Este sistema parte de una posición inicial diferente de cero y el controlador debe ser capaz de llevarlo al equilibrio, en este caso parte de 0.1 rad. En la
Figura. 2.6 se puede ver como el péndulo va a cero radianes rápidamente pero se puede apreciar también el chattering que provoca el controlador sobre la planta.
El sistema vibra considerablemente debido a la discontinuidad del controlador y la rápida conmutación del mismo, en la Figura. 2.7 se puede apreciar esto.
Figura. 2.7 “Mando del controlador”
Esta conmutación en el mando para mantener el estado del sistema sobre la superficie de deslizamiento provoca también vibraciones, como se ve en la Figura. 2.8 y Figura. 2. 9, en la velocidad del péndulo para buscar el equilibrio.
El péndulo nunca se detiene completamente debido al chattering pero tanto la velocidad como la posición buscan y se mantienen vibrando muy cercanos a cero. Todos los sistemas no son iguales y por lo tanto no admiten el mismo grado de variaciones en su dinámica, el problema entonces se centra en disminuir estas vibraciones para poder utilizar este controlador.
Figura. 2. 9 “Gráfica de velocidad contra posición”
En la Figura. 2. 9 se puede ver claramente como el controlador lleva rápidamente el sistema a la superficie de deslizamiento y una vez que está sobre ella, se mantiene buscando el equilibrio pero sin desaparecer el chattering durante toda la superficie.
Para reducir estas oscilaciones indeseadas se implementó el método de la región límite antes explicado. En la Figura. 2.10 se puede apreciar como el rango de amplitud de la conmutación del mando cambió y este va acercándose a cero hasta que el sistema entra en la región de deslizamiento.
Figura. 2.10 “Comparación de los mandos”
La velocidad del péndulo también presentaba grandes vibraciones al buscar el origen, en la Figura. 2.11 se observa como estas disminuyeron siguiendo la misma trayectoria.
Figura. 2.11 “Comparación de las velocidades antes y después de prevenir el chattering” La reducción del chattering en el sistema controlado permite atenuar en gran medida las vibraciones en los actuadores, de esta forma se protegen contra averías y mal funcionamiento de la planta en cuestión, en la Figura. 2.12 se tiene una comparación del estado de la posición como principal variable a controlar en el péndulo. Aquí se ve como
mejoran mucho las vibraciones siguiendo una trayectoria muy similar para buscar el equilibrio del péndulo vertical. Además en la figura del Anexo III Velocidad contra posición del péndulo invertido se puede comprender como el controlador con la función saturación hace que el sistema busque la superficie más suave y cuando está sobre ella se mantiene oscilando sobre la misma pero en menor medida que antes.
Figura. 2.12 “Comparación de la posición del péndulo invertido teniendo en cuenta el chattering y la respuesta transitoria”
2.6 Conclusiones del capítulo.
No existe una regla para la implementación de una técnica u otra de regularización para un SMD, solo depende de las características del mismo y el conocimiento de las incertidumbres.
El control equivalente es el método más utilizado debido a que permite la permanencia sobre la superficie deslizante a partir de un reemplazo de la ley de control discontinua por una ley suave denominada control equivalente 𝑢𝑒𝑞.
Tanto la no alinealidad del controlador como las dinámicas no modeladas en los sistemas afectan directamente el chattering debido a la rapidez de conmutación del controlador deslizante.
La implementación de los métodos de reducción de chattering depende del conocimiento previo que se tenga sobre las dinámicas no modeladas del sistema, atendiendo a esto, los métodos de la región límite y de observadores son los más utilizados.
CAPÍTULO 3.
DISEÑO DEL CONTROLADOR PARA UN BRAZO
MANIPULADOR.
En este capítulo se evalúa un controlador por modo deslizante implementado para un brazo robótico. Para su diseño se parte de modelar las ecuaciones que describen la dinámica del robot. Se diseña el controlador por el método antes explicado y después de analizar los resultados se trata de disminuir el chattering que afecta al sistema. Además se demuestra la robustez ante incertidumbres del sistema controlado y los efectos de las dinámicas no modeladas.
3.1 Modelado del sistema.
Para la implementación y análisis de resultados del control por modo deslizante se eligió un sistema de un brazo robótico. Este se mueve a partir de un motor DC de excitación independiente y a través del voltaje se puede controlar la aceleración, velocidad y posición. A continuación se describe el modelo dinámico de dicho sistema.
