Diferencia entre argumentación y demostración

Así como el análisis de la Unidad Cognitiva se basa en la continuidad del Sistema de Referencia entre argumentación y demostración; del mismo modo, las diferencias observadas en los sistemas de representaciones expresivas y en los sistemas de los conocimientos han sido consideradas desde el punto de vista de dicho Sistema de Referencia. Una diferencia que no sea gestionada por el estudiante puede ser una causa de ruptura cognitiva16.

Un análisis de la diferencia respecto al Sistema de Referencia entre argumentación y demostración permite determinar algunas dificultades que los estudiantes podrían encontrar en el acto de construir una demostración. Sin embargo, el trabajo experimental ha conducido a pensar que tal análisis puede ser insuficiente para asegurar un análisis cognitivo completo. Pedemonte indica que:

Las dificultades que el estudiante debe salvar cuando construye una demostración son numerosas y de naturaleza diferente unas de las otras. Es a partir de la naturaleza de las diferencias que puede determinarse la naturaleza de las dificultades (Pedemonte, 2002, p. 54).

En los siguientes párrafos se identifican algunas de tales dificultades y las diferencias a las cuales son vinculadas.

2.3.2.1 Diferencia cultural, diferencia del Sistema de Referencia, diferencia estructural

Pedemonte (2002) ha indicado tres tipos de diferencias que pueden ser causa de dificultades en la construcción de una demostración. Se trata de la diferencia cultural, de la diferencia del Sistema de Referencia y de la diferencia estructural:

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1. Diferencia cultural: Es particular e impide la construcción de la demostración porque el sujeto no comprende el carácter de necesidad de la demostración. Una diferencia cultural puede averiguarse si el estudiante no ha aprendido a demostrar. Una enseñanza, un aprendizaje específico es necesario para apropiarse de la demostración. Ella no se desarrolla de modo natural en el discurso diario. Su utilización le exige el conocimiento de reglas particulares y sobre todo la comprensión de su necesidad que es consubstancial de las matemáticas. Hace falta entrar en una problemática del rigor y no sólo en un problemática de la prueba.

La construcción de una demostración, que sigue a la producción de una conjetura basada en la argumentación, demanda la apropiación de las razones que legitiman este paso, que hace que la demostración no parezca superflua. Si esta comprensión falta, la demostración puede no ser buscada.

La impresión de haber suministrado ya una explicación de la validez de la conjetura con la argumentación, puede ocultar la exigencia de construir una demostración. En este caso, la diferencia entre argumentación y demostración es de naturaleza cultural: el estudiante no tiene conciencia de la utilidad de la demostración.

2. Diferencia del Sistema de Referencia: Se corresponden con las continuidades del Sistema de Referencia presentadas antes (cf. 2.3.1): Diferencia en el lenguaje, Diferencia conceptual, Diferencia de marco, Diferencia heurística, Diferencia en las dinámicas mentales. Las diferencias son opuestas a las continuidades de las que se ha hablado ya, pero perfectamente análogas.

3. Diferencia estructural: Está asociada a la estructura de la argumentación y de la demostración. Es claro que argumentación y demostración tienen distinta estructura. La diferencia estructural es fácilmente observable, supóngase que se trate de construir una demostración a partir de una argumentación abductiva. La construcción de una demostración en esta circunstancia demanda un cambio de estructura; el cambio de cadena abductiva a cadena deductiva representa una

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diferencia de estructura. “Si por el contrario, la abducción no es transformada en cadena deductiva, y la demostración presenta todavía rastros de abducción, hay continuidad estructural” (Pedemonte, 2002, p. 55-57). La diferencia estructural a producirse, por una construcción correcta de la demostración, no ha sido tenida en cuenta por el estudiante.

2.3.2.2 Identificación de las diferencias

Las diferencias pueden ser observadas a partir del análisis de la argumentación y de la demostración construida por el estudiante. Pero las dificultades que se pueden encontrar son observables a partir de su comportamiento en el acto de construir una demostración. Es la actividad del estudiante, sus acciones, sus palabras, sus gestos, etc., lo que permite identificar estas dificultades. Si en la actividad del estudiante se puede determinar la presencia de síntomas como la detención en la progresión, el bloqueo, la presencia de errores, la duración excesiva del tiempo que dedica a la argumentación, etcétera, entonces se puede estimar la presencia efectiva de una ruptura.

