralelepípedo definido por las columnas de A es 冷det A冷.
T E O R E M A 9
El teorema 8 es útil principalmente para cálculos teóricos. La fórmula para A⫺1 permite deducir propiedades de la inversa sin calcularla en realidad. Excepto para casos espe- ciales, el algoritmo de la sección 2.2 ofrece una forma mucho mejor de calcular A⫺1, si la inversa es realmente necesaria.
La regla de Cramer también es una herramienta teórica. Se puede emplear para estudiar qué tan sensible es la solución de Ax⫽b ante cambios en una entrada de b o
de A (quizá debido al error experimental cuando se obtienen las entradas para bo A). Cuando A es una matriz de 3 ⫻ 3 con entradas complejas, entonces algunas veces la regla de Cramer se utiliza en cálculos a mano porque la reducción por filas de [A b] con aritmética compleja puede resultar confusa, y los determinantes son bastante fáci- les de calcular. Para grandes matrices de n⫻n (reales o complejas), la regla de Cramer es irremediablemente ineficiente. Para calcular solo un determinante se requiere tanto trabajo como resolver Ax⫽b por reducción de filas.
N O TA N U M É R I C A y x 0 d a 0 FIGURA 1 Área ⫽冷ad冷.
DEMOSTRACIÓN Como es evidente, el teorema es cierto para cualquier matriz diagonal de 2 ⫻ 2: ˇ ˇ ˇ ˇ * a 0 0 d ˇ ˇ ˇ ˇD j adj D área del rectángulo
Véase la figura 1. Será suficiente demostrar que cualquier matriz de 2 ⫻ 2, A⫽ [a1 a2],
se puede transformar a una matriz diagonal de tal manera que no cambie el área del para- lelogramo asociado ni tampoco 冷det A冷. De la sección 3.2, se conoce que el valor absoluto del determinante es inalterado cuando dos columnas se intercambian, o un múltiplo de una columna se suma a otra. Es fácil ver que tales operaciones son suficientes para transformar a A en una matriz diagonal. Los intercambios de columnas no modifican el paralelogramo. Así, es suficiente probar la siguiente sencilla observación geométrica que se aplica a vectores en ⺢2 o ⺢3:
Para demostrar este enunciado, se supone que a2 no es un múltiplo de a1, ya que, de otra forma, los dos paralelogramos serían degenerados y tendrían área igual a cero. Si L
es la recta que pasa por 0 y a1, entonces a2⫹L es la recta que pasa por a2 paralela a L, y
a2 ⫹ca1 está sobre esta recta. Véase la figura 2. Los puntos a2 y a2 ⫹ca1 tienen la misma distancia perpendicular a L. Por eso, los dos paralelogramos en la figura 2 tienen la misma área porque comparten la base de 0 a a1. Esto completa la demostración para ⺢2.
3.3 Regla de Cramer, volumen y transformaciones lineales 181
La demostración para ⺢3 es similar. Como es evidente, el teorema es cierto para una matriz diagonal de 3 ⫻ 3. Véase la figura 3. Y cualquier matriz A de 3 ⫻ 3 se puede trans- formar en una matriz diagonal utilizando operaciones de columna que no cambian a 冷det A冷. (Piense en efectuar operaciones de fila sobre AT). Así, es suficiente demostrar que esas ope-
raciones no afectan el volumen del paralelepípedo definido por las columnas de A.
La figura 4 muestra un paralelepípedo como una caja sombreada con dos lados incli- nados. Su volumen es el área de la base en el plano Gen {a1, a3} multiplicada por la altura de a2 sobre Gen {a1, a3}. Cualquier vector a2 ⫹ca1 tiene la misma altura porque a2 ⫹ca1 está en el plano a2 ⫹ Gen {a1, a3}, el cual es paralelo a Gen {a1, a3}. Así que el volumen del paralelepípedo queda inalterado cuando [a1 a2 a3] se cambia a [a1 a2 ⫹ca1 a3]. Por consiguiente, una operación de remplazo de columna no afecta el volumen del parale- lepípedo. Como el intercambio de columnas no tiene efecto sobre el volumen, la demostra-
ción se completa. ■ a2 + ca1 a2 a2 + L L a1 0 ca1
FIGURA 2 Dos paralelogramos de igual área.
x a 0 0 0 b 0 y z 0 0 c FIGURA 3 Volumen ⫽冷abc冷.