Motor DC con excitación independiente:
V = iaRa+ Ladia dt + e e = Kvw = Kv dq dt (3. 1)
Donde Kv: Constante de velocidad y w: Velocidad en rad/seg. Se despeja didta en la ecuación deV:
dia dt = V − iaRa−Kvw La ia = ∫ dia dt dt τm= 𝑘𝑡𝑖𝑎 = 𝜏𝑐+ 𝐽𝑑2𝑞 𝑑𝑡2 + 𝐵 𝑑𝑞 𝑑𝑡 (3. 2)
Donde 𝜏𝑚 es el torque mecánico, 𝑘𝑡 constante de torque y numéricamente igual a 𝐾𝑣, 𝜏𝑐 es el torque de la carga, 𝐽 es la inercia del motor, 𝐵 la fricción y 𝑞 posición.
𝑉(𝑠) = 𝐼𝑎(𝑠)[𝑅𝑎+ 𝐿𝑎𝑠] + 𝐾𝑣𝑠𝑞(𝑠) 𝐼𝑎(𝑠) = 𝑉(𝑠) − 𝐾𝑣𝑠𝑞(𝑠) 𝐿𝑎𝑠 + 𝑅𝑎 (3. 3)
Datos del motor que mueve el brazo:
𝑉 = 230𝑣 𝑃 = 3𝑘𝑤 𝑤 = 1150𝑟𝑝𝑚 𝐼𝑛 = 11𝐴 𝐾𝑣 = 𝑉−𝑖𝑤𝑎𝑅𝑎 = 1.42 = 𝑘𝜏 𝑅𝑎 = 1.43Ω 𝐿𝑎 = 10.4𝑚𝐻 𝐽 = 0.068 𝑘𝑔/𝑚2 𝐵 = 4.93 ∗ 10−3𝑁𝑚/(𝑟𝑎𝑑/𝑠) Brazo robótico: τc = 𝑚𝑙2𝑑2𝑞 𝑑𝑡2 + 𝑓 𝑑𝑞 𝑑𝑡+ 𝑣𝑠𝑔𝑛 ( 𝑑𝑞 𝑑𝑡) + 𝑚𝑙𝑔𝑐𝑜𝑠(𝑞) 𝜏𝑐 = 𝑚𝑙2𝑞̈𝑓𝑞̇ + 𝑣𝑞̇𝑠𝑔𝑛(𝑞̇) + 𝑚𝑙𝑔𝑐𝑜𝑠(𝑞) (3. 4) Donde:
τc: Par aplicado al sistema.
𝑚: Masa del sistema (3 𝑘𝑔).
𝑙: Longitud del brazo (0.3 𝑚).
𝑓: Coeficiente de fricción (0.6 𝑘𝑔 𝑚2/𝑠).
𝑣: Coeficiente de fricción viscosa (0.3 𝑘𝑔 𝑚2/𝑠).
𝑔: Aceleración de la gravedad (9.81 𝑚/𝑠2).
Se sustituye los parámetros reales en la ecuación (3.4):
𝜏𝑐 = 0.27𝑞̈ + 0.60𝑞̇ + 0.30𝑞̇𝑠𝑔𝑛(𝑞̇) + 8.83cos (𝑞) (3. 5)
Con el modelo dinámico del sistema y los datos del motor se construye el diagrama en bloques que describe el conjunto
Figura. 3.1 Diagrama en bloques del sistema en lazo abierto.. Para su implementación se utilizó la herramienta de MatLab, Simulink.
3.2 Linealización del modelo.
A partir del modelo no lineal obtenido anteriormente, se utilizó la instrucción linmod de MatLab para llegar al modelo linealizado como se muestra a continuación:
[A, B, C, D]=linmod (sistema)
𝐴 = | 0−6.46−1.74961 | 𝐵 = | 0
3.6298| 𝐶 = |1 0| 𝐷 = 0
Con estos datos se buscó la función transferencial linealizada: [N, D]=ss2tf (A, B, C, D) Se obtiene: N= [0 0 3.62.98] D= [1 1.7496 6.4610] Con GM=tf (N, D) se obtiene: 𝐺𝑀 = 2.22 ∗ 10−16𝑠 + 3.63 𝑠2+ 1.75𝑠 + 6.461 (3. 6)
