Dimensión fraccional

De las definiciones mas intuitivas para asignar a cada conjunto del espacio euclídeo E R un

numero real la primera es la dimensión topológica según Brouwer, Lebesgue, Menger y Urysohn (DT), la segunda fue formulada por Hausdorff y Besicovitch (DH). Cuando se

trabaja en el espacio euclídeo E

R , tanto D_T como D_H toman valores entre 0 y E, pero

mientras DT siempre es un entero, DH no tiene por qué serlo, por lo tanto ambas

dimensiones no siempre coinciden.

Para todas las figuras euclídeas D_H D_T y las formas que no satisfacen la relación anterior

tienen DH DT, así que Mandelbrot definió a un fractal como un conjunto cuya dimensión

de Hausdorff-Besicovitch es estrictamente mayor que su dimensión topológica [3.1]. La dimensión de Hausdorff-Besicovitch se puede escribir como:

( / )DH N  L l

Donde N es el número de secciones generadas, L la longitud total y l la longitud de la

sección, por lo tanto:





log / log /

H

D  N L l

Medida de Carathéorody

En las investigaciones de dimensiones de los conjuntos continuos Carathéorody pensó que el concepto general de volumen o magnitud es indispensable, la evaluación del área de una figura plana de una manera clásica empieza aproximando S por un conjunto de cuadrados

pequeños y sumando los lados de dichos cuadrados elevados a la potencia D2,

Carathéorody generaliza este enfoque y sustituye los cuadrados por discos para no depender de ejes coordenados y sin el conocimiento previo de que S es una figura euclídea, de su

dimensión conocida o del espacio E

R al que pertenece, cuando una figura es considerada

como parte del espacio tridimensional es recubierta con bolas en vez de discos, si S es una

30 corresponden a todas las bolas del recubrimiento, en general una figura estándar de dimensión d requiere de la suma de expresiones del tipo h( ) ( )d d, donde la función





( ) (1/ 2) / (1d / 2)

d d

     , sobre esta base Carathéorody generaliza los conceptos de

longitud y área para algunas figuras no estándar.

Medida de Hausdorff

Hausdorff pone en práctica la idea de Carathéorody y permite que d sea fraccionario, por lo

tanto en vez de limitarse a potencias de , puede usarse cualquier función de prueba h( )

positiva que tienda a 0 con . Dada una función h( ) de prueba se puede decir que la

medida de un recubrimiento finito del conjunto S mediante bolas de radio m es



para un mejor recubrimiento se consideran bolas de radio menores que  y se busca el ínfimo.

inf ( )

m h m

 



Cuando 0 la condición _m se hace más restrictiva por lo que la expresión anterior tiene que ser creciente y debe tener limite:

0

lim inf ( )

m h m

  



Cuando ( ) ( ) d

h   d  la h-medida se denomina medida d-dimensional normalizada, cuando

( ) 1/ log | |

h    la h-medida se denomina logarítmica.

La función de prueba de las figuras estándar de la geometría euclídea tiene siempre la forma

( ) ( ) DH

S

h   D  para un valor entero de D_H, Hausdorff demostró que las h_S( ) con

valores no enteros de DH son intrínsecas para los polvos de Cantor y las curvas de Koch.

En el caso de los fractales aleatorios incluso cuando sean estadísticamente autosemejantes la ( )

S

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Dimensión de Hausdorff-Besicovitch

La medida de Hausdorff se ha definido de modo que no haga falta conocer D previamente, para una figura estándar de dimensión desconocida se calcula primero la medida para todas

las funciones de prueba ( ) ( ) d

h   d  con d entera y si la longitud es infinita y el volumen

nulo la figura solo puede ser bidimensional, Besicovitch generalizó esta conclusión a los casos en los que d no es entera y S no es una figura estándar, demostró que para todo

conjunto S existe un valor real DH tal que la d-medida es infinita para dDH y nula para H

dD . Esta D_H se denomina dimensión de Hausdorff-Besicovitch de S.

La medida de Hausdorff D-dimensional de un conjunto S D-dimensional puede ser cero,

infinita o positiva y finita, Hausdorff había considerado solamente la tercera opción, demostró que incluía los conjuntos de Cantor y las curvas de Koch y si además el conjunto S

es autosemejante su dimensión de semejanza debe ser igual a D_H.

La dimensión de Hausdorff como dimensión fractal fue utilizada para calcular longitudes de geometrías rugosas y complicadas, Felix Hausdorff se inspiró del hecho de que el perímetro de un polígono se calcula sumando las longitudes de sus lados, sin transformarlas de ninguna manera, se puede decir que estas longitudes están elevadas a la potencia D1 que es la

dimensión euclídea de la recta, de la misma forma el área encerrada en el interior de un polígono se calcula llenándolo con cuadrados y sumando los lados de los cuadrados elevados a la potencia D2, la dimensión euclídea del plano, de manera análoga se pueden hacer

aproximaciones poligonales a curvas rugosas (costas) formadas por segmentos de longitud , el hecho de que la longitud del interior de un cuadrado sea infinita tiene una generalización simple, la medida aproximada de una costa evaluada en una dimensión d DH tiende a 

cuando 0, análogamente así como el área y el volumen de una línea son nulos, cuando

d toma un valor mayor que DH, la medida aproximada correspondiente tiende a 0 cuando

0

  , la medida aproximada solo se comporta bien cuando dDH, la dimensión de

Hausdorff es una fracción y en particular es mayor que 1, que es la dimensión intuitiva de las curvas y que, como puede demostrarse rigurosamente es su dimensión topológica D_T.

Mandelbrot propuso que las curvas cuya dimensión de Hausdorff sea mayor que su dimensión topológica 1 se llamen curvas fractales.

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