Puede preguntarse entonces ¿cuáles son los síntomas que se pueden esperar y cómo distinguirlos en los diferentes tipos de diferencias? Toda diferencia, o cultural, o del Sistema de Referencia, o estructural puede determinar los efectos sobre la actividad del estudiante. Estos efectos son los indicios de las dificultades que el sujeto encuentra: Pedemonte (2002), los precisa para los diferentes tipos de diferencia:

1. Una diferencia cultural, si no es considerada por el estudiante, no le permite la producción de la demostración. Él justifica la conjetura por medio de una argumentación pero no avanza más. En este caso las soluciones están, en parte, del lado del contrato didáctico que establece qué debe esperar el docente y no dar

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las reglas para satisfacer dicha producción. Si el docente exige una demostración, el estudiante está obligado a realizarla. Evidentemente, aclarar que este es el comportamiento esperado no es suficiente, hace falta asegurar también una mediación de los modelos de comportamiento esperados; es decir que el modelo de la demostración debe ser suministrado al estudiante si se quiere que sea capaz de reproducirlo en una situación específica.

Una diferencia del Sistema de Referencia o una diferencia estructural son mucho más complejas. La mediación del docente puede no ser suficiente para administrarla. Tales diferencias pueden conducir a una ruptura cognitiva.

2. Diferencia del Sistema de Referencia. El dinamismo del pensamiento activado a lo largo de la fase de exploración del problema puede conducir a la construcción de una argumentación basada sobre las concepciones. Para pasar de la argumentación a la demostración, el enunciado que depende de una concepción (es decir, válida al sentido de esta concepción), debe encontrar un teorema correspondiente en la teoría matemática. Puede construirse la demostración si los elementos de la argumentación son sistematizables en una teoría institucionalizada. Si la teoría falta, la continuidad es rota. Es probable que el teorema, que podría corresponder al enunciado dependiente de la concepción, no sea conocido por el estudiante o bien que no se acuerde de él. Es también probable que no tenga la costumbre de utilizarlo, y cuando el teorema es necesario para la resolución de un problema, es inaccesible en su memoria. En este caso, la diferencia del Sistema de Referencia, que no es tenida en cuenta por el estudiante, se traduce en una ruptura cognitiva. Las dificultades observables a lo largo de la actividad de resolución son los síntomas de la ruptura cognitiva (la detención en la progresión, el bloqueo, etc.).

Es de observar que la producción de una demostración no implica necesariamente la Unidad Cognitiva; ella está presente si puede observarse una continuidad entre los elementos producidos a lo largo de la construcción de la conjetura y aquellos producidos a lo largo de la construcción de la demostración.

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Si la demostración es construida cambiando el marco utilizado a lo largo de la argumentación se tiene una ruptura cognitiva. Hay una ruptura entre los dos procesos si por ejemplo la argumentación es construida a partir de la geometría sintética y la fase demostrativa a partir de la geometría analítica. En este caso, la ruptura cognitiva puede estar presente sin que haya un síntoma de dificultad en la actividad del estudiante.

3. Diferencia estructural. La diferencia estructural puede ser causa de ruptura cognitiva estructural si se observa la presencia de síntomas que revelan la dificultad en el paso a la demostración. Si el estudiante no logra construir una cadena deductiva con los argumentos producidos a lo largo de la formulación de la conjetura, la diferencia puede ser estructural. En este caso, el Sistema de Referencia necesario para construir la demostración está disponible, pero su sistematización bajo la forma de demostración es problemática. La diferencia estructural, que no es considerada por el estudiante, no le permite la producción de la demostración. Se observa una ruptura cognitiva estructural.

Por el contrario, si en la actividad del estudiante no se encuentran síntomas de dificultad en el paso de una estructura argumentativa a una estructura deductiva, la eventual diferencia estructural entre argumentación y demostración es administrada por el estudiante. Ello no es causa de ruptura cognitiva estructural.

Si hay continuidad del Sistema de Referencia entre argumentación y demostración no se puede concluir con certeza que haya Unidad Cognitiva, porque puede que una diferencia estructural sea la causa de una ruptura cognitiva estructural. Por el contrario, una diferencia del Sistema de Referencia entre argumentación y demostración es causa de ruptura cognitiva. Una diferencia estructural no es suficiente para afirmar que hay Unidad Cognitiva porque eso depende del Sistema de Referencia, una diferencia estructural no permite concluir una ruptura cognitiva estructural.

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Tabla 1. Efectos de la continuidad y de las diferencias entre argumentación y

demostración (tomada de Pedemonte, 2002, p. 60).

Nota: Continuidades y diferencias que se pueden esperar dentro del proceso de transición de la argumentación a la demostración

Se ha dicho que no es posible lograr una continuidad estructural entre argumentación y demostración puesto que las estructuras respectivas son diferentes; por esto, en la siguiente sección se proponen algunas estructuras de ellas, posibles de observarse y que permiten analizar más precisamente las diferencias o las continuidades.