3.3 Modelo en espacio de estado.
La inductancia de armadura se desprecia y se obtienen las siguientes ecuaciones:
𝑉 = 𝑈 = 𝑖𝑎𝑅𝑎+ 𝐾𝑣𝑑𝑞 𝑑𝑡 (3. 7) 𝜏𝑚 = 𝐾𝑡∗ 𝑖𝑎 = 𝐽𝑞̈ + 𝐵𝑞̇ + 𝜏𝑐 (3. 8) 𝜏𝑚 = (𝐽 + 𝑚𝑙2)𝑞̈ + (𝐵 + 𝑓)𝑞̇ + 𝑣𝑞 ̇𝑠𝑔𝑛(𝑞̇) + 𝑚𝑙𝑔 cos (𝑞) (3. 9) Se hace: 𝑥1 = 𝑞
𝑥1̇ = 𝑥2 = 𝑞̇ 𝑥2̇ = 𝑞̈ = 1 (𝐽 + 𝑚𝑙2){𝜏𝑚− (𝐵 + 𝑓)𝑥2− 𝑣𝑥2 𝑠𝑔𝑛(𝑥2) − 𝑚𝑙𝑔 cos (𝑥1)} 𝑞̈ = 1 (𝐽 + 𝑚𝑙2){𝜏𝑚− (𝐵 + 𝑓)𝑞̇ − 𝑣 𝑠𝑔𝑛(𝑞̇) − 𝑚𝑙𝑔 cos (𝑞)} 𝑉 − 𝐾𝑣𝑞̇ = 𝑖𝑎𝑅𝑎 → 𝑖𝑎 = 1 𝑅𝑎(𝑈 − 𝐾𝑣𝑥2) 𝜏𝑚 = 𝐾𝑡𝑖𝑎 = 𝑘𝑣 𝑅𝑎𝑈 − 𝐾𝑣𝐾𝑡 𝑅𝑎 𝑥2 𝑥2̇ = 1 (𝐽 + 𝑚𝑙2){( 𝑘𝑣 𝑅𝑎𝑈 − 𝐾𝑣𝐾𝑡 𝑅𝑎 𝑥2) − (𝐵 + 𝑓)𝑥2− 𝑣𝑥2 𝑠𝑔𝑛(𝑥2) − 𝑚𝑙𝑔 cos (𝑥1)} 𝑥2̇ = 𝑘𝑣 (𝐽 + 𝑚𝑙2)𝑅 𝑎𝑈 − 𝐾𝑣𝐾𝑡 (𝐽 + 𝑚𝑙2)𝑅 𝑎𝑥2− (𝐵 + 𝑓) (𝐽 + 𝑚𝑙2)𝑥2− 𝑣 (𝐽 + 𝑚𝑙2)𝑥2 𝑠𝑔𝑛(𝑥2) − 𝑚𝑙𝑔 (𝐽 + 𝑚𝑙2)cos (𝑥1)
Se sustituyen los valores en la ecuación anterior obteniéndose:
𝑥2̇ = 3.68𝑈 − 6.55𝑥2− 1.79𝑥2− 0.887𝑥2 𝑠𝑔𝑛(𝑥2) − 26.12cos (𝑥1)
𝑥2̇ = 3.68𝑈 − 8.34𝑥2− 0.887𝑥2 𝑠𝑔𝑛(𝑥2) − 26.12cos (𝑥1) (3.10)