EJEMPLO 4 Calcule el área del paralelogramo definido por los puntos (⫺2, ⫺2), (0, 3),
(4, ⫺1) y (6, 4). Véase la figura 5a).
SOLUCIÓN Primero el paralelogramo se traslada de manera que un vértice esté en el ori- gen. Por ejemplo, reste el vértice (⫺2, ⫺2) de cada uno de los cuatro vértices. El nuevo
paralelogramo tiene la misma área, y sus vértices son (0, 0), (2, 5), (6, 1) y (8, 6). Véase la figura 5b). a2 0 a1 a3 a2 0 a1 a3 a2 +ca1 a2 + Gen{ a1, a 3} Gen{ a1, a 3} a2 + Gen{ a1, a 3} Gen{ a1, a 3}
FIGURA 4 Dos paralelepípedos de igual volumen.
x2
x1 x1
x2
a) b)
FIGURA 5 Trasladar un paralelogramo no cambia su área.
Este paralelogramo está definido por las columnas de AD 2 6 5 1
Como 冷det A冷⫽冷⫺28冷, entonces el área del paralelogramo es 28. ■
Transformaciones lineales
Los determinantes se pueden usar para describir una importante propiedad geométrica de transformaciones lineales en el plano y en ⺢3. Si T es una transformación lineal y S es un con- junto en el dominio de T, entonces T(S) denota el conjunto de imágenes de puntos en S. Nos interesa conocer cómo se compara el área (o volumen) de T(S) con el área (o volumen) del conjunto original S. Por conveniencia, cuando S es una región acotada por un paralelogramo, también nos referimos a S como un paralelogramo.
Sea T : ⺢2S⺢2 una transformación lineal determinada por una matriz A de 2 ⫻ 2. Si S es un paralelogramo en ⺢2, entonces
{área de T(S)} ⫽冷det A冷⭈ {área de S} (5)
Si T está determinada por una matriz A de 3 ⫻ 3, y si S es un paralelepípedo en ⺢3, entonces
{volumen de T(S)} ⫽冷det A冷⭈ {volumen de S} (6)
T E O R E M A 1 0
DEMOSTRACIÓN Considere el caso de 2 ⫻ 2, con A⫽ [a1 a2]. Un paralelogramo en el origen en ⺢2 definido por los vectores b1 y b2 tiene la forma
S D fs11Cs22W0s11; 0s21g
La imagen de S bajo T consiste en puntos de la forma
T .s11Cs22/Ds1T .1/Cs2T .2/ Ds1A1Cs2A2
donde 0 ⱕs1ⱕ 1, 0 ⱕs2ⱕ 1. De ello se sigue que T(S) es el paralelogramo determinado por
las columnas de la matriz [Ab1 Ab2]. Esta matriz se puede escribir como AB, donde B⫽ [b1
b2]. De acuerdo con el teorema 9 y el teorema del producto para determinantes, {área de T(S)} ⫽兩det AB兩⫽兩det A兩⭈兩det B兩
⫽兩det A兩⭈ {área de S} (7)
Un paralelogramo arbitrario tiene la forma p ⫹S, donde p es un vector y S es un paralelogra-
mo en el origen, como antes. Es fácil ver que T transforma a p ⫹S en T(p) ⫹T(S). (Véase el
ejercicio 26). Puesto que la traslación no afecta el área de un conjunto, {área de T(p ⫹ S} ⫽ {área de T(p) ⫹T(S)}
⫽ {área de T(S)} Traslación
⫽冷det A冷⭈ {área de S} Por la ecuación (7) ⫽冷det A冷⭈ {área de p ⫹S} Traslación
Esto demuestra que (5) es válida para todos los paralelogramos en ⺢2. Es análoga la demos- tración de (6) para el caso 3 ⫻ 3. ■