3.4 Diseño del controlador por Modo Deslizante.
Para el diseño del controlador se parte del modelo (3.10) obtenido anteriormente. Se tiene el sistema de segundo orden:
𝑥1̇ = 𝑥2 𝑥2̇ = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)𝑢 (3.11) 𝑓(𝑥) = −8.34𝑥2− 0.887𝑥2𝑠𝑔𝑛(𝑥2) − 26.12 cos(𝑥1) 𝑔(𝑥) = 3.68 ℮1 = 𝑥1𝑑− 𝑥1 → 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛 ℮2 = 𝑥2𝑑− 𝑥2 → 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 ℮̇1 = ℮2 (3. 12)
A partir de aquí se elige una superficie de conmutación que debe presentar características lineales debido a que el sistema a controlar es de segundo orden, dicha superficie quedó de la siguiente forma:
𝑠(𝑥) = 𝜆℮1+ ℮2 𝑠̇(𝑥) = 𝜆℮̇1+ ℮̇2
(3. 13)
Se debe analizar la estabilidad de la superficie y para esto se utilizó el método de Liapunov. La función elegida para este análisis es muy popular para los sistemas de segundo orden:
𝑉(𝑥) =1 2𝑠2(𝑥) → 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑉̇(𝑥) = 𝑠(𝑥)𝑠̇(𝑥) → 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 (3. 14) Al sustituir (3.11), (3.12) y (3.13) en (3.14) queda: 𝑉̇(𝑥) = 𝑠(𝑥)[𝜆℮̇1+ ℮̇2]
𝑉̇(𝑥) = 𝑠(𝑥)[𝜆℮2 + ℮̇2] 𝑉̇(𝑥) = 𝑠(𝑥)[𝜆℮2+ (𝑥̇2𝑑− 𝑥̇2)] 𝑉̇(𝑥) = 𝑠(𝑥)[𝜆℮2+ 𝑥̇2𝑑− 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)𝑢] 𝑠̇(𝑥) = 0 𝑢𝑒𝑞 = 1 𝑔(𝑥)[𝜆℮2+ 𝑥̇2𝑑− 𝑓(𝑥)] (3. 15)
Con esto se puede implementar la ley de control que definirá el comportamiento de la dinámica del brazo robótico. De aquí que:
𝑢 = {𝑢 + → 𝑠 > 0 𝑢𝑒𝑞 → 𝑠 = 0 𝑢− → 𝑠 < 0 𝑢 = 𝑢𝑒𝑞+ 𝑢𝑠 (3. 16) 𝑢𝑠 = {𝑢+ → 𝑠 > 0 𝑢− → 𝑠 < 0 𝑢𝑠 = 𝐾𝑠𝑔𝑛(𝑠) (3. 17)
Donde 𝐾 es la constante de robustez y debe ser un valor elevado. La ley de control queda entonces de la siguiente forma:
𝑢 = 1
𝑔(𝑥)[𝜆℮2+ 𝑥̇2𝑑− 𝑓(𝑥) + 𝐾𝑠𝑔𝑛(𝑠)]
(3. 18)
En esta señal de control (3. 18) se puede ver que está compuesta por un control equivalente
ueq, que permite eliminar los problemas de alinealidad e incertidumbre del modelo y un control discontinuo us, que asegura la robustez.
3.5 Implementación del sistema de control en Simulink.
La forma más sencilla de controlar un sistema es a través de un lazo cerrado con un controlador proporcional como el de la Figura. 3.2.
Después de cerrar el lazo de esta manera el sistema es estable pero con error en estado estacionario de un 43%,
Figura. 3.3. Si se aumenta la ganancia del sistema el error disminuye pero el sobreimpulso aumenta mucho.
Figura. 3.2 Diagrama en bloques del sistema en lazo cerrado con un controlador proporcional.
Figura. 3.3 Respuesta con el controlador proporcional.
En robótica no se permiten esa clase de errores y por tanto hay que buscar otra alternativa de control. Anteriormente se diseñó un CMD para este sistema previendo posibles incertidumbres y cambios en la dinámica de la planta.
En la Figura. 3.4 se muestra de forma muy general el diagrama de esta implementación en el Simulink, para ver los bloques tanto del sistema como del controlador en detalles, vea Anexo IV Controlador para el brazo manipulador y Anexo V Diagrama del brazo manipulador.
Figura. 3.4 Diagrama en bloques del sistema con CMD.
La respuesta es buena en cuanto a sobreimpulso, tiempo de establecimiento y error final, pero como se ha mencionado antes, este tipo de control presenta un gran inconveniente para los actuadores y la planta en general. Como se puede apreciar en la Figura. 3.5, la respuesta presenta chattering debido a la no linealidad que utiliza el controlador para la conmutación. El mando del controlador conmuta a una frecuencia muy elevada para mantener el estado sobre la superficie de deslizamiento. En el Anexo VI Mando del controlador para el brazo
manipulador se puede ver una banda azul como resultado de esta rapidez de conmutación. A pesar de esta alta frecuencia, el valor del mando sobre la planta es muy grande.
Figura. 3.5 Respuesta con CMD. Presenta chattering.
El fenómeno del chattering se puede apreciar también en las vibraciones que experimenta la velocidad a la que se mueve el brazo para buscar la posición deseada, esto se puede ver en la Figura. 3.6. Además en la Figura. 3.7 queda claro cómo se comportan estas oscilaciones a medida que se desplaza el robot. El controlador empuja al sistema hasta que encuentra la región donde se mantendrá deslizándose oscilatoriamente.
Figura. 3.6 “Velocidad del brazo robótico. Presenta chattering”
Figura. 3.7 “Velocidad contra posición”
Este problema del chattering se analizó en el capítulo anterior donde se vieron cuatro métodos para la reducción del mismo. En este caso se implementó el método de la región
límite.
Figura. 3.8 “Mando del controlador. Comparación.”
Con este método se elimina la alinealidad del controlador y esto provoca que el mando que antes era muy oscilatorio con una gran magnitud, ahora comience elevado y va disminuyendo en el tiempo a medida que el sistema se acerca a la región de deslizamiento, Figura. 3.8. Una de las ventajas principales de este método vistas en el primer capítulo es la robustez ante variaciones de los parámetros de la planta en cuestión. En la Figura. 3.8 se observa como el mando de los controladores con la función saturación incluso con cambios en el torque de la carga del brazo robótico es muy similar y convergen a cero.
Figura. 3.9 “Repuesta del sistema después de implementar el método de la región límite. Comparación.”
Tanto el tipo como la forma de respuesta del robot son muy parecidos antes y después de implementado el método de reducción de chattering, esto se puede ver en la Figura. 3.9, donde a pesar de esta similitud deja ver en la ampliación la diferencia de chattering entre una respuesta y otra, además demuestra la robustez del sistema controlado después de ser perturbado en el torque de la carga.
Sin embargo al aplicar la misma perturbación en el sistema inicialmente controlado por un proporcional se ve la afectación en la posición final, Figura. 3.10.
Figura. 3.10 “Respuesta ante perturbación. Comparación.”
En la Figura. 3.11 se aprecia una gran diferencia en las vibraciones de la velocidad antes y después de aplicado el método, pero una vez más demuestra la gran similitud antes y después de la perturbación, los dos sistemas que presentan la función saturación en el diseño del controlador convergen con mayor precisión a cero, lo que hace el sistema más estable.
Una de las dos causas del chattering en estos sistemas discutidas en el capítulo anterior fue la presencia de dinámicas no modeladas (DNM) debido a, que por su pequeña constante de tiempo son despreciadas con respecto al sistema. Cuando se diseña un CMD, este afecta a esas dinámicas que son insignificantes para la plata pero no así para el controlador. Un ejemplo de esto se puede ver en la Figura. 3.12. La dinámica del transductor encargado de la medición de la posición del brazo robótico fue despreciada por su pequeña constante de tiempo (0.005seg) y en esta figura se ve las consecuencias en cuanto al aumento del chattering.
Figura. 3.12 “Efecto de una dinámica no modelada” 3.6 Valoraciones económicas.
El diseño y simulación del Control por Modo Deslizante ha requerido de la inversión de tiempo por parte del diplomante y del tutor, teniendo en cuenta cinco meses de trabajo del diplomante y del tutor
Los costos de desarrollo del software en las empresas técnicas llegan aproximadamente al 80% de los costos de un proyecto de automatización (MatLab 2013). Por este motivo es algo fundamental utilizar instrumentos que sean capaces de reducir los tiempos de desarrollo asistidos al más alto nivel con servicios de soporte y asesoramiento técnico.
MatLab es una herramienta que ofrece las mayores garantías para el aseguramiento de la propia inversión. Hace posible mantener la misma tecnología de software en la empresa a la vez que se satisfacen todas las necesidades aplicativas de la automatización.
Es meritorio destacar que con el uso del software Matlab para la simulación y análisis a priori del comportamiento del sistema del brazo robótico se ahorran recursos y evitan riesgos relacionados con funcionamiento inadecuado o resultados que puedan provocar accidentes.
Por último, cabe mencionar que este trabajo contribuye a la formación profesional de estudiantes en la UCLV ya que pueden contar con un documento que describe detalladamente los aspectos a tener en cuenta para el diseño de un CMD.
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
Conclusiones
1 El control por modo deslizante es una alternativa muy eficiente para los sistemas con incertidumbre, debido a la robustez que muestra ante variaciones en sus parámetros pero es más eficiente al combinarla con otras estrategias de control ya que se pueden aprovechar las ventajas de ambas.
2 La no linealidad presente en el diseño de los controladores por modo deslizante provoca vibraciones indeseadas en la planta, según su amplitud, pueden afectar considerablemente las partes mecánicas del sistema.
3 Las dinámicas que no son modeladas en un sistema debido a su pequeña constante de tiempo, son sensibles a las altas frecuencias de conmutación del controlador y causan chattering en la planta.
4 Este trabajo puede ser usado como monografía ya que contiene la información necesaria sobre el tema y están reflejados claramente los pasos tanto para el diseño de un controlador por modo delizante como para reducir el chattering que se presente en el sistema.
Recomendaciones
1 Utilizar el presente trabajo de diploma como una monografía para el estudio del control por modo deslizante.
2 Implementar un controlador siguiendo la metodología planteada para un sistema real y evaluar la validez de esta técnica a través de los resultados reales.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
ABDELLATIF, H., HEIMANN, B., KOTLARSKI, J. & ORTMAIER, T. 2010. Practical model-based and robust control of parallel manipulators using passivity and sliding mode theory, INTECH Open Access Publisher.
BIEL SOLÉ, D. 1999. Control en modo deslizante aplicado a la generación de señal en convertidores conmutados DC/DC. . Tesis doctoral.
BONDAREV, A., BONDAREV, S., KOSTYLEVA, N. & UTKIN, V. 1985. Sliding modes in systems with asymptotic state observers. Avtomatika i Telemekhanika, 5-11.
CALVENTE CALVO, F. J. 2001. “Control en modo deslizante aplicado en sistemas de acondicionamiento
de potencia en satélites ”. Tesis doctoral, Universidad Politécnica de Cataluña.
CHEN, J. Y., J. “Design and implementation of an induction motor drive using sliding mode control scheme”. American Control Conference, junio 1995 1995. IEEE, 3536-3540.
DECARLO, R. A. Z., S.H. ; MATTHEWS, G.P. 1988. Variable structure control of nonlinear multivariable systems: a tutorial. IEEE 76, 212 - 232
DRAKUNOV, S., IZOSIMOV, D., LUKYANOV, A., UTKIN, V. & UTKIN, V. 1990a. The block control principle. 1. Automation and Remote Control, 51, 601-608.
DRAKUNOV, S. V., IZOSIMOV, D., LUKYANOV, A., UTKIN, V. & UTKIN, V. 1990b. Block control principle. II. Automation and Remote control, 51, 737-746.
EVANGELISTA, C. A. 2012. Control de sistemas no lineales por modos deslizantes de segundo orden.Aplicación a la conversion de energia eólica. Tesis doctoral, Universidad Nacional de La Plata.
FILIPPOV, A. F. & ARSCOTT, F. M. 1988. Differential equations with discontinuous righthand sides: control systems, Springer Science & Business Media.
GALICIA, M. I. L., ALEXANDER G.; SÁNCHEZ EDGAR N. 2009. Control Robusto sin Sensores Mecánicos del Par Eléctrico del Motor de Inducción por Modos Deslizantes Integrales Congreso Anual 2009 de la Asociación de México de Control Automático. Mexico.
GARCÍA-GABÍN, W. & ZAMBRANO, D. 2004. Control predictivo por modo deslizante para robots manipuladores. Revista Ingeniería UC. Vol, 11, 39-47.
HU, K.-K. & ZHU, H. 1998. Prospectiveness of liquefaction mitigation by using the stiffness decoupler.
JANARDHANAN, S. & BANDYOPADHYAY, B. 2007. Multirate output feedback based robust quasi- sliding mode control of discrete-time systems.
JEZERNIKA, K., CURKA, B. & HARNIKA, J. 1994. Observer-based sliding mode control of a robotic manipulator. Cambridge Journal, 12 443-448.
KHALIL, H. K. & GRIZZLE, J. 1996. Nonlinear systems, Prentice hall New Jersey.
KOKOTOVIC, P. V. 1984. Applications of singular perturbation techniques to control problems. SIAM review, 26, 501-550.
KRSTIC, M., KANELLAKOPOULOS, I. & KOKOTOVIC, P. V. 1995. Nonlinear and adaptive control design, Wiley.
LAGHROUCHE, S., SMAOUI, M., BRUN, X. & PLESTAN, F. Robust second order sliding mode controller for electropneumatic actuator. American Control Conference, 2004. 5090-5095.
LEITMANN, G. 1981. On the efficacy of nonlinear control in uncertain linear systems. Journal of Dynamic Systems, Measurement, and Control, 103, 95-102.
LEVANT, L. F. A. 2002. Sliding mode control in engineering, Marcel Dekker.
LI, H., YU, J., HILTON, C. & LIU, H. 2013. Adaptive sliding-mode control for nonlinear active suspension vehicle systems using T–S fuzzy approach. Industrial Electronics, IEEE Transactions on, 60, 3328- 3338.
MCCANN, R. A. I., M.S. ; HUSAIN, I. 2001. Application of a sliding-mode observer for position and speed estimation in switched reluctance motor drives IEEE Industry Applications Society, 37, 51 - 58 MUÑOZ, E. & GAVIRIA, C. Control PID multivariable y modos deslizantes de un robot SCARA. VIII
Congreso de la Asociación Colombiana de Automática, 2009.
NIÑO SUAREZ, P. A. A. B., E.; VELASCO VILLA,M. 2007. Control mediante modos deslizantes en tiempo discreto para el seguimiento de trayectorias de un robot móvil. Revista Iveroamericana de Automatica e Informatica Industrial. Mexico.
OGATA, K. 2003. Ingeniería de control moderna, Pearson Educación. OGATA, K. & YANG, Y. 1970. Modern control engineering.
PEÑA, M. E. 1998. Control de estructura variable con técnicas de lógica borrosa. Tesis de Maestría, Universidad Nacional de San Juan.
PRESS, W. H. 2002. Numerical recipes in C/C++, Cambridge University Press.
RIOS-BOLIVAR, M. 2002. Adaptive canonical form for sliding mode control of uncertain nonlinear systems.
In: BASAÑEZ, L. & PUENTE, J. A. D. L. (eds.) IFAC World Congress. Barcelona, Spain.
ROMERO, R., STOJANOV, J., ZINOBER, A., RUBIO, F. & DE SEVILLA, E. S. D. I. 2006. Diferenciacion Mediante Control por Modos Deslizantes.
SEBASTIÁN, E., GÓMEZ-ELVIRA, J., ROMERAL, J., MANFREDI, J. A. R., SOLER, J. M., TORRES, J., CUADRADO, S. & FERRANDIZ, R. 2004. Control en modo deslizante adaptativo borroso para vehículos subacuáticos.
SEBASTIÁN, E. & SOTELO, M. A. 2007. Control en modo deslizante adaptativo borroso de las variables cinemáticas del vehículo subacuático snorkel. Revista Iberoamericana de Automática e Informática Industrial RIAI, 4, 58-69.
SIRA RAMIREZ, H. 1987. “Variable structure control of non linear systems”. International journal of systems science, vol18, 1673-1689.
SLOTINE, J.-J. E. 1984. Sliding controller design for non-linear systems. International Journal of control,
40, 421-434.
SLOTINE, J. J. & SASTRY, S. S. 1983. Tracking control of non-linear systems using sliding surfaces, with application to robot manipulators†. International journal of control, 38, 465-492.
UTKIN, V. 2013. Sliding mode control of DC/DC converters. Journal of the Franklin Institute, 350 2146– 2165.
UTKIN, V., DRAKUNOV, S., IZOSIMOV, D., LUKJANOV, A. & UTKIN, V. ‘Hierarchical principle of the control system decomposition based on motion separation. The 9th World IFAC Congress, 1984. 2- 6.
UTKIN, V. I. 1978. Sliding modes and their application in variable structure systems, Mir Publishers. UTKIN, V. I. 1993. “Sliding Mode Control Design Principales and Applications to Electric Drives”. IEEE
Transactions on Industrial Electronics, 40.
UTKIN, V. I., FERRARA, A. & BARTOLINI, G. Design of discrete-time adaptive sliding mode control. Conference on Decision and Control 1992 Arisona.
VADIM, I. U. 1977. Survey paper variable structure systems with sliding modes. IEEE Transactions on